2024年高等数学经典方法与典型例题归纳

山东省一般高等教诲专升本考试山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典措施及经典例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程5月17日星期五曲天尧编写一、求极限各种措施1．约去零因子求极限例1：求极限【阐明】表白无限接近，但，因此这一零因子能够约去。【解】=42．分子分母同除求极限例2：求极限【阐明】型且分子分母都以多项式给出极限,可通过度子分母同除来求。【解】【注】(1)一般分子分母同除最高次方；(2)3．分子(母)有理化求极限例3：求极限【阐明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】例4：求极限【解】【注】本题除了使用分子有理化措施外，及时分离极限式中非零因子是解题核心4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。重要考第二个重要极限。例5：求极限【阐明】第二个重要极限重要搞清楚凑步骤：先凑出１，再凑，最后凑指数某些。【解】例6：(1)；(2)已知，求。5．用等价无穷小量代换求极限【阐明】(1)常用等价无穷小有：当时,,；(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中因式；(3)此措施在各种求极限措施中应作为首选。例7：求极限【解】.例8：求极限【解】6．用洛必达法则求极限例9：求极限【阐明】或型极限,可通过罗必塔法则来求。【解】【注】许多变动上显积分体现极限，常用洛必达法则求解例10：设函数f(x)连续，且，求极限【解】因为,于是====7．用对数恒等式求极限例11：极限【解】==【注】对于型未定式极限，也可用公式=因为例12：求极限.【解1】原式【解2】原式8．利用Taylor公式求极限例13求极限.【解】,;.例14求极限.【解】.9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限【阐明】这是形式数列极限，因为数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供措施结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限因此，10．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理措施(1)用定积分定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限【阐明】用定积分定义把极限转化为定积分计算,是把当作［0,1］定积分。【解】原式＝例17：极限【阐明】(1)该题遇上一题类似，不过不能凑成形式，因而用两边夹法则求解；(2)两边夹法则需要放大不等式，常用措施是都换成最大或最小。【解】因为又因此＝１11．单调有界数列极限问题例18：设数列满足（Ⅰ）证明存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限准则来证明数列极限存在.【详解】（Ⅰ）因为，则.可推得，则数列有界.于是，（因当），则有，可见数列单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限存在.设，在两边令，得，解得，即.（Ⅱ）因，由（Ⅰ）知该极限为型，(使用了洛必达法则)故.二、常用不定积分求解措施讨论0.引言不定积分是《高等数学》中一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分函数基本，要处理以上问题，不定积分问题必要处理，而不定积分基本就是常用不定积分解法。不定积分解法不像微分运算时有一定法则，它要依照不一样题型特点采取不一样解法，积分运算比起微分运算来，不但技巧性更强，并且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”，就是说这些函数原函数不能用初等函数来体现，例如（其中）；；；等。这首先体现了积分运算困难，另首先也推进了微积分自身发展。同时，同一道题也也许有各种解法，各种成果，因此，掌握不定积分解法比较困难，下面将不定积分各种求解措施分类归纳，以便于愈加好掌握、利用。1.不定积分概念定义：在某区间I上函数，若存在原函数，则称为可积函数，并将全体原函数记为,称它是函数在区间I内不定积分，其中为积分符号，称为被积函数，称为积分变量。若为原函数，则：=+C(C为积分常数)。在这里要尤其注意，不定积分是某一函数全体原函数，而不是一个单一函数，它几何意义是一簇平行曲线，也就是说：()和是不相等，前者成果是一个函数，而后者是无穷各种函数，因此，在书写计算成果时一定不能忘掉积分常数。性质：1.微分运算与积分运算时互逆。注：积分和微分连在一起运算时：——————>完全抵消。——————>抵消后差一常数。2.两函数代数和不定积分，等于它们各自积分代数和，即：=±。3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：=(≠0)。在这里，给出两个重要定理：(1)导数为0函数是常函数。(2)若两函数导数到处相等，则两函数相差一个常数。以便于愈加好处理某些简单不定积分问题。