人教A版普通高中数学一轮复习第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinα2．借助单位圆的对称性推导出π2±α，π±α自查自测知识点一同角三角函数的基本关系式1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．((3)sin2α＋cos2α＝1成立的条件是α为锐角．(×)2．若sinα＋cosα＝22，则sinαcosαA．－12 B．－1C．22 B解析：因为sinα＋cosα＝22所以(sinα＋cosα)2＝12即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝12即1＋2sinαcosα＝12所以sinαcosα＝－143．已知sinα＝55，π2＜α≤π，则tanA．－2 B．2C．12 D．－D解析：因为π2＜α≤π，所以cosα＝－1−sin2α＝－1−552＝－2核心回扣同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2α＋cos2α＝1；商数关系：sinαcosαα≠注意点：同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2＋cos2α2＝1，sin5xcos5xan5x5x≠k自查自测知识点二诱导公式1．(教材改编题)sin210°cos120°的值为()A．14 B．－3C．－32 A解析：sin210°cos120°＝－sin30°·(－cos60°)＝－12×−122．(教材改编题)已知sinα−π4＝32A．12 B．－1C．32 D．－C解析：sin5π4−α＝sinπ−α−3．化简cosα−π2sin52sinα解析：原式＝sinαcosα·cosα核心回扣1．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k·2π(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限2.记忆口诀．“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．“符号”看的是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α【常用结论】1．sinα＝±1−cos2α；cosα＝±1−sin2α；(sinα±cosα)2＝12．sin2α＝sin2αsincos2α＝cos2αsin3．sinα＝tanαcosαα≠应用1若sinxcosx＝18，则cosx－sinxA．±32C．－32 D．±A解析：因为(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝1－2×18＝34，所以cosx－sinx＝±应用2若tanα＝－22，α∈−π2，A．－13 C．－33 B解析：由cos2α＝cos2αsin2α+cos2α＝1tan2α+1，得cos2α＝同角三角函数关系的基本应用考向1知弦求弦、切或知切求弦【例1】(1)若θ是三角形的一个内角，且tanθ＝－43，则sinθ－cosθA．15 B．－C．75 D．－C解析：(方法一)由题意，知tanθ＝sinθcosθ＝－43，θ∈(0，π)，故sinθ＞0，cosθ＜0.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝45，cosθ＝－35．所以sin(方法二)因为tanθ＝－43＜0，所以θ∈π2，π，故sinθ－cosθ＞0，则(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－2sinθcosθcos2θ+sin(2)(2024·泰州模拟)已知cosα＝－513，则13sinα＋5tanα＝0解析：因为cosα＝－513＜0且cosα≠所以α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sinα＝1−cos2α＝1−所以tanα＝sinαcosα＝12此时13sinα＋5tanα＝13×1213＋5×−②若α是第三象限角，则sinα＝－1−cos2α＝－1−所以tanα＝sinαcosα＝−此时13sinα＋5tanα＝13×−1213＋5×综上所述，13sinα＋5tanα＝0.[变式]将本例(1)改为：已知α是三角形的一个内角，且tanα＝－13，求sinα＋cosα解：由tanα＝－13得sinα＝－13cosα，且sinα＞0，cosα＜将其代入sin2α＋cos2α＝1，得109cos2α所以cosα＝－31010，sinα＝故sinα＋cosα＝－105由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．考向2sinα，cosα的齐次式问题【例2】(1)若tanα＝2，则sinαA．3 B．－3C．85 D．－A解析：因为tanα＝2＝sinαcosα，所以cosα≠0，则sin(2)已知tanα＝－34，则sinα(sinα－cosαA．2125 C．45 A解析：sinα(sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝sin2α−sinαcosαsin2[变式]本例(1)条件不变，求cos2α＋12sin2α解：cos2α＋12sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝tanα＝2，所以cos2α＋12sin2α＝1+tanα1+tan若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的最高次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值．