2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型八 几何图形综合题 (含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型八几何图形综合题类型一动点问题典例精讲例1如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE＝CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.例1题图①(1)如图①，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F.①求证：FA＝DE；【思维教练】要证FA＝DE，可先根据已知条件证明△AFC≌△EDC，可得结论；②请猜想三条线段DE、AD、CH之间的数量关系，直接写出结论；【思维教练】根据CH是等腰直角△FCD斜边上的中线得：FD＝2CH，再进行等量代换可得结论；(2)如图②，当∠ACB＝120°时，三条线段DE、AD、CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．例1题图②【思维教练】根据(1)作辅助线，构建全等三角形，证明△FAC≌△DEC得AF＝DE，FC＝CD，得等腰△FDC，由三线合一的性质得CH是底边中线和顶角平分线，得直角△CHD，利用三角函数得出HD与CH的关系，从而得出结论．针对训练1.如图，△ABC是等边三角形，点P是BC边上的一点，以点P为顶点的∠MPN＝120°，射线PM、PN分别交AB、AC于点D、E.(1)如图①，当点P为BC中点时，判断PD与PE的数量关系，并证明；(2)如图②，当PC＝2PB时，判断PD与PE的数量关系，并证明；(3)连接AP，若AB＝8，AP＝7，BD＝2时，请直接写出CE的长．第1题图2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF.(1)如图①，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；(2)如图②，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．第2题图

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，以CD为边作正方形CDFE，连接BE.(1)如图①，当点D在线段AB的延长线上时，线段BD、AB、BE的数量关系为：________；(2)如图②，当点D在线段BA的延长线上时，猜想并证明线段BD、AB、BE的数量关系；(3)若AB＝6，BD＝7.①请直接写出三角形ADE的面积________，②请直接写出线段CE的长度________．第3题图4.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，连接CE.(1)如图①，当点E在边AD上时，猜想BP与CE的数量关系是________；(2)如图②，当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在点P的移动过程中，连接AC，DE，若AB＝2，PD＝1，请直接写出四边形ACDE的面积值．第4题图类型二旋转问题典例精讲例1在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转eq\f(1,2)α得线段EP.(1)如图①，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；例1题图①【思维教练】延长PE交CD于点F，连接AF，根据平行四边形性质可证得四边形ADFE是菱形，进而得出△AEF是等边三角形，再证明△APE≌△ACF，即可求解；(2)如图②，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点F，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；【思维教练】连接CF，证明△BCF≌△EAF，进而得出∠AFC＝90°，利用三角函数可得AC与AF的数量关系，再运用勾股定理即可；例1题图②(3)当α＝120°时，连接AP，若BE＝eq\f(1,2)AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．【思维教练】分两种情况：①当点E在AB上时，根据平行四边形的性质，可得出△APE与平行四边形ABCD的面积关系，易证得△AEG∽△CDG，根据相似三角形的性质，可得出△CDG与平行四边形ABCD的面积关系，从而求解；②当点E在AB延长线上时，同理可得出△APE与平行四边形AEFD的面积关系，再根据相似三角形的性质，可得出△CDG与平行四边形AEFD的面积关系，从而求解．针对训练1.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE.(1)如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝________度(直接填空)；(2)如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝eq\f(1,2)EC；(3)当AB＝2eq\r(2)，且点E到AC的距离EH＝eq\r(3)－1时，直接写出AH的值．图①图②第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①如图①，当α＝0°时，eq\f(AE,BD)＝________；②当α＝180°时，eq\f(AE,BD)＝________；(2)拓展探究试判断当0°＜α＜360°时，eq\f(AE,BD)的值有无变化，并就图②的情形说明理由；(3)问题解决当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，若以点E、B、C为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出线段BD的长．第2题图备用图3.如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，直线l与边BC重合，将直线l绕点B旋转，旋转角为α，AM⊥直线l于点M，CN⊥直线l于点N，连接OM，ON.(1)如图①，当直线l绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜30°)时，求证：OM＝ON；(2)如图②，当直线l绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜30°)时，请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；(3)若旋转角α＝15°，当四边形ABCD为正方形，且边长为2eq\r(2)时，请直接写出线段MN的长．