人教版八年级数学下册第十八章平行四边形

第十八章平行四边形

教学备注18.2.1矩形

第1课时矩形的性质

学习目标：1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；

2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；

3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.

重点：理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；掌握直角三角形斜边中

线的性质，并会简单的运用.

学生在课前难点：会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.

完成自主学

习部分------------A):主学JiV

配套PPT讲一、知识回顾

授1.平行四边形是什么？它有哪些性质？

1.情景引入

(见幻灯片2.你还记得长方形是什么吗？

3-4)

二、新知预习

1.如图，现有一个活动的平行四边形，使它的一个内角变化，当内角变化为90°时，这

是我们学过的哪个图形？

2.自主学习：

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做也就是长方形.

(2)矩形是特殊的平行四边形，平行四边形是矩形.

三、自学自测

1.矩形是常见的图形，你能举出一些生活中的实例吗？

2.矩形是特殊的平行四边形，你能根据平行四边形的性质，说出3条矩形的性质吗？

四、我的疑惑

----------->>课堂探究\

2.探究点1新

知讲授一、要点探究

(见幻灯片探究点1：矩形的性质

5-19)思考因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为

直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？

活动准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.教学备注

（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四个角度数和对

角线的长度，并记录测量结果.

C=>

（实物）<形象图）

ACBDZBADZADCZABCZBCD

橡皮擦2.探究点1新知

课本讲授

桌子（见幻灯片

5-19）

（2）根据测量的结果，你有什么猜想？

猜想1矩形的四个角都是.

猜想2矩形的对角线.

证一证如图,四边形ABCD是矩形,NB=90°.

求证：ZB=ZC=ZD=ZA=90°.

证明：•.•四边形ABCD是矩形，

ZBZD,ZC____ZA,ABDC.

AZB+ZC=°.AD

又；NB=9（r,

zc=:BC

.1.ZB=ZC=ZD=ZA=°.

如图,四边形ABCD是矩形,NABC=90°,对角线AC与DB相较于点0.

求证：AC=DB.

证明：•.•四边形ABCD是矩形，

ABDC,ZABC=ZDCB=

在AABC和4DCB中，

VAB=DC,ZABC=ZDCB,BC=CB,

/.△ABC____ADCB.

AACDB.

思考请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折,观察并思考.矩形是不是轴对称图形?如果是,

那么对称轴有几条？

要点归纳：矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有:

1.矩形的四个角都是一—矩形的对角线一

矩形是图形,它有条对称轴.

2.A

几何语言描述：

在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点0.

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,AC=DB.B

典例精析

例1如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFJ_AE，垂足为F.求证：DF=DC.

教学备注

例2如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E,

AD=8,AB=4,求aBED的面积.

2.探究点1新

知讲授

（见幻灯片

5-19）

针对训练

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是（）

A.AB〃DCB.AC=BD

C.AC1BDD.OA=OB

第2题图

2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点0,且分别交AB、CD于E、F,那么阴影部

分的面积是矩形ABCD面积的.

3.如图，在矩形ABCD中,AEJ_BD于E,NDAE：NBAE=3：1,求/BAE和NEA0的

度数.

\7

探究点2：直角三角形斜边上的中线的性质教学备注

活动如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.配套PPT讲授

3.探究点2新

知讲授

(见幻灯片

20-25)

问题RlaABC中，B0是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？

猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的.

证一证如图，在Rt^ABC中，/ABC=90°,BO是AC上的中线.

求证：BO^-AC.

2

证明：延长BO至D,使OD=BO,连接AD、DC.

VAO=OC,BO=OD,

/.四边形ABCD是.

VZABC=90",

二平行四边形ABCD是,

AACBD,

.\B0=BD=AC.

要点归纳:直角三角形的性质：直角三角形斜边上的等于斜边的,

典例精析

例3如图，在AABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点.

(1)若AB=10,AC=8,求四边形AEDF的周长;

(2)求证：EF垂直平分AD.

方法总结:当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的

中线的性质进行求解.

\7

例4如图，已知BD,CE是AABC不同边上的高，点G,F分别是BC,DE的中点，试说明GF

±DE.

教学备注

配套PPT讲授

3.探究点2新

知讲授

（见幻灯片

20-25）

4.课堂小结（见

幻灯片30）

5.当堂检测（见

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）幻灯片26-30）

A.对角线相等B.对边相等

C.对角相等D.对角线互相平分

2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为（）

A.13B.6C.6.5D.不能确定

3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是（）

A.20°B.40°C.80°D.10°

4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=

6cm,BC=8cm,则EF=cm.

