人教版九年级下册数学数与式

九年级第一轮复习……数与式

第一部分《数学课程标准》的考查要求

一、实数

1.在具体环境中，理解实数及其运算的意义。

2.能用数轴上的点表示实数，会比较实数的大小。

3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求相反数与绝对值。

4.了解平方根，算术平方根，立方根，无理数和实数，近似数，有效数

字的概念。会求某些数（非负数）的平方根与某些数的立方根。

5.会估算一个无理数的范围。

6.能运用实数及其运算法则解决简单的实际问题。

二、代数式

1.会根据实际问题列代数式，理解代数式的含义，能理解一些简单代数

式的实际背景或几何意义，体会数学与现实世界的联系。

2.理解合并同类项和去括号法则，并会进行运算。

3.会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数

式反映的规律。

4.根据数量关系或图形关系寻找规律，分析，归纳，总结两变量间的关

系。

5.整式加减在运算时要注意同类项的识别和合并同类项的方法；在整式

的乘除运算中要注意理解和区分塞的运算性质，记住乘法公式，理解

其特点和应用范围。

6.弄清因式分解与整式乘法的区别，并加强对基本类型的练习。会用提

公因式法，公式法进行因式分解。

7.会利用分式的基本性质进行约分和通分。会进行简单的分式加，减，

乘，除运算。

省份题号题型分值考点相关的其它考点所占比例

第二部分考点分析

作者：刘瑞莲严俊敏

1选择题3乘方的意义

2选择题3分式的定义

7填空题3相反数的概念

2007年河南

8填空题3整式的运算15%

12填空题3实数的意义

13填空题3数的规律探究题

1选择题3绝对值的意义

2选择题3科学记数法的概念

2008年河南

7填空题3实数14%

16解答题8分式的运算

1选择题3相反数的概念

7填空题3平方根的意义

2009年河南

9填空题3代数式的运算14%

16解答题8分式的运算分式的定义

1选择题4相反数的概念

2选择题4科学记数法的概念

2009年北京7选择题4因式分解

18%

13解答题5实数的运算

16解答题5整式的运算整体思想

1选择题3实数的运算特殊三角函数值

3选择题3绝对值的意义，二次根式

2009年天津乘方的意义，非负数

10%

11填空题3二次根式的运算

12填空题3分式的意义，分式的运算一元二次方程

1选择题4相反数的概念

2选择题4嘉的运算

2009年重庆11填空题4科学记数法的概念

19%

17解答题6实数的运算

21解答题10实数的运算

1选择题2乘方的意义

2选择题2乘方的意义

4选择题2易的运算，整式的运算

2009年河北7选择题2实数的意义及相关概念概率

18%

13填空题3实数的意义

16填空题3倒数的意义

19解答题8分式的运算

1选择题3实数的运算

2009年山东2选择题3嘉的运算

13填空题4科学记数法的概念14%

18解答题7分式的运算

数与式是初中数学的基础，中考着重对基本概念和计算能力的考查，题型以选择、填

空及简单的解答题为主。题量一般在3个左右。分值在17分左右，所占比例为14%（指河

南省）。近几年，出现更多贴近学生生活实际、探究规律的开放型问题、估算无理数的大致

范围等热点题目，强化了实数的应用和规律探索问题，并注意数形结合、分类讨论思想的应

用和创新意识的培养。分式的化简求值常常在河南中招试卷中以解答题的形式考查，以探索

规律，写出公式是方式考查学生思维过程和数学思想方法的应用题目越来越成为热点。

第三部分典型例题

作者：牛保中高玉平

第一节实数

典例1.把下列各数分别填入相应的集合里.

—I—3|，21.3,—1,1.234,——,0,sin60,—A/9,―?—，----,y/8,

117V82

（丁一娟）°,3-2,1.212112n12…中

无理数集合{}负分数集合{}

整数集合{}非负数集合{}

点拨：实数分类不能只看表面形式，应先化简再根据结果去判断。

变式1：把下列各数填入相应的集合内：

-7.5,屈,4,行，我，肛0.25,0.15

—3.14,—，sin45,*\/4。

3

有理数集{},无理数集{}正实数集{}

变式2.：在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再

用"十,一,X,小”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算结

果是一个正整数。

典例2：在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了

我国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材4581亿帕用科学记数法表示为

帕（保留两个有效数字）.