第3题图备用图4.在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠CDE＝90°，AC＝BC＝2eq\r(6)，CD＝ED＝2，连接AE，BE，点F为AE的中点，连接DF，△CDE绕着点C旋转．(1)如图①，当点D落在AC的延长线上时，DF与BE的数量关系是：________；(2)如图②，当△CDE旋转到点D落在BC的延长线上时，DF与BE是否仍具有(1)中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由；(3)旋转过程中，若当∠BCD＝105°时，直接写出DF2的值．第4题图备用图类型三角度变化问题典例精讲例1如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α(0°＜α＜180°)，且AB＝CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合)，作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE.(1)如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；【思维教练】易知△ABD∽△CED，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；例1题图①(2)如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；例1题图②【思维教练】在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE，得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数得出FH＝EH＝eq\f(\r(3),2)BE，进而得出结论；(3)当α＝120°，tan∠DAB＝eq\f(1,3)时，请直接写出eq\f(CE,BE)的值．备用图【思维教练】分点D在线段CB上和点D在CB延长线上两种情况讨论，利用(2)中的方法及结论即可求解．针对训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝α，点D为射线AC上一动点，作∠BDE＝α，过点B作BE⊥BD，交DE于点E，(点A，E在BD的两侧)连接CE.(1)如图①，若α＝45°时，请直接写出线段AD，CE的数量关系；(2)如图②，若α＝60°时，(1)中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由；(3)若α＝30°，AC＝6，且△ABD为等腰三角形时，请直接写出线段CE的长．第1题图备用图2.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为AB边上一动点，∠CDE＝α，CD＝ED，连接BE，EC.(1)如图①，若α＝60°，则∠EBA＝________，AD与EB的数量关系是________；(2)如图②，当α＝120°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；(3)如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为正方形DEFG的中心，若OA＝2eq\r(2)，请直接写出线段EF的长度．第2题图3.在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD(CE≥CA)，BC＝CD，∠D＝α，∠ACB＋∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD.(1)如图①，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝________，∠ABP＝________，(用含α的代数式表示)；(2)如图②，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC；(3)若∠ABC＝60°，BC＝eq\r(3)＋1，将图③中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长．第3题图4.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且∠APB＝45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D.(1)如图①当∠ABP＝90°时，请直接写出线段AP与CD之间的数量关系为_________；(2)如图②，当∠ABP＞90°时．①猜想并证明线段AP与CD之间的数量关系；②在线段AP上取一点K，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出此时eq\f(KP,BP)的值．第4题图类型四折叠问题典例精讲例1如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°，点E是边AB上一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G.(1)当点H与点C重合时；例1题图①填空：点E到CD的距离是________；【思维教练】作CK⊥AB于K，解直角三角形BCK即可求解；②求证：△BCE≌△GCF；【思维教练】根据平行四边形的性质和折叠的性质得出∠B＝∠G，∠BCE＝∠GCF，BC＝GC，然后根据AAS即可证明；③求△CEF的面积；【思维教练】过E点作EP⊥BC于P，设BP＝m，则BE＝2m，通过解直角三角形求得EP＝eq\r(3)m，然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC，进而根据三角形的面积即可求得；(2)当点H落在射线BC上，且CH＝1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．备用图【思维教练】过E点作EE′⊥BC于E′，需分两种情况讨，即当BH＝3或BH＝5，设BE′＝m，由勾股定理可求得m的值，再根据角对应关系，求出ME的长，然后根据三角形面积公式即可求得．针对训练1.已知：四边形ABCD，点E在直线BC上，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在直线DE上，直线AF交直线CD于点G.(1)如图①，当四边形ABCD为矩形时，①求证：DA＝DE；②若BE＝3,CE＝2，求线段AF的长；(2)如图②，当四边形ABCD为平行四边形时，若eq\f(BE,CE)＝eq\f(3,2)，直接写出此时eq\f(AF,AG)的值．第1题图2.