高三数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第3课时随机事件与概率学案

第3课时随机事件与概率[考试要求]1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．2．理解事件间的关系与运算，会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．3．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率和概率的区别与联系．4．理解古典概型及其概率计算公式．当直接求某一事件的概率较为复杂时，会转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率．考点一随机事件与样本空间1．样本空间与样本点(1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．(2)样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间．如果一个随机试验有n个可能结果，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．2．随机事件、必然事件与不可能事件(1)随机事件：样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．(2)随机事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部样本点)、不可能事件∅(不含任何样本点)、基本事件(只包含一个样本点)．3．两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生，则B一定发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω提醒：对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[典例1](1)(2024·湖北襄阳模拟预测)已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)(多选)从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是()A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件(3)从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．(1)C(2)BC(3)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}5[(1)因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn图如图：对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∈A，则x∈B是必然事件，故①正确；对于②：任取x∉A，则x∈B是随机事件，故②不正确；对于③：因为集合A是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，则x∈A是随机事件，故③正确；对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取x∉B，则x∉A是必然事件，故④正确．所以①③④正确，正确的命题有3个．故选C.(2)不妨记两个黑球为A1，A2，两个红球为B1，B2，从中取出2个球，则所有样本点如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一个黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A2，两个事件没有共同的样本点，故互斥，B正确；至少一个黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是红球包括B1B2，两个事件没有共同的样本点，且两者包括的样本点的并集为全部样本点，故对立，C正确．同理可知A、D都不正确，故选BC.(3)任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.]1．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．2．事件的关系运算策略(1)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．跟进训练1(1)掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则()A．A∪B表示向上的点数是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或3D．A∩B表示向上的点数是1或5(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是()A．至少有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶(1)A(2)B[(1)设A＝{1，3}，B＝{1，5}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的点数是1，A∪B表示向上的点数为1或3或5.故选A.(2)“至多有一次中靶”的对立事件是“两次都中靶”．]考点二随机事件的频率与概率1．频率与概率(1)事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．(2)频率的稳定性：一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．可以用频率fn(A)估计概率P(A)．2．概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[常用结论]如果事件A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[典例2](1)(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．(2)(2023·福建厦门高三模拟预测)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．(3)一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________．(1)0.98(2)0.25(3)0.96[(1)经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97+20×0.98+10×0.9910+20+10(2)20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191、271、932、812、393，其频率为520(3)设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，记“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.]频率与概率的关系频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同概率本身是一个在[0，1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变跟进训练2(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？[解](1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40+25×20-由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28+30×17+0×34-比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务．考点三古典概率1．古典概型具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．2．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．[典例3](1)(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A．16B．13C．1(2)(2024·河南模拟预测)“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑，现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为()A．12B．13C．1(3)(2022·全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A．15B．13C．