点拨：对大数保留有效数字，可以先将这些数用科学记数法表示出来，再保留有效数字。

解：4.581亿=458100000,用科学记数法表示为4.581X10',故填4.6义1（）8。

变式1：北京2008奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，用科学记数法表

示为（）

A.25.8xlO4m2B.25.8xl05m2C.2.58xl05m2D.2.58xl06m2

变式2：由四舍五入法得到的近似数3.10义104,它精确到位。这个近似值的有

效数字是O

典例3:已知X,y是实数，J3x+4+y2-6y+9=0,若叼-3盯=y,则实数a的值是

()

1177

A.-B.——C.-D.一一

4444

解：由5/3%+4+户6y+9=0,得-3x+4+(y—3了=0.

4441

将％=一§,y=3^Aaxy-3y=y,得（一1）・3〃一3（一1）=3,从而a二"

答案：选A.

点拨：将已知的第一个等式变为：/包4+（丁-3）2=0,根据非负数的性质，得3*+4=0

及y-3=0,可求得x,y的值，代入已知的第二个等式，便可求出a的值.

变式1：已知AABC的三边长分别为a,b,c,^.a,b,c,a2-6a+9+J/?-4+4-4|=0,

试判断AABC的形状.

变式2：若实数。和人满足b=+J—a—5,则ab的值等于

典例4计算：（%一1）°+（-）-1+|5-727|一26

2

点拨：对实数运算的考查往往是一些基础概念的理解和运用，解题时应注意运算顺序。

解：（万一1）°=1,（—）t=2,|5—yjriI—3\[3-5.

2

（1一1）°+（—）-1+I5—<27|—2^3

2

=1+2+36-5-2A/3

=-\/3—2.

变式1：计算：卜6|-(1—6)°+(-3)2

变式2：计算：++(n-2007)°-2sin45

典例5：将(-sin30尸，(-忘)°,(-V3)3,这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的

结果是()

203230

A(-sin300)"<(-V2)<(-V3)B(-sin300)"<(-73)<(-V2)

302032

C(-V3)<(-V2)<(-sin30°)"D(-V2)<(-73)<(-sin300)"

答案：C

点拨：比较实数的大小，有许多种方法可供选者，如求商画数轴等，具

体方法根据题目特征而定。

变式1：已知0<x<l,那么在中，最大的数是

X

变式2：已知x<0,y>0,且用连结x,—x,—|y|,y0

典例6有一列数%,%，生，，久,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那

个数的倒数的差，若q=2,则a?。。?为（）

A.2007B.2C.-D.-1

2

答案：C

点拨：解决数字规律问题，应从简单的特例开始，分析存在的普遍规律

再利用规律解决问题。

典例7先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题。

=1——,=———,----=----

1x2-----22x3--233x434

(1)计算,上+―上

1x22x33x44x55x6

（2）探究」一十1

（用含有〃的式子

1x22733x4n{n+1)

表示）

1的值为：17，求〃的值.

(3)若-----1-----------1-----------1------h

1x33x55x7(2〃一1)(2“+1)35

点拨:通过给出的三个特殊的式子,可以发现相邻两自然数积的倒数等于这两个数的倒数

的差，解决数字规律问题时,应从简单的特例开始，分析存在的普遍规律，再利用

规律解决问题。

1111111

解：(1)原式=1---1---++-+-

2233-44556

1

=1一一

6

=5

-6,

，11111,11

(2)原式=1-—+----+----+•••+-----

22334nn+1

1

1----

n+1

n

n+1

/、一1”1、1/1、1」1、

(3)原式=—x(l——)dx(----)+—x(-----)H

23235257

lx(^-—-

+22n—l2n+l

=-(l-——)

22n+l

n

2〃+l

n17

解得"=17.

2n+l-35

经检验〃=17使原等式成立，所以〃=17.

变式2：根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是()

A.100,011B.011,100C,011,101D.101,110

第二节整式

2

典例1先化简，再求值：(〃+/?)+(a-b)•(2a+b)—3。2,其中

a-—2-A/3,b—y/3-2.o

点拨：先运用乘法公式及多项式乘法化简，再代入计算。

解：原式=a?+2ab+Z?2+2a之—(2b—Z?2—34

—cibo

当a=—2—百力=百—2.时，原式=(—2—百)(君—2)

=-(73+2)(73-2)

=—(3—4)