在Rt△ABC中，∠C＝2∠B＝90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，(1)如图①，请写出AB、AC、DC之间的关系________；(2)如图②，若∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、DC之间的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠D＝90°，AB＝BC，AD＝DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC＝3，直接写出DE的长．第2题图参考答案类型一动点问题典例精讲例1(1)①证明：∵∠ACB＋∠ADE＝180°，∴∠CAD＋∠CED＝360°－180°＝180°，∵∠CAD＋∠CAF＝180°，∴∠CAF＝∠CED，∵CF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACF＋∠ACD＝∠ACD＋∠DCE，∴∠ACF＝∠DCE，∵CA＝CE，∴△AFC≌△EDC(ASA)，(4分)∴FA＝DE；(5分)②解：DE＋AD＝2CH；(7分)【解法提示】由①得AF＝DE，△AFC≌△EDC，∴CD＝CF，∵CF⊥CD，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，∵CH⊥FD，∴CH＝HD＝FH，∴FD＝FA＋AD＝DE＋AD＝2CH.(2)解：三条线段DE、AD、CH之间的数量关系是：DE＋AD＝2eq\r(3)CH.(8分)证明：如解图，延长BA到点F，使AF＝DE，连接CF、CD.∵∠ACB＋∠ADE＝180°，∴∠CAD＋∠CED＝360°－180°＝180°，∵∠CAD＋∠CAF＝180°，∴∠CAF＝∠CED，∵AC＝CE，AF＝DE，∴△AFC≌△EDC(SAS)，∴CF＝CD，∠ACF＝∠ECD，∴∠FCD＝∠ACF＋∠ACD＝∠ECD＋∠ACD＝∠ACB＝120°，∵CF＝CD，CH⊥DF，∴FH＝DH＝eq\f(1,2)DF＝eq\f(1,2)(DE＋AD)，∠HCD＝eq\f(1,2)∠FCD＝60°，∴tan∠HCD＝eq\f(DH,CH)＝eq\r(3)，∴DH＝eq\r(3)CH，(11分)∴DE＋AD＝2DH＝2eq\r(3)CH.(12分)例1题解图针对训练1.解：(1)PD＝PE；证明：如解图①，过点P作PF∥AC交AB于点F，第1题解图①∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠BFP＝∠A＝60°，∠BPF＝∠C＝60°，∴△BPF为等边三角形，∴FP＝BP，∵BP＝CP，∴FP＝CP，∵∠DPF＋∠EPF＝∠CPE＋∠EPF＝120°，∴∠DPF＝∠CPE，又∵∠BFP＝∠C＝60°，∴△PDF≌△PEC(ASA)，∴PD＝PE.(2)PE＝2PD；证明：如解图②，过点P作PF∥AC交AB于点F，第1题解图②∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠BFP＝∠A＝60°，∠BPF＝∠C＝60°，∴△BPF为等边三角形，∵∠DPF＋∠EPF＝∠CPE＋∠EPF＝120°，∴∠DPF＝∠CPE，又∵∠BFP＝∠C＝60°，∴△PDF∽△PEC，∴eq\f(PD,PE)＝eq\f(PF,PC)，又∵PF＝PB，∴eq\f(PD,PE)＝eq\f(PB,PC)＝eq\f(1,2)，∴PE＝2PD；(3)CE的长为eq\f(5,3)或eq\f(9,5).【解法提示】如解图③，连接AP，过点A作AO⊥BC于点O，过点P作PF∥AC，第1题解图③∵∠B＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AB＝8，∴BO＝4，AO＝eq\r(AB2－BO2)＝4eq\r(3)，在Rt△APO中，AP＝7，PO＝eq\r(AP2－AO2)＝1，∴BP＝3，PC＝5，由(2)知△PDF∽△PEC，BP＝BF＝PF＝3，∴eq\f(DF,EC)＝eq\f(PF,PC)，又∵BD＝2，∴eq\f(3－2,CE)＝eq\f(3,5)，解得CE＝eq\f(5,3)，同理，如解图④，BP＝5，PC＝3，第1题解图④由eq\f(DF,EC)＝eq\f(PF,PC)得，eq\f(5－2,CE)＝eq\f(5,3)，解得CE＝eq\f(9,5)，综上所述，CE的长为eq\f(5,3)或eq\f(9,5).2.解：(1)EF＝BE；【解析】当点F与点A重合时，∵D为AB的中点，∴DF＝DB，∵DF⊥DE，∴DE垂直平分BF，∴EF＝BE.(2)AF2＋BE2＝EF2；理由如下：如解图①，过点A作AM∥EC，交ED的延长线于点M，连接MF，∵∠ACB＝90°，∴∠MAF＝∠ACB＝90°，∴AF2＋AM2＝MF2，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∵AM∥EC，∴∠AMD＝∠BED，∵∠ADM＝∠BDE，∴△ADM≌△BDE，∴AM＝BE，DM＝DE，∵DF⊥DE，∴DF垂直平分ME∴MF＝EF，∴AF2＋BE2＝EF2.第2题解图①(3)eq\f(11,5)或1.【解法提示】理由如下：①如解图②，当点E在线段BC上时，此时CE＝1，第2题解图②过点B作BH∥AC，交FD的延长线于点H，连接EH，∴∠FAD＝∠HBD，∠HBE＝∠ACB＝90°，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∵∠ADF＝∠BDH，∴△ADF≌△BDH，∴DF＝DH，AF＝BH，∵DF⊥DE，∴HE＝EF.设AF＝x，则BH＝x,∵AC＝5，BC＝3，∴CF＝5－x，BE＝3－1＝2，在Rt△EFC和Rt△HEB中，由勾股定理得CF2＋CE2＝EF2，BE2＋BH2＝HE2，∴CF2＋CE2＝BE2＋BH2，∴(5－x)2＋12＝22＋x2，解得x＝eq\f(11,5).∴AF＝eq\f(11,5).②如解图②，当点E在BC延长线上时，此时CE＝1，第2题解图③过点B作BH∥AC，交FD的延长线于点H，连接EH，∴∠FAD＝∠HBD，∠HBE＝∠ACB＝90°，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∵∠ADF＝∠BDH，∴△ADF≌△BDH，∴DF＝DH，AF＝BH，∵DF⊥DE，∴HE＝EF.设AF＝x，则BH＝x,∵AC＝5，BC＝3，∴CF＝5－x，BE＝3＋1＝4，在Rt△EFC和Rt△HEB中，由勾股定理得CF2＋CE2＝EF2，BE2＋BH2＝HE2，∴CF2＋CE2＝BE2＋BH2，∴(5－x)2＋12＝42＋x2，解得x＝1.∴AF＝1.综上所述，线段AF的长为eq\f(11,5)或1.3.