考向3sinα±cosα，sinαcosα之间的关系【例3】已知sinα＋cosα＝－1713，α∈π，5π4，则A．213 B．－C．713 D．－C解析：因为sinα＋cosα＝－1713所以(sinα＋cosα)2＝289169则2sinαcosα＝120169所以sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝49169即(sinα－cosα)2＝49169又α∈π，5π4，所以sinα＞cosα，故sinα所以sinα－cosα＝713对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝t2−12，sinα－cosα＝±2−1．若θ∈(0，π)，tanθ＋1tanθ＝6，则sinθ＋cosA．233 C．±233A解析：因为tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝又θ∈(0，π)，则sinθ＞0，cosθ＞0，所以sinθ＋cosθ＞0.所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝43所以sinθ＋cosθ＝232．已知关于x的方程2x2－bx＋14＝0的两根为sinθ和cosθ，θ∈π(1)求实数b的值；(2)求2sin解：(1)因为sinθ，cosθ为关于x的方程2x2－bx＋14所以Δ=所以(sinθ＋cosθ)2＝b24＝1＋2sinθcosθ＝1＋14＝54，即b24＝54，解得b＝又θ∈π4，3π4，所以sinθ＋cosθ＞(2)因为θ∈π4，3π4，所以sin所以sinθ－cosθ＝sinθ−cosθ2所以2sinθcosθ+1诱导公式的应用【例4】(1)若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－αA．12 B．－C．－32B解析：由题知，sinα＝12，所以sin(4π－α)＝－sinα＝－1(2)(2024·泰安模拟)记cos(－80°)＝k，那么tan280°＝()A．1−k2kC．k1−k2B解析：因为cos(－80°)＝k，所以sin(－80°)＝－1−k2，所以tan280°＝tan(－80°)＝sin−80°(3)cosα+A．1 B．－1C．sinα D．tanαB解析：原式＝−cosαsin(4)已知cosπ6−α＝23，则sinα−－23解析：sinα−2π3＝sin−π2−1．诱导公式的两个应用口诀(1)求值：负化正，大化小，化到锐角就终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少目的到．2．诱导公式的应用步骤,任意负角的三角函数利用诱导公@式一或三,角的三角函数利用诱导@公式一,的角的三角函数利用诱导公式二@或四或五或六,锐角三角函数1．(2024·宁波模拟)已知tanα＝3，则sinπA．－12C．54B解析：sinπ−α+2cosπ+αsinπ2+α+2．(多选题)在△ABC中，下列等式一定成立的是()A．sinA+B2＝－cosB．sin(2A＋2B)＝－cos2CC．tan(A＋B)＝－tanCD．sin(A＋B)＝sinCCD解析：sinA+B2＝sinπ2−sin(2A＋2B)＝sin[2(π－C)]＝sin(2π－2C)＝－sin2C，故B错误；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故C正确；sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，故D正确．3．已知sinα−π12＝13，则cosα+13解析：由sinα−π12＝13，得cosα+17π124．已知f(α)＝cosπ2+αsin3π12解析：因为f(α)＝cosπ2+αsin3π2−αcos−π−α所以f−25π3＝cos−25π[试题呈现]已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．[四字程序]读3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值想1.sin2x＋cos2x＝1，tanx＝sinx2．3cosx＋4sinx的最大值为5.3．点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上算1.联立3cosx＋4sinx＝5与sin2x＋cos2x＝1.2．3cosx＋4sinx＝5sin(x＋φ)思1.tanx可看作直线的斜率．2．将已知条件变为35cosx＋45sin[一题多解]思路参考：解方程组3解：由sin得9消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0，解得sinx＝45，cosx＝3故tanx＝sinxcosx思路参考：注意到3cosx＋4sinx的最大值为5，利用辅助角公式推出x与辅助角的关系．解：3cosx＋4sinx＝545sinx+35其中cosφ＝45，sinφ＝3所以tanφ＝34所以x＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z所以tanx＝tan2kπ+π2−φ思路参考：令tanx＝t，借助已知条件用t表示sinx和cosx.解：令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，所以cosx＝54t+3，sinx＝5t再代入sin2x＋cos2x＝1，得5t4t+32＋54t+3解得t＝43，即tanx＝4思路参考：设P(m，n)为角x终边上任意一点，r＝m2解：设P(m，n)为角x终边上任意一点，点P到原点O的距离为r，则r＝m2把sinx＝nr，cosx＝m得3·mr＋4·n即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.