\7

教学备注

5.当堂检测（见

幻灯片26-30）笫4题图第5题图

5.如图，ZXABC中，E在AC上，且BE_LAC.D为AB中点，若DE=5,AE=8,则BE的长

为•

6.如图，四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点0,BE//AC交DC的延长线于点E.

（1）求证：BD=BE;

（2）若NDBC=30°,B0=4,求四边形ABED的面积.

能力提升

7.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P是AD上的动点，PE1AC,PF_LBD于

F,求PE+PF的值.

八年级数学下册期中综合检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.若式子J三在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x》3B.xW3C.x>3D.x<3

2.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.l,1,72C.6,8,11D.5,12,23

3.下列各式是最简二次根式的是（）

A.V9B.V7C.V20D.VOJ

4.下列运算正确的是（）

A.V5-V3=V2B.其=2；C.V8-V2=V2D.^-y/S）2=2-75

5.方程I4x—8I+瓜工1^=0,当y>0时,/w的取值范围是（）

A.O<"z<lB./M22C."W2D.〃Z<2

6.若一个三角形的三边长为6,8,尤，则此三角形是直角三角形时，x的值是（）

A.8B.10C.2V7D.10或2近

7.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）

A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形

8.能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.AB=CD,AD=BC

C.NA=NB,ZC=ZDD.AB=AD,CB=CD

9.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC_LBD时，它是菱形

C.当NABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形

第13题图第15题图

10.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF,AE、BF相交于

点O,下列结论：（1）AE=BF；（2）AE±BF；（3）AO=OE；（4）

SAAOB=S四边形DEOF中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知最简二次根式也47而与叫二^4石可以合并，则ab=.

12.若直角三角形的两直角边长为a、h,且满足，/一6«+9+Ib-4I=0,则该直角三角

形的斜边长为.

13.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S尸等兀，

8

$2=2兀，贝83=.

14.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ACLBD,且OB=OD,请你添加一个适

当的条件,使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.

15.如图，△ABC在正方形网格中，若小方格边长为1,则AABC的形状是

16.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,NBAD=120°,AC=4,则该菱形的

面积是.

17.AABC中，若AB=15,AC=13,高AD=12,则4ABC的周长是.

18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标

分别为A（10,0）,C（0,4），点D是OA的中点，点P为线段BC上的点.小明同学写出

了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（3,4）,请你写出其余所有符合这个

三、解答题（共66分）

19.（8分）计算下列各题:

(1)(V48-4^1)-(3j1-2VoI);

⑵（2-石严5.Q+后刈6―2*1一得一（一百）。

20.（8分）如图是一块地，已知AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,且CDLAD,

求这块地的面积.

21.（8分）已知9+JIT与9—JU的小数部分分别为a,b,试求ab~3a+4b—7的值.

22.（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点，过D

点作DE_LDF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF的长.

23.（10分）如图，AABC是直角三角形，且NABC=90°,四边形BCDE是平行四边

形，E为AC的中点，BD平分NABC,点F在AB上，且BF=BC.求证:

（1）DF=AE；（2）DF±AC.

A

24.（10分）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为402m,NABC=120°，在其

内部有一个四边形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛

中种植茉莉花，其单价为10元/m）请问需投资金多少元？（结果保留整数）

25.（12分）（1）如图①，已知AABC,以AB、AC为边向aABC外作等边4ABD和等

边AACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接

BE,CD,BE和CD有什么数量关系？简单说明理由；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图③，要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离，已经测得NABC=45°,N

CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.

八年级数学下期末综合检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次根式向i、历、底、Jx+2、540x2、&2+b2中,最简二次根式有（)

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若式子旨有意义，则x的取值范围为，）

A.x24B.xW3C.x24或xW3D.xN4且xW3

3.下列计算正确的是（）

A.V4X76=476B.V4+V6=V10

C.V40-^-75=22D.J(-15>=-15

4.在RtAABC中,ZACB=90°,AC=9,BC=12,则点C至UAB的距离是()

喘B噌。・…年

5.平行四边形ABCD中,NB=4NA,则NC=()

A.18°B.36°C.72°D.144°

6.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于0,菱形的周长是20cm,AC：BD=4：3,则菱形

的面积是（）

A.12cm2B.24cm2C.48cm2D.96cm2

第6题图第8题图第10题图

7.若方程组［2x+,=6的解是｛x--1则直线y=~2x+b与y=x~a

（x-y=aly=3.