解：(1)BE＝AB＋BD；【解法提示】∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CB,∠ACD＝∠BCE,CD＝CE))，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∵AD＝AB＋BD，∴BE＝AB＋BD.(2)BD＝AB＋BE；证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CB,∠ACD＝∠BCE,CD＝CE))，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∵BD＝AB＋AD，∴BD＝AB＋BE；(3)①eq\f(169,2)或eq\f(1,2)；【解法提示】a、当点D在线段AB的延长线上时，∵AB＝6，BD＝7，∴BE＝AD＝6＋7＝13，∵BE⊥AD，∴S△AED＝eq\f(1,2)·AD·EB＝eq\f(1,2)×13×13＝eq\f(169,2)；b、点D在线段BA的延长线上时，∵AB＝6，BD＝7，∴BE＝AD＝BD－AB＝7－6＝1，∵BE⊥AD，∴S△AED＝eq\f(1,2)·AD·EB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，综上所述，三角形ADE的面积为eq\f(169,2)或eq\f(1,2)；②eq\r(109)或5.【解法提示】分两种情况：a、当点D在线段AB的延长线上时，如解图①过点C作CG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴AG＝BG＝eq\f(1,2)AB＝3，CG＝eq\f(1,2)AB＝3，∴DG＝BD＋BG＝7＋3＝10，∴CE＝CD＝eq\r(CG2＋DG2)＝eq\r(32＋102)＝eq\r(109)；b、点D在线段BA的延长线上时，如解图②，过点C作CG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴AG＝BG＝eq\f(1,2)AB＝3，CG＝eq\f(1,2)AB＝3，∴DG＝BD－BG＝7－3＝4，∴CE＝CD＝eq\r(CG2＋DG2)＝eq\r(32＋42)＝5，综上所述，线段CE的长度为eq\r(109)或5.第3题解图①第3题解图②4.解：(1)BP＝CE；【解法提示】如解图①，连接AC，在菱形ABCD中，AB＝CB，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝120°，∵△PAE是等边三角形，且点E在边AD上，∴AP＝AE，∠DAP＝60°，∴∠BAP＝∠BAD－∠DAP＝60°＝∠BAC，∴点P在AC上，在△ABP和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC,∠BAP＝∠CAE,AP＝AE))，∴△ABP≌△ACE(SAS)，∴BP＝CE；第4题解图①(2)结论仍然成立．证明：①当点P在线段BD上时，如解图②，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE，在△BAP和△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC,∠BAP＝∠CAE,AP＝AE))，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP＝CE；第4题解图②②当点P在BD的延长线上时，如解图③，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE.在△BAP和△CAE中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC,∠BAP＝∠CAE,AP＝AE))，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP＝CE；第4题解图③(3)2eq\r(3)＋1或2eq\r(3)－1.【解法提示】记CE交AD于点H，由(2)易知，BD⊥AC，∴∠AOB＝90°，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD＝2OB，∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，在Rt△AOB中，AB＝2，∴OA＝1，OB＝eq\r(3)，∴BD＝2eq\r(3)，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，①当点P在线段BD上时，如解图④，∵DP＝1，∴BP＝BD－DP＝2eq\r(3)－1，由(1)知∠ABP＝∠ACE＝30°，∠CAD＝60°∴∠AHC＝90°即AH⊥EC，由(2)知，CE＝BP，∴CE＝2eq\r(3)－1，∴S四边形ACDE＝S△ACE＋S△DCE＝eq\f(1,2)CE·AH＋eq\f(1,2)CE·DH＝eq\f(1,2)CE·(AH＋DH)＝eq\f(1,2)CE·AD＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－1)×2＝2eq\r(3)－1；第4题解图④②当点P在线段BD的延长线上时，如解图⑤，∵DP＝1，∴BP＝BD＋DP＝2eq\r(3)＋1，由(2)知，CE＝BP，∴CE＝2eq\r(3)＋1，∴S四边形ACDE＝S△ACE＋S△DCE＝eq\f(1,2)CE·AH＋eq\f(1,2)CE·DH＝eq\f(1,2)CE·(AH＋DH)＝eq\f(1,2)CE·AD＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)＋1)×2＝2eq\r(3)＋1，综上所述，四边形ACDE的面积为2eq\r(3)＋1或2eq\r(3)－1.第4题解图⑤类型二旋转问题典例精讲例1解：(1)AP＝AC；(4分)【解法提示】如解图①，延长PE交CD于点F，连接AF，∵在▱ABCD中，∠BAD＝α＝120°，∴∠ABC＝60°，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD.∵∠AEF＝∠PEB＝eq\f(1,2)α＝60°，∴∠ABC＝∠AEF，∴EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE＝CF，EF＝BC＝AD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.又∵AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝EF，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AFE＝60°，∴∠AEP＝180°－∠PEB＝120°，∠AFC＝∠AFE＋∠CFE＝∠AFE＋∠ABC＝120°，∴∠AEP＝∠AFC，∵PE＝BE，∴PE＝CF，在△APE和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF,∠AEP＝∠AFC,PE＝CF))，∴△APE≌△ACF.