=lo

变式1：已知X?—4=0,求代数式x(x+l)2—式必+x)—x—7的值。

典例2图（1）是一个边长为（m+〃）的正方形，小颖将图（1）中的阴影部分拼成图（2）

的形状，由图（1）和图（2）能验证的式子是（）

图（1）图（2）

A.（m+n）2-（m-n）2=4nmB.（W+H）2-（m2+n2）=2mn

C.（m-n）2+2mn=m2+n~D.（m+n）（m—n）=m~~n2

点拨：根据两个图形中阴影部分的面积相同，得出两种计算面积的代数式的值相等，来验

证公式。

解：由题意得两图中阴影部分的面积相等，图（1）中，由勾股定理得空白部分正方

形的边长为,图（1）中阴影部分面积为

（m+另）-7（m+%>=（m+ri）-图（2）阴影部分面积为

4x---=2mn,所以（%+一（加？+/）=2m〃，故选B。

2mn

变式1：从边长为〃的正方形内去掉一个边长为人的小正方形（如图1）,然后将剩余部分

剪拼成一个矩形（如图2）,上述操作所能验证的等式是（）

A.a1-b2=（a+b）（a-b）B.（6Z-/?）2=a2-lab+b1

C.(a+b)2=〃+2ab+Z22D./+帅=+b)

典例3有一列单项式：r,2%2,_3V,4%4,…，一19一,20/。.

⑴你能说出它们的规律是什么吗？

⑵写出第2008个单项式，

(3)写出第〃个以及第("+1)个单项式。

点拨：代数式的规律探究题，需要经过观察、分析、类比、归纳等过程，进而由特殊到一

般发现其规律。

解：(1)每个单项式的系数的绝对值与该单项式中x的指数相等，奇数项系数为负,

偶数项系数为正。

(2)2008X2008.

(3)当“为奇数时，第"个单项式为-以"，第5+1)个单项式为(〃+i)x"+i,

当〃为偶数时，第几个单项式为以"，第("+D个单项式为-(〃+1)亡+1。

变式1：用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n

个图案中正方形的个数是_o

<X>W<W一

n=lo=2n=3

变式2：将连续的自然数1至36按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意

圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a,用含有a的代数式表示这9・

个数的和为.

123456

789101112

131415161718

192021222324

252627282930

313233343536

4

典例4：代数式3/一4%+6的值为9,则必——x+6的值为)

3

A.7B.18C.12D.9

点拨：体现的思想方法是整体代入法。

变式1：当龙=1时，代数式力3+qx+i的值为2005,则当尤=-1时，代数式p/+/+1

的值为()

A.-2004B.-2005C.2005D.2004

变式2：设a—b=—2,求—a’的值。

2

典例5：把代数式依2—4℃+4a分解因式，下列结果中正确的是()

A.a(x-2)2B.a(x+2)2C.tz(x-4)2D.a(x+2)(x-2)

点拨：分解因式常用的方法是：“先提再套”，还应从多项式的角度考虑，直到各因式都不能

继续分解为止。

变式1：分解因式：2/—18=

变式2:把代数式孙2一9x分解因式，结果正确的是()

A.x(y2-9)B,x(y+3)2

c.My+3)0-3)D.x(y+9)(y—9)

典例6：下列运算结果正确的是()

35213

①2d—%2=x②x*(x)=X③(一%)6+(-x)3=d

④(0.1)-2・10-1=10

A.①②B.②④C.②③D.②③④

变式1：下列计算中错误的是()

A.(-a3b)2•(-ab2)3=-a9b&B,(-a2b3)3^(-ab2)3=a3b3

C.(一。3)2・(_/)3=。吩D.[(-/)2.(_/)37=—

第三节分式

r2-4

典例1（1）当X为何值时，分式f-------无意义？

x-x-2

龙+[

（2）当x的何值时，分式。的值为零?

X2+2X-3

A

点拨：判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，在分式一中，若3=。，则分式无意

B

AA

义，若BwO,则分式一有意义，分式一的值为零的条件是A=0且两者

BB

缺一不可。

2-4,

解：（1）要使分式二X-------无意义，贝懦％2_%_2=0。

x-x-2

Y2-4

即当％=2或x=—1时，分式f-------无意义。

x-x-2

Y1

（2）要使分式--------的值为零，则需无+1=0,且d+2xT妗，解得尤=一1

X2+2X-3

变式1：已知分式尸—5当#______时，分式有意义；当*=______时，分式的值为0.

X2-4X-5

若将分式与（。泊均为正数）中的字母。力的值分别扩大为原来的2倍，则分

变式2：

式的值为（）

A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的3C.不变D.缩小为原来的上

先化简，再求值：（1—-匚）十匕幺，其中

典例2

a+1a+12

点拨：在分式的混合运算中，除法运算要先变为乘法运算，分子，分母能分解因式的可先

分解因式再约分。

解：原式=（i--匚）•孚L

a+1a—Q

=---a-->---a--+---1--

a+1〃（〃+1）

1

—O

6Z—1

当。=工时，原式=-2.