的交点坐标是（）

A.(—1,3)B.(L-3)C.(3,-1)D.(3,1)

8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下

列说法正确的是（）

A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点

C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多

9.在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所

成绩（m）1.501.601.651.701.751.80

人数124332

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）

A.1.70,1.65B.1.70,1.70C.1.65,1.70D.3,4

10.如图，在^ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PELAB于E,PF

LAC于F,M为EF中点，则AM的最小值为（）

BcD

A7iil

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.当4时，二次根式x+1有最小值，最小值为

12.已知a,b,c是aABC的三边长,且满足关系式

y]c2-a2-b2+|a-Z?|=O,plijAABC的形状为.

13.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=13,AC=10,DB=24,则

四边形ABCD的周长为.

14.如图，•一次函数y=Z|X+仇与>2=22%+出的图象相交于A（3,2）,则不等式（k2-k\）

x+b2~b\>0的解集为____________.

15.在数据一1,0,3,5,8中插入一个数据x,使得该组数据的中位数为3,则x的值为.

16.如图，OABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，ZECF=60°,AE〃BD,EF

±BC,EF=2j5,则AB的长是.

17.（山东临沂中考）某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结

果如下表所示：

时间（小时）4567

人数1020155

则这50名学生一周的平均课外阅读时间是小时.

18.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和

CD上，下歹!J结论：①CE=CF,②NAEB=75°,③BE+DF=EF,④S正方形ABCD=2+行,

其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）

三、解答题（共66分）

19.（8分）计算下列各题:

（1）12Vl+V18；

⑵先化简，再求值：0-23+%,其中a=G+l,b='Ji—1.

20.(8分)如图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,折痕为AE.若BC=10

cm,AB=8cm.求EF的长.

21.(9分)已知一次函数的图象经过点A(2,2)和点B(-2,-4).

(1)求直线AB的解析式；

(2)求图象与x轴的交点C的坐标；

(3)如果点M(a,一工)和点N(-4,b)在直线AB上，求a,b的值.

2

22.（9分）（湖北黄冈中考）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市

直机关500户家庭的用水情况做一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一

年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.

（1）请将条形统计图补充完整；

（2）求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；

（3）根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有

23.（10分）（山东德州中考）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农

村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进

价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲型2530

乙型4560

（1）如何进货，进货款恰好为46000元？

（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少

元？

24.（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,

过M作ME±CD于点E,Z1=Z2.

(1)若CE=1,求BC的长；

(2)求证：AM=DF+ME.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线产"+6与x轴、y轴分别交于A、B

两点，且aABO的面积为12.

（1）求人的值；

（2）若点P为直线AB上的一动点,P点运动到什么位置时，APAO是以OA为底的等腰

三角形？求出此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PO,APBO是等腰三角形吗？如果是，试说明理由；如果

不是，请在线段AB上求一点C,使得aCBO是等腰三角形.

期中综合检溜卷

l.A2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.B9.D

10.B【解析】在正方形ABCD中••.•CE=DF.；.AF=DE.

又,.•AB=AD.NBAF=/D=90°....△ABF&ADAE.二

AE=BF.NAFB=NDEA.NDAE=ZABF.VZDAE+

ZDEA=90°.NDAE+NAFB=90°.即NA()F=90°.

AEXBF.VS△*出+S△*好='△.*用+SIM边影DDTJF••e•S△”出=

Stu边密国*.故(D(2”4)正确.

9

ll.l12.513—K1&(M=OC(答案不唯一)

o

15.直角三角形16.8伍17.42或32

18.(2,4)或(8.4)

19.(1)解：原式=4>/T-4•冬一3,冬+2•乌=3"；

43Z

(2)解：原式

20.解：连接AC.由勾股定理得:AC=，1+32=5(m).

V5*+12*=131,.'.△ABC是直角三角形.

.•.S=；X5X12-4"X3X4=30-6=24(mD.

答：这块地的面积为24m1.

21.解：易知a=/11—3.〃=4一，iT,；.H,-3a+4Z>—7=(JIT

—3)(4—5/TT)—3(>/11—3)+4(4—>/TT)—7=7^/iT—23

-3711+94-16-45/iT-7=-5.