∴AP＝AC.例1题解图①(2)AB2＋AD2＝2AF2；理由：如解图②，连接CF，∵在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC.∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°.∵∠BEF＝eq\f(1,2)α＝eq\f(1,2)∠BAD＝eq\f(1,2)×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF.∵∠FBC＝∠FBE＋∠ABC＝135°，∠AEF＝180°－∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，在△BCF和△EAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝AE,∠CBF＝∠AEF,BF＝EF))，∴△BCF≌△EAF，∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE＋∠CFE＝∠CFB＋∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°.∵sin∠ACF＝eq\f(AF,AC)，∴AC＝eq\f(AF,sin∠ACF)＝eq\f(AF,sin45°)＝eq\r(2)AF.∵在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋AD2＝2AF2；(8分)例1题解图②(3)eq\f(5,4)或eq\f(3,4).(12分)【解法提示】①如解图③，当点E在线段AB上时，∵BE＝eq\f(1,2)AB，∴AE＝BE，即点E是AB的中点，∵在▱ABCD中，∠BAD＝α＝120°，∴∠ABC＝60°，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴BE＝AD，由旋转知PE＝BE，∠PEB＝eq\f(1,2)α＝60°，∴PE＝AD，∠AEP＝∠BAD＝120°，∴PE∥AD，∴四边形APED是平行四边形，设▱ABCD的面积为S，则S△ACD＝eq\f(1,2)S，S△APE＝S△ADE＝eq\f(1,4)S,∵AB∥CD，∴△AEG∽△CDG，∴eq\f(AG,CG)＝eq\f(AE,CD)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(CG,AC)＝eq\f(2,3)，∴S△CDG＝eq\f(2,3)S△ACD＝eq\f(1,3)S，∴eq\f(S△APE,S△CDG)＝eq\f(\f(1,4)S,\f(1,3)S)＝eq\f(3,4)；例1题解图③②如解图④，当点E在AB的延长线上时，延长EP交DC的延长线于点F，连接AF，∵BE＝eq\f(1,2)AB，∴BE＝eq\f(1,3)AE，∵在▱ABCD中，∠BAD＝α＝120°，∴∠ABC＝60°，BC∥AD，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，由旋转知PE＝BE，∠PEB＝eq\f(1,2)α＝60°，∴∠ABC＝∠PEB，∴EF∥BC，即EF∥BC∥AD，∴四边形BEFC和四边形AEFD均是平行四边形，∴AD＝AE＝EF，∴PE＝eq\f(1,3)EF.设▱AEFD的面积为S，则S△AEF＝S△AED＝eq\f(1,2)S，∴S△APE＝eq\f(1,3)S△AEF＝eq\f(1,6)S，由①知△AEG∽△CDG，∴eq\f(AG,CG)＝eq\f(EG,DG)＝eq\f(AE,CD)，∵eq\f(AE,CD)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(AG,CG)＝eq\f(EG,DG)＝eq\f(3,2)，∴S△AEG＝eq\f(3,5)S△AED＝eq\f(3,10)S，∴S△CDG＝eq\f(4,9)S△AEG＝eq\f(2,15)S，∴eq\f(S△APE,S△CDG)＝eq\f(\f(1,6)S,\f(2,15)S)＝eq\f(5,4).例1题解图④综上所述，△APE与△CDG面积的比值为eq\f(5,4)或eq\f(3,4).针对训练1.(1)90；【解法提示】由旋转得AE＝AD，∵∠DAE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠AED＝45°，∵∠EDC＝∠B＋∠BED，∠B＝45°，∴∠EDC＝90°；(2)证明：如解图①，作PA⊥AB交BC于点P，连接PE.第1题解图①∵∠DAE＝∠BAP＝90°，∴∠BAD＋∠DAP＝∠DAP＋∠PAE，∴∠BAD＝∠PAE，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP.又∵AD＝AE，∴△BAD≌△PAE，∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，∴∠EPD＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴EP＝eq\f(1,2)EC，∴BD＝eq\f(1,2)EC；(3)解：eq\r(3)＋1或eq\f(5\r(3),3)－1.【解法提示】分两种情况：①如解图②，当D与B重合时，过点A作AG⊥BC于点G，第1题解图②∵∠B＝45°，∠BAE＝90°，∴△ABG和△AEG均是等腰直角三角形，∵AB＝2eq\r(2)，∴DG＝AG＝EG＝2，AE＝2eq\r(2)，∵EH＝eq\r(3)－1，由勾股定理得AH＝eq\r(AE2－EH2)＝eq\r(（2\r(2)）2－（\r(3)－1）2)＝eq\r(4＋2\r(3))＝eq\r(3)＋1；②如解图③，过点A作AG⊥BC于点G，过点A作AF⊥AB交BC于点F，连接EF交AC于点K，过点F作FQ⊥AC于点Q，第1题解图③由(2)知△BAD≌△FAE，∴∠AFE＝∠B＝45°，∴∠BFE＝∠CFE＝90°，在Rt△AGC中，AG＝FG＝2，∠C＝30°，∴AC＝4，CG＝2eq\r(3)，∴CF＝CG－FG＝2eq\r(3)－2，在Rt△CFQ中，FQ＝eq\f(1,2)CF＝eq\r(3)－1＝EH，∴CQ＝eq\r(3)FQ＝3－eq\r(3)，∵EH⊥AC，FQ⊥AC，∴∠EHK＝∠FQK＝90°，∠CFQ＝60°，∠KFQ＝30°，又∵∠EKH＝∠FKQ，EH＝FQ，∴△EHK≌△FQK，∴KH＝KQ＝eq\f(FQ,\r(3))＝eq\f(\r(3)－1,\r(3))＝1－eq\f(\r(3),3)，∴AH＝AC－CQ－QH＝4－(3－eq\r(3))－2(1－eq\f(\r(3),3))＝eq\f(5\r(3),3)－1.