显然m≠0，故tanx＝nm＝4思路参考：直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1相切，设点A(cosx，sinx)是直线3x＋4y＝5与单位圆x2＋y2＝1的切点，而tanx＝kOA．解：由3cosx＋4sinx＝5，可知点A(cosx，sinx)在直线3x＋4y＝5上，同时也在单位圆x2＋y2＝1上，且圆心到直线的距离d＝532+42＝1，所以点A由于直线3x＋4y＝5的斜率为－34，所以OA的斜率为43，即tanx＝思路参考：令m＝(cosx，sinx)，n＝35，45，证明解：因为35cosx＋45sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝35，4所以m，n均为单位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|等号成立的条件为m∥n，得45cosx＝35sinx，即tanx＝课时质量评价(二十二)1．(多选题)若cos(π－α)＝－12A．sin(－α)＝3B．sinπ2+αC．cos(π＋α)＝－1D．cos(α－π)＝－1CD解析：由cos(π－α)＝－12，得cosα＝12，则sinα＝±A．sin(－α)＝－sinα＝±32B．sinπ2+α＝cosα＝C．cos(π＋α)＝－cosα＝－12D．cos(α－π)＝cos(π－α)＝－12故选CD.2．(2024·冀州模拟)若sin5π2+α＝1A．－25 B．－1C．15 B解析：因为sin5π2+α＝sin2π+π2所以cos(π＋α)＝－cosα＝－153．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，若sinA+B−C2＝sinA−B+C2，则△ABC一定A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形C解析：因为sinA+B−C2＝sinA−B+C2，A＋B＋所以sinπ−2C2＝sinπ−2B2，可得cos又因为B，C∈(0，π)，所以C＝B，c＝b，则△ABC一定是等腰三角形．4．(多选题)(2024·青岛模拟)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15A．sinθ＝45 B．cosθ＝－C．tanθ＝－34 D．sinθ－cosθ＝ABD解析：由题意知sinθ＋cosθ＝15所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125所以2sinθcosθ＝－2425＜又因为θ∈(0，π)，所以π2＜θ＜所以sinθ－cosθ＞0，所以sinθ－cosθ＝1−2sinθcosθ＝1−−2425＝4925＝75，所以sinθ＝45．已知sin3π2−α＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαA．2110 C．32 D解析：由诱导公式可得sinα＝sin3π2−α＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2，所以2sin2α－sinαcosα6．已知sinπ2+α＝－45，那么tanα·sinα－920解析：因为sinπ2+α＝－45，所以cosα＝－45，sin2α＝1－cos2α＝1－1625＝925，所以tanα·7．已知sin−π2−αcos−7π2+α＝1225，且0＜α＜π43545解析：sin−π2−αcos−7π2+α＝－cosα·(－sinα)＝sinαcosα＝1225．因为0＜α＜π4，所以0＜sinα＜cosα.又因为sin2α＋cos8．(2024·长沙模拟)已知sinπ4−α＝35，且π4－α为第二象限角，则sinα−1375解析：因为sinπ4−α＝35，且π4－α所以sinα−13π＝sinα+3π＝sinπ4−α＝35－−459．已知α为第三象限角，f(α)＝sinα−(1)化简f(α)；(2)若cosα−3π2＝15，求解：(1)f(α)＝sin＝−cosα·(2)因为cosα−3π2所以－sinα＝15从而sinα＝－15又α为第三象限角，所以cosα＝－1−sin2α所以f(α)＝－cosα＝2610．(2024·郑州模拟)已知角α∈−π2，0，且tan2α－3tanαsinα－4sin2A．154 C．－34 D．－A解析：因为tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0.因为α∈−π2，0，所以tanα＜0且sinα＜0，所以tanα－4sinα＝0，即sinαcosα＝4sinα，所以cosα＝1所以sin(α＋2023π)＝－sinα＝15411．(数学与生活)黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上的工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”．如果把这个数字设为a，则sinaπA．12 B．－1C．32 D．－D解析：根据数字黑洞的定义，任取数字2021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123……所以数字黑洞为123，即a＝123，所以sinaπ2＝－cosπ6＝－312．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余A．sinβ＝154 B．cos(π＋β)＝C．tanβ＝15 D．tanβ＝15AC解析：因为sin(π＋α)＝－sinα＝－14所以sinα＝14，cosα＝±