人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第2课时）》示范教学课件

锐角三角函数（第2课时）人教版九年级数学下册如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，我们把锐角A的___________________叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝____________＝____．ACB斜边a对边cb对边与斜边的比问题如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，当∠A确定时，∠A

的对边与斜边的比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？猜想：在

Rt△ABC

中，当∠A

确定时，∠A

的邻边与斜边的比、∠A

的对边与邻边的比都是确定的．ACB斜边c对边a邻边

b探究如图，任意画Rt△ABC

和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么与相等吗？与呢？你能解释一下吗？ABCB′C′A′

＝

，

＝

．

证明：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．∴

＝

＝，

即

＝

，＝．ABCB′C′A′类似正弦的情况，如图，在

Rt△ABC

中，当∠A

确定时，∠A

的邻边与斜边的比、∠A

的对边与邻边的比都是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A

的余弦，记作cosA，即cosA＝＝；把∠A的对边与邻边＝．的比叫做∠A

的正切，记作tanA，即tanA＝ACB斜边c对边a邻边

b提醒（1）余弦、正切是在直角三角形中相对于锐角定义的，反映了直角三角形边与角的关系，不能在非直角三角形中套用．（2）余弦、正切是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与角的大小有关，与三角形的大小无关．ACB斜边c对边a邻边

b

对于锐角A

的每一个确定的值，sinA

有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A

的函数．同样地，cosA，tanA

也是A

的函数．∠A

的正弦、余弦、正切都是∠A

的锐角三角函数．提醒锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与锐角的大小有关．当锐角A

的大小确定后，sinA，cosA，tanA

就都确定了，所以sinA，cosA，tanA

都是以锐角A

为自变量的函数．

例1

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin

A，cos

A，tan

A的值．ABC106

解：由勾股定理得

AC＝

＝

＝8．

∴sinA＝

＝

＝

，

cosA＝

＝

＝

，

tanA＝

＝

＝

．归纳直接用定义法求锐角三角函数值第1步：根据已知条件，选择合适的定理（如勾股定理等）求出所需的边长．第2

步：根据锐角三角函数的定义进行求解．

例2

已知

α是锐角，且

cosα＝

，求

sinα及

tanα的值．

解：如图，在

Rt△ABC中，令∠A＝α，∠C＝90°．

∵cos

α＝

，

∴可设

AC＝4k，AB＝5k(k＞0)，

∴BC＝

＝3k，

∴sinα＝

＝

＝

，

tanα＝

＝

＝

．ABCα归纳设参数法求锐角三角函数值已知锐角的一个三角函数值，求该角的另外两个三角函数值，可设参数解答．没有给出图形的题目，一般应先根据题目已知条件画出符合题意的图形，再采用设参数法，并结合勾股定理及锐角三角函数的定义来解决，注意在最后计算时约去参数．

例3

如图，在△ABC

中，AB＝AC＝8，BC＝12，求∠B

的三角函数值．

解：如图，过点

A作

AD⊥BC

于点

D．∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝

BC＝6．在Rt△ABD中，AD＝

＝

＝2，

∴sinB＝

＝

＝

，

cosB＝

＝

＝

，

tanB＝

＝

＝

．ACBD归纳构造直角三角形求锐角三角函数值的步骤第1

步：观察所要求的锐角是否在某一个直角三角形中．第2

步：若在直角三角形中，则根据锐角三角函数的定义直接求出其锐角三角函数值；若在锐角（或钝角）三角形中，则应先作辅助线构造以该角为内角的直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求其锐角三角函数值．

例4

如图，在半径为

3

的⊙O

中，直径

AB

与弦

CD

相交于点

E，连接

AC，BD，若

AC＝2，求

tan

D

的值．ABCDOE

解：如图，连接BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝2×3＝6，

∴BC＝

＝

＝4．∵∠D＝∠A（圆周角定理的推论），

∴tan

D＝tan

A＝

＝

＝2

．归纳用等角转化法求锐角三角函数值求锐角三角函数值的方法有很多，如设参数法、构造法等，但