综上所述，AH的长是eq\r(3)＋1或eq\f(5\r(3),3)－1.2.解：(1)①eq\r(5)；②eq\r(5)；【解法提示】①当α＝0°时，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(5)，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(5)，BD＝eq\f(1,2)BC＝1，∴eq\f(AE,BD)＝eq\r(5)；②如解图①，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵eq\f(AC,AE)＝eq\f(BC,BD)，∴eq\f(AE,BD)＝eq\f(AC,BC)＝eq\r(5).第2题解图①(2)当0°＜α＜360°时，eq\f(AE,BD)的值无变化，理由如下：∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵eq\f(EC,DC)＝eq\f(AC,BC)＝eq\r(5)，∴△ECA∽△DCB，∴eq\f(AE,BD)＝eq\f(EC,DC)＝eq\r(5)；(3)线段BD的长为eq\r(5)或eq\f(3\r(5),5).【解法提示】①如解图②，当点E在AB的延长线上时，以点E、B、C为顶点的三角形为直角三角形，在Rt△BCE中，CE＝eq\r(5)，BC＝2，∴BE＝eq\r(CE2－CB2)＝1，∴AE＝AB＋BE＝5，∵eq\f(AE,BD)＝eq\r(5)，∴BD＝eq\r(5)；②如解图③，当点E在线段AB上时，以点E、B、C为顶点的三角形为直角三角形，在Rt△BCE中，CE＝eq\r(5)，BC＝2，∴BE＝eq\r(CE2－CB2)＝1，∴AE＝AB－BE＝3，∵eq\f(AE,BD)＝eq\r(5)，∴BD＝eq\f(3\r(5),5).综上所述，线段BD的长为eq\r(5)或eq\f(3\r(5),5).第2题解图3.(1)证明：如解图①，延长NO交AM于点H，∵AM⊥l，CN⊥l，∴∠AMN＝∠CNM＝90°，AM∥CN，∴∠OAH＝∠OCN.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.又∵∠AOH＝∠CON，∴△AOH≌△CON(ASA)，∴OH＝ON，∴在Rt△HMN中，OM＝ON；第3题解图①(2)解：成立；理由：如解图②，延长NO交MA的延长线于点H，∵AM⊥l，CN⊥l，∴∠AMN＝∠CNM＝90°，AM∥CN，∴∠OAH＝∠OCN.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.又∵∠AOH＝∠CON，∴△AOH≌△CON(ASA)，∴OH＝ON，∴在Rt△HMN中，OM＝ON；第3题解图②(3)解：MN的长为2或2eq\r(3).【解法提示】①如解图③，当直线l绕点B逆时针旋转15°时，延长NO交MA于点H，过点O作OP⊥BN于点P，连接BO，易证△BNC≌△AMB，∴CN＝BM，BN＝AM，由(1)知△AOH≌△CON，∴CN＝AH，∴AH＝BM，∴AM－AH＝BN－BM，即HM＝MN，∴∠ONM＝45°，∴△HMN与△OMN均为等腰直角三角形．∵正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，∴OB＝OC＝2.∵旋转角α＝15°，∴∠OBN＝30°，OP＝eq\f(1,2)OB＝1，∴MN＝2OP＝2；②如解图④，当直线l绕点B顺时针旋转15°时，延长NO交MA的延长线于点H，过点O作OP⊥BN于点P，连接OB，同理可得OB＝2，∠OBN＝60°，∴OP＝OB·sin60°＝eq\r(3)，MN＝2OP＝2eq\r(3).综上所述，MN的长为2或2eq\r(3).第3题解图③第3题解图④4.解：(1)DF＝eq\f(1,2)BE；【解法提示】当点D落在AC的延长线上时，∵CD＝ED，∠ACB＝∠CDE＝90°，∴∠DCE＝45°，∠BCD＝90°，∴∠BCE＝90°＋45°＝135°，∴∠ACE＝360°－∠ACB－∠BCE＝135°，∴∠ACE＝∠BCE，又∵AC＝BC，CE＝CE，∴△ACE≌△BCE(SAS)，∴AE＝BE，∵F为AE的中点，∠ADE＝90°，∴DF＝eq\f(1,2)AE，∴DF＝eq\f(1,2)BE.(2)当△CDE旋转到点D落在BC的延长线上时，DF与BE仍具有(1)中的数量关系．证明：如解图①，延长ED至点G，使DG＝ED，连接AG，CG，第4题解图①∵F为AE的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF＝eq\f(1,2)AG，∵∠CDE＝90°，CD＝ED，∴∠DCE＝45°，∵CD＝CD，DG＝ED，∠CDE＝∠CDG＝90°，∴△CDE≌△CDG(SAS)，∴CE＝CG，∠DCE＝∠DCG＝45°，∴∠ECG＝90°，∵CB＝CA，CE＝CG，∠BCE＝90°＋∠ACE＝∠ACG，∴△CBE≌△CAG(SAS)，∴BE＝AG，∴DF＝eq\f(1,2)BE；(3)DF2的值为14或8－2eq\r(3).【解法提示】①如解图②，当∠BCD＝105°时，且点D位于BC右侧，过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M，第4题解图②∵∠DCE＝45°，∴∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝105°＋45°＝150°，∴∠MCE＝30°，∵CD＝DE＝2，∴CE＝2eq\r(2)，∴ME＝eq\f(1,2)CE＝eq\r(2)，CM＝eq\f(\r(3),2)CE＝eq\r(6)，∴BM＝BC＋CM＝3eq\r(6)，∴在Rt△BME中，BE2＝BM2＋ME2＝(3eq\r(6))2＋(eq\r(2))2＝56，由(1)(2)可知DF＝eq\f(1,2)BE，∴DF2＝eq\f(1,4)BE2＝eq\f(1,4)×56＝14；②如解图③，当∠BCD＝105°时，且点D位于BC左侧，过点B作BN⊥CE于点N，第4题解图③∵∠BCD＝105°，∠DCE＝45°，∴∠BCE＝60°，∵BC＝2eq\r(6)，∴CN＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(6)，BN＝eq\r(3)CN＝3eq\r(2)，∴EN＝CE－CN＝2eq\r(2)－eq\r(6)，∴在Rt△EBN中，BE2＝EN2＋BN2＝(2eq\r(2)－eq\r(6))2＋(3eq\r(2))2＝32－8eq\r(3)，∴DF2＝eq\f(1,4)BE2＝eq\f(1,4)×(32－8eq\r(3))＝8－2eq\r(3).综上所述，DF2的值为14或8－2eq\r(3).