2

变式1：求值：（手匚——厂”一）十巴过淇中。满足4+2。—1=0

a+2aci+4。+4a+2

、什111ba

变式2：右-----------，贝n!Jil—I——________o

baa-bab

典例3已知x—3y=0,求2,・（x—y）的值.

x-2xy+y

点拨：根据分式乘除的运算法则，先将分式化简，再将x-3y=0转化为％=3y代入求值。

解：原式=2x+y（）

（x-y）2

_2x+y

-o

%一y

当x=3y时，原式=叟上上

3y-y

2y

_7

~2

变式1：若+3xy-4y?=0,则*+2丫=_______。

2x-y

变式2：若工—工=3,贝I］分式2工+3个-2y=_

xyx—2xy—y

典例4A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分;

B玉米试验田是边长为（。-1）米的正方形，两块试验田都收获了500千克玉米。

（1）哪个玉米试验田的单位面积产量高？

（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

点拨：要解决第（1）小问，可先利用正方形的面积公式分别求出其面积，即可求出各自的

单位面积产量，进而利用作差法比较它们的大小，对于第（2）小问，可以利用作商

的办法来解决。

解：（1）A玉米试验田的面积是（1—1）米2,单位面积产量是±22_千克/米2；

ci—1

B玉米试验田的面积是(a-1)20米n2,单位面积产量是45二00千克/米92;

因为。一—1—(a—1)~=2(。—1),而a—1>0,

所以0<(a—1.

所以上"(卫」，即B玉米试验田的单位面积产量高。

a-1(a-1)?

500500500ci~—\(<7+l)(tz—1)tz+1

(2)因为------7——=---------7•--------=--------------;—=-------=

("1)2o2-l("1)2500("2)2a-1

所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的3倍。

(7—1

第四部分跟踪练习

作者：周培玲卢敏丽严俊敏

第一节实数

河南真题透视

1、一’的绝对值是.

7

2、计算(一1/的结果是.

3、下列各组数中，互为相反数的是().

A2与一B(—1)2与一1

2

C-1与一JD|-2|与2

4、为支援四川地震灾区，中央电视台于2008年5月18日举办了《爱的奉献》赈灾晚

会，晚会现场捐款达1514000000元。1514000000用科学记数法表示正确的是()

A1514X106B15.14X108

C1.514X109DO.1514X1O10

5、(3—6)的相反数是.

6、16的平方根是.

7、已知x为整数，且满足一及WxWg,则工=.

全国真题精选

1、(-1)3等于()

A-1B1C-3D3

2、在实数一2,0,血，万,石中,

无理数有（）

3

A1个B2个C3个D4个

3、二次根式J（—3）2的值是（）

A—3B3或一3C9D3

4、计算J1—g的结果是（

）

A--A/3B--372CA/3

33

5、按一定的规律排列的一列数依次为：一2,5,-10,17,—26,…按此规律排下去，这

列数中的第9个数是.

6、在数轴上与表示6的点的距离最近的整数点所表示的数是.

7、在一个不透明的袋中，装有十个除数字外其他完全相同的小球，球面上分别写有1,2,

3、4,5这5个数字（每个数字只标两个球）。小芳从袋中任意摸出一个球，球面数字的平

方根是无理数的概率是.

8、比较大小：7____750.（填”或“<”）

9、化简：3近一5属的结果为.

10、符号表示一种运算，它对一些数的运算结果如下:

(1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,…

(2)f(-)=2,f(-)=3,f(-)=4,f(-)=5,…利用以上规律计算:

2345

f(^―)~f(2008)=

2008

11、计算：2?-5X-+|-2|.

5

12、计算：I—2|+(—)1X(万一^2)°—邪+(—1)

3

1l,—

13、计算：（一片一（一2008）°+I1-V3|-V12（结果保留根号）.

2

14、阅读下列材料：

我们知道Ix|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|

x-0I,也就是说，IxI表示在数轴上数%与数0对应点之间的距离；这个结论可

以推广为IX1—X2I表示在数轴上毛，％2对应点之间的距离。

例1解方程IXI=2,容易看出，在数轴上与原点距离为2的点的对应数为±2,即

该方程的解为x=±2.