2(1)D(2)C(3)C[(1)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72＝21(种)不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P＝21-故选D.(2)由题意，样本空间有C62＝15个样本点，其中任取两个节气恰在同一个月这一事件有3个样本点，所以P＝315(3)从6张卡片中无放回抽取2张，共有C62＝15种情况，其中数字之积为4的倍数的有1，4，【教师备用】1．(2024·河南商丘高三模拟)孪生素数(素数是只有1和自身因数的正整数)猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是()A．425B．115C．3D[不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，则在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的取法种数为C82记事件A表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，则事件A包含的样本点有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共4个，故抽取的2个数能够构成孪生素数的概率是P(A)＝428＝12．(2024·天津和平高三模拟)一个盒子中装有4个编号依次为1，2，3，4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y.(1)写出试验的样本空间；(2)设事件A＝“两次取出球的编号之和小于4”，事件B＝“编号X<Y”，分别求事件A，B，AB发生的概率P(A)，P(B)，P(AB)．[解](1)由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)由题意可知事件A＝{(1，1)，(2，1)，(1，2)}，共三个结果，故P(A)＝316事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共六个结果，故P(B)＝616＝3事件AB包含的结果有(1，2)一个，故P(AB)＝116.1．求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．(3)计数原理法：在求一些较复杂的样本点个数时，可结合计数原理利用排列或组合的知识解决．2．求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．跟进训练3(1)(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．13B．25C．2(2)(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．(1)C(2)635[(1)4个1和2个0随机排成一行，共有A66A44A(2)根据题意，从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝C84＝70(种)结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12(种)，故所求概率P＝mn＝12课后习题(五十二)随机事件与概率1．(多选)(人教A版必修第二册P235练习T2改编)将一枚质地均匀的骰子向上抛掷一次，设事件A＝“向上的一面出现奇数点”，事件B＝“向上的一面出现的点数不超过2”，事件C＝“向上的一面出现的点数不小于4”，则下列说法中正确的有()A．AB＝∅B．BC＝“向上的一面出现的点数大于3”C．AB+BC＝“D．ABC＝“向上的一面出现的点数为2”BC[由题意知事件A包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，3，5；事件B包含的样本点：向上的一面出现的点数为1，2；事件C包含的样本点：向上的一面出现的点数为4，5，6，所以AB＝“向上的一面出现的点数为2”，故A错误；BC＝“向上的一面出现的点数为4或5或6”，故B正确；AB+BC＝“向上的一面出现的点数为3或4或5或6”，故C正确；ABC＝“向上的一面出现的点数为5”，故D2．(人教A版必修第二册P257练习T1，T2改编)下列说法正确的是()A．甲、乙两人做游戏：甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数，则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平B．做n次随机试验，事件A发生的频率就是事件A发生的概率C．某地发行福利彩票，回报率为47%，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报D．有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件B“某人订阅甲报纸”是必然事件A[对于A，甲、乙两人各写一个数字，所有可能的结果为(奇，偶)，(奇，奇)，(偶，奇)，(偶，偶)，则都是奇数或都是偶数的概率为12对于B，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，故事件A发生的频率就是事件A发生的概率是不正确的；对于C，某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故C不正确；对于D，事件B可能发生也可能不发生，故事件B是随机事件，故D不正确．故选A.]3．(人教B版必修第二册P104例2改编)已知数学考试中，李明成绩高于120分的概率为0.4，低于90分的概率为0.15，则李明成绩不低于90分且不高于120分的概率为________．0.45[所求概率P＝1－(0.4＋0.15)＝0.45.]4．(苏教版必修第二册P286习题15.2T5改编)从n个正整数1，2，3，…，n中依次任意取出2个不同的数，若取出的这2个数之和等于5的概率为114，则n8[设(x，y)为取出的2个数的数对，x是第1个数，y是第2个数，且x≠y，则事件空间Ω所含基本事件数为n(n－1)．设事件A为取出的这2个数之和等于5，则A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，∴P(A)＝4nn-1＝114，即解得n＝8.]5．(2024·内蒙古包头模拟预测)从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，记“这个三角形是等腰三角形”为事件A，则下列推断正确的是()A．事件A发生的概率等于1B．事件A发生的概率等于1C．事件A是不可能事件D．事件A是必然事件D[根据正五边形的性质，可知任取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，如图，所以事件A是必然事件．故选D.]6．甲、乙同时抛掷两枚骰子，正面向上的数字分别记作a，b，则下列说法错误的是()A．“a是奇数”是随机事件B．“b＝1”与“b＝2”是互斥事件C．“b＝1”与“b＝2”是对立事件D．“a＝1”与“b＝2”是相互独立事件C[对于A：“a是奇数”是随机事件，故A正确；对于B：“b＝1”与“b＝2”是互斥事件，因为“b＝1”发生则“b＝2”一定不发生，但“b＝1”不发生，“b＝2”也不一定发生，可能是b＝3发生，故B正确；对于C：由B可知“b＝1”与“b＝2”是互斥但不对立事件，故C错误；对于D：“a＝1”与“b＝2”发生与否不受影响，是相互独立事件，故D正确．故选C.]7．如图是某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是()A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D[由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错误；选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为16选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为14，不符合，故选项D，从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到黑球的概率为138．(多选)6个相同的小球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为X1，第二次取出球的数字为X2.设X＝X1X2A．P(X1>X2)＝5B．P(X1＋X2＝5)＝2C．事件“X1＝6”与“X＝0”互斥D．事件“X2＝1”与“X＝0”对立AC[由题意，共有36种可能的情况，其中X1>X2的情况有36-∴P(X1>X2)＝1536＝5∵两次取球数字之和为5的情况有以下四种：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，∴P(X1＋X2＝5)＝436＝1当X1＝6时，X＝X1X2＝6X2≠0，∴事件“X1＝6”与∵当X2＝1时，X＝X1X2＝X1≠0，当X2＝2，X1＝2时，∴事件“X2＝1”与“X＝0”不对立，故D错误．故选AC.]9．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为________石