类型三角度变化问题典例精讲例1解：(1)45°；【解法提示】如解图①，连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠ACB＝45°，∵∠ABD＝∠CED＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(BD,ED)，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(CD,ED)，又∵∠ADC＝∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴∠AEB＝∠ACB＝45°.例1题解图①(2)AE＝eq\r(3)BE＋CE，理由如下：如解图②，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于点H.例1题解图②∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°－∠ABC－∠ADB＝180°－∠AEC－∠CDE，∴∠A＝∠C.又∵BA＝BC，∴△ABF≌△CBE，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF＋∠FBD＝∠CBE＋∠FBD，∴∠FBE＝∠ABC.∵∠ABC＝120°.∴∠FBE＝120°.∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝eq\f(1,2)(180°－∠FBE)＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°.∵BH⊥EF于点H，∴∠BHE＝90°，∴在Rt△BHE中，FH＝EH＝BE·cos∠BEH＝BE·cos30°＝eq\f(\r(3),2)BE，∴FE＝FH＋EH＝eq\f(\r(3),2)BE＋eq\f(\r(3),2)BE＝eq\r(3)BE.∵AE＝AF＋FE，AF＝CE，∴AE＝CE＋eq\r(3)BE；(3)eq\f(3＋\r(3),2)或eq\f(3－\r(3),2).【解法提示】①如解图③，当D点在线段CB上时，过B作BM⊥AE于点M，连接AC，例1题解图③由(2)知∠AEB＝30°，∵∠ABC＝120°，AB＝BC，∴∠ACB＝30°＝∠AEB.∵在Rt△AMB中，tan∠BAD＝eq\f(1,3)，∴tan∠BAD＝eq\f(BM,AM)＝eq\f(1,3)，设BM＝x，则AM＝3x，∴EM＝eq\f(BM,tan30°)＝eq\r(3)x，BE＝2BM＝2x，∴AE＝AM＋EM＝3x＋eq\r(3)x，由(2)知，AE＝eq\r(3)BE＋CE，∴CE＝AE－eq\r(3)BE＝3x－eq\r(3)x，∴eq\f(CE,BE)＝eq\f(3x－\r(3)x,2x)＝eq\f(3－\r(3),2)；②如解图④，当D点在CB的延长线上时，过B作BM⊥CE于点M，连接AC，在CE上取点F，连接BF，使得BF＝BE，例1题解图④∵∠ABC＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BHC＝∠AHE，∴∠BCE＝∠BAD，△AEH∽△CBH，∴eq\f(AH,CH)＝eq\f(HE,HB)，∵∠AHC＝∠EHB，∴△AHC∽△EHB，∴∠HEB＝∠HAC＝30°，∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝30°，∵BM⊥CE，∴EM＝FM，设BM＝x，∴EM＝FM＝eq\f(BM,tan30°)＝eq\r(3)x，BE＝eq\f(BM,sin30°)＝2x，∵tan∠BAD＝eq\f(1,3)，∴tan∠BCE＝eq\f(BM,CM)＝eq\f(1,3)，∴CM＝3x，∴CE＝CM＋ME＝3x＋eq\r(3)x，∴eq\f(CE,BE)＝eq\f(3x＋\r(3)x,2x)＝eq\f(3＋\r(3),2).综上所述，eq\f(CE,BE)的值为eq\f(3＋\r(3),2)或eq\f(3－\r(3),2).针对训练1.解：(1)AD＝CE；【解法提示】∵∠ABC＝90°，∠A＝45°，∴∠A＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，同理BD＝BE，∠DBE＝90°，∵∠ABD＋∠DBC＝∠DBC＋∠CBE＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.(2)不成立，CE＝eq\r(3)AD；理由如下：∵BE⊥BD，∠ABC＝90°，∴∠DBE＝∠ABC＝90°，又∵∠A＝∠BDE＝α，∴△ABC∽△DBE，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DB,BE)，又∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＋∠DBC＝∠DBC＋∠CBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△CBE∽△ABD，∴eq\f(CE,AD)＝eq\f(BC,BA)，在Rt△ABC中，∠A＝60°，∴eq\f(BC,AB)＝tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(CE,AD)＝eq\r(3)，∴CE＝eq\r(3)AD.(3)CE的长为3或eq\r(3)或3eq\r(3).【解法提示】①如解图①，当AD＝BD时，第1题解图①∵∠A＝30°，AC＝6，∴BC＝3，AB＝3eq\r(3)，AD＝eq\f(1,2)AC＝3，由(2)可知△CBE∽△ABD，∴eq\f(CE,AD)＝eq\f(BC,BA)，∴eq\f(CE,3)＝eq\f(3,3\r(3))，∴CE＝eq\r(3)；②如解图②，当AB＝AD时，第1题解图②同理可得eq\f(CE,AD)＝eq\f(BC,BA)，∴eq\f(CE,3\r(3))＝eq\f(3,3\r(3))，∴CE＝3；③如解图③，当AB＝BD＝3eq\r(3)时，第1题解图③∴∠A＝∠ADB＝30°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴BC＝CD＝3，∴AD＝AC＋CD＝6＋3＝9，∴eq\f(CE,9)＝eq\f(3,3\r(3))，∴CE＝3eq\r(3).综上所述，CE的长为3或eq\r(3)或3eq\r(3).2.解：(1)120°，AD＝EB；【解法提示】∵α＝60°，∴∠BAC＝α＝60°，∠CDE＝α＝60°，∵AB＝AC，CD＝ED，∴△ABC和△CDE均是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝EB，∠CBE＝∠A＝60°，∴∠EBA＝∠ABC＋∠CBE＝120°.