例2解不等式Ix—1|>2,如图(1)在数轴上找出

I错误!未找到引用源。TI>2的解，即至1的距离为2的点对应的数为一1、

3,贝！Hx—1I>2的解为x<—1或x>3.

图⑴

例3解方程|x—1I+Ix+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数

轴上与1和一2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和一2的距

离为3,满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x对应点在1的右

边，由图(2)可以看出x=2；同理，若x对应点在一2的左边，可得x=-3,故

原方程的解是x=2或。x=-3.

4

<•4•-----------

।1।—

-3-2-10122

图(2)

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)方程Ix+3|=4的解为0

(2)解不等式Ix—3|+|x+4|》9；

(3)若|x—3|—Ix+4]Wa对任意的x都成立，求a的取值范围。

原创好题预测

1、(针对考点1)下列各组数中互为相反数的一组是()

A—2与亚年B—2与J(-2)2

C_2与__DI—2|与2

2

2、（针对考点1）实数a、人在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）

Aa+b>a>b>a+bBa>a+b>b>a—b

Ca—b>a>b>a+bDa—b>a>a+b>b

3、（针对考点1）下列各数中，无理数有（）

0,-------，万，-3.1416,—,邪,0.030030003-（以后每两个3之间多一

10003

个0）,0.57143,I⑪。

IA2个B3个C4个D5个

4、（针对考点2）若a是有理数，则下列各式一定成立的有（）

（1）（—a）2—a2（2）—a2=（—a）~（3）（—a）'=a3

（4）I—a3I—a3

A1个B2个C3个D4个

5、（针对考点2）已知a>0,b<0,且|aI<I匕|,则a+匕是（）

A正数B负数C0D不确实

6、（针对考点4）设0=a,若用含a、b的式子表示血石，则下列表示

正确的是（）

A0.3abB3abC0.1a/D0.1a2b

7、（针对考点1）将0.0000195用科学记数法（保留两个有效数字）表示为（）

A.2.0X10-5B.2X10'5C.1.95X10^5D.1.95X10-4

8、（针对考点4）（g,—J（-2）2=.

9、（针对考点4）观察下列各式：.1-1—=2J-，J2T—=3.,J3T—=4J-,…

请你将发现的规律用含自然数〃（〃》1）的等式表示出来o

10、（针对考点1、2）已知：x是I—3|的相反数，y是一2的绝对值，求2k一y

的值。

第二节整式

河南真题透视

1、对代数式4a作一个合理解释:

2、（）3=-27X6.

3、在手拉手活动中，小明为捐助某贫困山区的一名同学，现一存款300元，他计划今

后每月存款10元，n个月后存款总数是元。

4、观察下列单项式：0、3犬、8三、15x\24/，…按止匕规律写出第13个单项式是.

5、分解因式：炉一町一2/一%一y=.

全国真题精选

1、化简（―a）・（—a）2的结果是（）

A、u~B-.—aC-.a，D-.—a，

2、下列计算正确的是（）

A、a2+a3=a5B、a6a2-a3C、=a6D、2ax3a=6a

3、当x为任意实数时，二次三项式6%+c的值都不小于0,则常数c满足的条件

是（）

A、c20B、c29C、c>0D、c>9

r4

4、已知代数式3d—4x+6的值为9,则必o——x+6的值为（）

3

A、18B、12C、9D、7

5、当％=2时，代数式2光—1的值是______.

6、若单项式2x2、""与-gx"：/是同类项，贝U机+”的值是.

7、请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果

8、若-4xay+x2/=-3x2y,贝Ua+b=.

9、如果x+y=—4,x—y=8,那么代数式炉―>2的值是.

10、分基因式：2丁—8x=.

11、将—分解因式的结果是.

4一

13>先化简，再求值：（3+间（3-间+机（加一6）-7,其中加二）.

14、先化简，再求值：一石）（a+石）一。（。一6）,其中〃=逐+（

112233

15、观察下列等式：IX—=1——,2X—=2——,3X—=3---，…

223344

①猜想并写出第〃个等式；

②证明你写出的等式的正确性。

原创好题预测

1、下列运算正确的是()

2

A、(〃+/?)(—a—Z?)=Q?—/7B、(a+3)=+9

C、Q?+Q2=2/D、(―2〃2)=

2、某商品原价为。元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%,后因市场

物价调整，又一次性降价20%,降价后这种商品得价格是()

A、0.968。元B、0.88。元

C、1.08。元D、。元

3、下面是一名同学所做得5道练习题：