上面将不定积分概念以及性质做了简单简介，下面，咱们开始讨论不定积分各种求解措施。2.直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分定义来计算不定积分是非常不以便，利用不定积分运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种措施就是直接积分法(另称公式法)。下面先给出基本求导公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)。依照以上基本求导公式，咱们不难导出如下基本积分表：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)。下面举例子加以阐明：例2.1：求解原式====注意：这里三个积分常数都是任意，故可写成一个积分常数。因此对一个不定积分，只要在最后所得式子中写上一个积分常数即可，日后遇到这种情况不再阐明。例2.2：求解原式===注：此处有一个技巧措施，这里先称作“加1减1”法，相称于是将多项式拆提成各种单项式，然后利用基本积分公式计算，下面例题中还会遇到类似题型，遇届时详细讲解。直接积分法只能计算较简单不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表处理不定积分，对于稍微复杂一点不定积分便无从下手，因此，下面咱们将一一讨论其她措施。3.第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得某些函数原函数，但只是这么远不能处理问题，如就无法求出，必要将它进行变形，然后就能够利用基本积分公式求出其积分。假如不定积分用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为，作变量代换，并注意到，则可将有关变量积分转化为有关积分，于是有假如能够求出，不定积分计算问题就处理了，这就是第一类换元法(凑微分法)。注：上述公式中，第一个等号体现换元，最后一个等号体现回代.下面详细举例题加以讨论例3.1：求.解原式==对变量代换比较纯熟后，可省去书写中间变量换元和回代过程。例3.2：求.解原式例3.3：求解在这里做一个小结，当遇到形如：不定积分，可分为如下3中情况：：①不小于0时。可将原式化为，其中，x1、x2为两个解，则原不定积分为：②等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成。然后依照基本微分公式(2)便可求解。③小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可依照基本积分公式(4)便可求解。例3.4：求解原式该题也可利用三角函数之间关系求解：原式.虽然两种解法成果不一样，但经验证均为原函数，这也就体现了不定积分解法以及成果不唯一性。例3.5：求.解例3.6：求.解注：当被积函数是三角函数乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数偶数次幂时，常用半角公式通过减少幂次措施来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余偶次用半角公式降幂后再计算。例3.7：求.解原式注：这里也就是类似例2所说措施，此处是“减1加1”法。4.第二类换元法假如不定积分用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作恰当变量替代后，所得到有关新积分变量不定积分能够求得，则可处理计算问题，这就是所谓第二类换元(积分)法。设是单调、可导函数，且，又设具备原函数，则，其中是反函数。注：由此可见，第二类换元积分法换元与回代过程与第一类换元积分法恰好相反。例4.1：求不定积分.解令，则，，因此axt为将变量还原回本来积分变量，由作直角三角形，可知，代入上式，得axt注：对本题，若令，同样可计算。例4.2：求不定积分.解令，则，，因此例4.3：求不定积分.解令，则，，因此注：以上几例所使用均为三角代换，三角代换目是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中具备时，可令，；假如被积函数中具备，可令，；假如被积函数中具备；可令，.例4.4：求不定积分解令，则，因此，。.例4.5：求不定积分.解(变形).令，.原式有关第二类换元法，就举些例子阐明，详细要多做大量习题，这么才能找到该怎么样换元感觉，才能愈加好掌握这种措施。5.分部积分法前面所简介换元积分法虽然能够处理许多积分计算问题，但有些积分，如、等，利用换元法就无法求解.接下来要简介另一个基本积分法——分部积分法.设函数和具备连续导数，则移项得到，因此有，或.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分核心在于怎样将所给积分化成形式，使它更轻易计算.所采取重要措施就是凑微分法，例如，利用分部积分法计算不定积分，选用好u,v非常核心，选用不当将会使积分计算变得愈加复杂。下面将通过例题简介分部积分法应用。例5.1：求不定积分.解令，，则有些函数积分需要连续数次应用分部积分法。例5.2：求不定积分.解令和，则.对背面不定积分再用分部积分法，(运算纯熟后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得