(2)∠EBA＝150°，EB＝eq\r(3)AD，理由如下：∵α＝120°，∴∠EDC＝∠BAC＝120°，∵CD＝ED，AB＝AC，∴∠DEC＝∠DCE＝∠ABC＝∠ACB＝30°，∴△DEC∽△ABC，∠BCE＝∠ACD，∴eq\f(DC,AC)＝eq\f(EC,BC)，∴eq\f(BC,AC)＝eq\f(EC,DC)，∴△BCE∽△ACD，∴∠EBC＝∠DAC＝120°，eq\f(EB,DA)＝eq\f(BC,AC)，∴∠EBA＝∠EBC＋∠ABC＝120°＋30°＝150°，如解图，①过A作AM⊥BC于M，则BC＝2CM，在Rt△ACM中，eq\f(CM,AC)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(EB,AD)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(2CM,AC)＝eq\r(3)，∴EB＝eq\r(3)AD；第2题解图①(3)2eq\r(10)或4eq\r(13).【解法提示】连接BD，分两种情况：①当AE＝eq\f(1,3)AB时，如解图②，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝ED，对角线FD与EG互相垂直平分，∴△DEO是等腰直角三角形，∴eq\f(OD,DE)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，在Rt△ABD中，eq\f(AD,BD)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(OD,DE)＝eq\f(AD,BD)，又∵∠ODA＋∠ADE＝45°＝∠BDE＋∠ADE，∴∠ODA＝∠BDE，∴△AOD∽△BED，∴eq\f(AO,BE)＝eq\f(OD,ED)＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(OA,\f(2,3)AB)＝eq\f(\r(2),2)，∵OA＝2eq\r(2)，∴AB＝6＝AD，∴AE＝eq\f(1,3)AB＝2，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝eq\r(AE2＋AD2)＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10)，∴EF＝ED＝2eq\r(10)；②当BE＝eq\f(1,3)AB时，如解图③，同①得eq\f(AO,BE)＝eq\f(OD,ED)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(OA,\f(1,3)AB)＝eq\f(\r(2),2)，∵OA＝2eq\r(2)，∴AB＝12＝AD，∴AE＝eq\f(2,3)AB＝8，在Rt△AED中，由勾股定理得ED＝eq\r(AE2＋AD2)＝eq\r(82＋122)＝4eq\r(13)，∴EF＝ED＝4eq\r(13).综上所述，线段EF的长度为2eq\r(10)或4eq\r(13).第2题解图②第2题解图③3.(1)解：180°－2α，α；【解法提示】∵CE＝CD，∴∠E＝∠D＝α.∴∠ECD＝180°－(∠E＋∠D)＝180°－2α，∠ECB＝2α.∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠D＝α.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α.∴∠ABP＝∠ABC－∠PBD＝2α－α＝α.(2)证明：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠ECD＝α.∴∠ECD＝180°－2α.∵∠ACB＋∠ECD＝180°，∴∠ACB＋180°－2α＝180°，∴∠ACB＝2α.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α，如解图①，连接PC.∵BC＝DC，PB＝PD，PC＝PC，∴△PBC≌△PDC.∴∠PBC＝∠D＝α.∴∠ABC＝2∠PBC.∴BP平分∠ABC；第3题解图①(3)eq\f(1,2)或eq\f(2＋\r(3),2).【解法提示】①如解图②，当△CDE旋转到如图位置，点D，点E在AC右侧．过点C作CH⊥DE于点H，设BP交AC于点N.∵∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形．由(2)得BP平分∠ABC.∴BN⊥AC.∵BP⊥DE，∴AC∥DE.∴CH＝PN.∴BP＝BN＋CH.∵BC＝eq\r(,3)＋1，∴BN＝eq\f(\r(,3)＋1,2)·eq\r(,3)＝eq\f(3＋\r(,3),2).∵∠ACB＋∠ECD＝180°，∴∠ECD＝120°.∴∠CDE＝∠CED＝30°.∵CD＝BC＝CE＝eq\r(,3)＋1，∴CH＝eq\f(\r(,3)＋1,2).∴BP＝BN＋CH＝eq\f(3＋\r(,3),2)＋eq\f(\r(,3)＋1,2)＝2＋eq\r(,3).∵BC＝CD，PB＝PD，∴PC垂直平分BD.∴G为BD中点．又∵M为PD中点，∴GM为△PDB中位线．∴GM＝eq\f(1,2)BP＝eq\f(2＋\r(3),2).②如解图③，如解图②，当△CDE旋转到如图位置，点D，点E在AC左侧．过点C作CH⊥DE于点H，延长BP交AC于点N.同①可得，此时BP＝BN－CH＝eq\f(3＋\r(,3),2)－eq\f(\r(,3)＋1,2)＝1.∴GM＝eq\f(1,2)BP＝eq\f(1,2).综上所述，GM＝eq\f(1,2)或GM＝eq\f(2＋\r(3),2).第3题解图②第3题解图③4.解：(1)AP＝2CD；【解法提示】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∴AB＝eq\r(2)AC，∵∠ABP＝90°，∠APB＝45°，∴∠BAP＝45°，∴∠CAP＝∠CAB＋∠BAP＝90°，∵CD⊥PA，∴CD和CA重合，∴AP＝eq\r(2)AB，∴AP＝eq\r(2)×eq\r(2)AC＝2AC＝2CD.(2)①AP＝2CD，证明：如解图①，过点A作AF⊥BP交PB的延长线于点F，第4题解图①∵∠BPA＝45°，∴∠FAP＝∠FPA＝45°，∴eq\f(AP,AF)＝eq\r(2)，∴AP＝eq\r(2)AF.∵∠ABF＝∠BAP＋∠P＝∠BAP＋45°，∠CAD＝∠BAP＋∠CAB＝∠BAP＋45°，∴∠CAD＝∠FBA.又∵∠ADC＝∠AFB＝90°，∴△CAD∽△ABF，∴eq\f(AB,CA)＝eq\f(AF,CD)＝eq\r(2)，∴AF＝eq\r(2)CD，∴AP＝eq\r(2)AF＝2CD；②画出的图形如解图②，eq\f(KP,BP)＝eq\r(2).【解法提示】延长CD、BK交于点Q，第4题解图②∵∠1＝∠2，∠ACG＝∠ABK，∴△AGC∽△QGB，∴∠CAG＝∠Q＝45°，∵∠P＝45°，∴∠Q＝∠P，∵∠3＝∠4，∴△QDK∽△PB