高中数学选择性必修一课件：2 2 2 直线的两点式方程(人教A版)

第二章

§2.2直线的方程2.2.2直线的两点式方程1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点直线的两点式方程和截距式方程名称两点式截距式条件两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)示意图

方程________________________适用范围__________________________________________斜率存在且不为0斜率存在且不为0，不过原点思考1

过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？答案没有.其方程为y＝y0.答案不是.截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.2.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.(

)3.直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(

)4.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√√2题型探究PARTTWO一、直线的两点式方程例1已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边所在的直线方程；解BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.一、直线的两点式方程例1已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边所在的直线方程；解BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.(2)求BC边上的中线所在直线的方程.解设BC的中点为M(a，b)，又BC边的中线过点A(－3,2)，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.延伸探究若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程.即10x－4y－37＝0.反思感悟利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式.(2)若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.跟踪训练1

(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为______________.4x＋5y＋3＝0解析因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，化简得4x＋5y＋3＝0.(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程.解由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，即x－(m－1)y－1＝0.综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程.解由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，即x－(m－1)y－1＝0.综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.二、直线的截距式方程例2求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.解(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.延伸探究

(变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，∴l的方程为x＋2y－9＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.反思感悟截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.跟踪训练2

(多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为√√解析设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.核心素养之直观想象与数学运算HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGYUSHUXUEYUNSUAN直线方程的灵活应用典例已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.(1)求直线BC的方程；解如图.因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x，所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称.A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上.由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5.(2)求直线AB的方程.解因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为－2，又因为点A的坐标为(3，－1)，所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，即2x＋y－5＝0.素养提升(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称.(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养.(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养.3随堂演练PARTTHREE1.在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是√123452.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6√12345解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.3.过坐标平面内两点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是√123454.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_____________________.123452x－y＝0或x－y＋1＝0解析当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.5.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______________.123452x－y＋1＝0解析AB的中点坐标为(1,3)，即2x－y＋1＝0.1.知识清单：(1)直线的两点式方程.(2)直线的截距式方程.2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.(多选)下列说法中不正确的是A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示C.不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式D.不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式√基础巩固12345678910111213141516√√2.过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是A.x＋y＋1＝0 B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0 D.x－y－1＝0√12345678910111213141516A.|b| B.－b2 C.b2 D.±b√12345678910111213141516解析令x＝0，得y＝－b2.4.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为√123456789101112131415165.若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1010，b)在直线l上，则b的值为A.2021 B.2020 C.2019 D.2018√12345678910111213141516解析由直线的两点式方程得直线l的方程为令x＝1010，则有b＝2×1010＋1，即b＝2021.6.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.123456789101112131415163x＋y－6＝0解析由题意知直线过点(2,0)，整理得3x＋y－6＝0.7.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_________.12345678910111213141516解析设A(m，0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，8.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____.12345678910111213141516－2∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，∵点P(3，m)在直线AB上，∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.9.求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.12345678910111213141516解得a＝2或a＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.10.在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；解设C(x0，y0)，即C(－5，－3).12345678910111213141516(2)直线MN的截距式方程.1234567891011121314151612345678910111213141516综合运用A.a>0，b>0 B.a>0，b<0C.a<0，b>0 D.a<0，b<0√12.若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则A.l的倾斜角为锐角且不过第二象限B.l的倾斜角为钝角且不过第一象限C.l的倾斜角为锐角且不过第四象限D.l的倾斜角为钝角且不过第三象限√12345678910111213141516显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.√假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合.1234567891011121314151614.在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为√解析A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，1234567891011121314151615.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是____.拓广探究31234567891011121314151616.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程.12345678910111213141516解∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，∴直线方程为x＋y±6＝0.若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，12345678910111213141516∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.12345678910111