22.解：如图.连接•在等腰直的三角

形ABC中.D为AC边上中点.

BD±AC,BD=CD=AD,^ABD

=45*,ZC=45",

又DE_LDF,二NFDC=NEDB.

△EDBWAFDC,

二BE=FC=3.；.AB=7.则BC=7,

:.BF=4,在RtAEBF中.EF1=BE2+BF2=32+42,

；.EF=5.

23.证明：(1)如图,延长DE交AB于点G.

连接AD.•••££>〃BC,E是AC的中点,

ZABC=90",/.AG=BG.Df；±AB、：.

AD=BD.'：BD平分NABC.；.NABD

=45\ZBAD=45a.ZBIX；=ZADG=

45°「.•四边形BCDE是平行四边形.二

ED=BC.又VBF=BC,：.BF=DE.：.

△AED四△DFB.；.AE=DF.

(2)VAAEDMADFB.ZAED=

ZDFB.二NDFG=/DEC.•:ZDFG

与NFDG互余.二/DEC与NFDG互余.DF_LAC.

24.解：连接8。、八。；菱形八段'£）的周长为4072m....菱形

ABCD的边长为10&m.VNABC=120°.二/八=60°,/.

△BDA是正三f白形.二3。=83=10^m..\AC=10>/6m.

•；E、F、G、H是菱形ABCD各边的中点.二四边形EFGH

是矩形.矩形的边长分别为5"m.5V6m.•.矩形EN；H的面

积为/X5而=50、叵（n?）.即需投资金为5073X10=50073

%866（元）.

答：需投资金为866元.

25.解：（D完成图形.如图①所示.

证明：:△ABD和△ACE都是等边三角形.二八。=八8.

AC=AE./BAD=NCAE=60°.二ZBAD+ZBAC=

ZCAE+ZBAC.即ZCAD=ZEAB.V在ZXCAD和

(AD=AB,

△EAB中NCAD=NEAB.ACAD^AEAB(SAS),

AC=AE,

：.BE=CD.

(2)BE=CD.理由如下：•.,四边形ABFD和ACGE均为正

方形.二AD=AB.AC=AE.ZBAD=ZCAE=90s.A

ZCAD=ZEAB.V在△CAD和ZXEAB中.

(AD=AB.

ZCAD=ZEAB./.ACAD^AEAB(SAS),：.BE=CD.

AC'=AE.

(3)由(1)、(2)的解题经验可知,如图③.过人作等腰自角三

角形ABD./BAD=90°.则AD=AB=100米.NABD=

45，；.BD=1OOM■米.连接CD.则由(2)可得BE=CD,'：

NABC=45°.二NDBC=90°.在RtADBC中.BC=100

米,BD=10042米,根据勾股定理得：CD=

0002+(10002=1006■(米),则BE=CD=100伍米.

期末综介检滴卷

l.C2.A3.C4.A5.B6.B7.A8.B9.A

10.D【解析】:PE_LAB.，NPEA=90,：PF_LAC.二

ZPFA=90°・丁32+4?=5,即AB1+AC*=BC1、：.

NBAC=90°....四边形AEPF为矩形.连接八?•\•点M为

EF的中点.二点M是AP、EF的交点.二AM=；AP.当

AP±BCBt.AP最短为汉=最小为；X兰

OOLaO

6

=~5~，

11,-1012.等腰直角三角形13.52

14.J-<3【解析】'：（卜2—Ai）J•+〃2一仇>0.；•员2工十九〉氏1工

+/，一从图象上看,解集即为直线yt=ktJ-+ht的图象在直

线门=上工十仇的图象上方的部分所对应的1的取值范围.

二•两直线交于点八（3,2）,结合图象可知,当工<3时.八〉

y1.即（A2—氏1）工+”一仇>0.

15.316.217.5.318.①②④

19.(1)解：原式=3—2a-4+3笈=笈-1;

(2)解：原式=山+J+2-+//小

a\a)a

—二・当°=&+1,〃=伍一1时,原式=一

a~rb

1]1V3

a+b73+1+V3-12736'

20.解：由条件知AF=AD=BC=10cm.在RtAABF中.BF

=VA^-AB2=7102-82=6(cm)..*.FC=BC-BF=

10-6=4(cm).设EF=Tcm.WjDE=EF=xcm,CE=

(8-J-)cm.在RtACEF中.EF'=CE'+FC'，即z'=(8-

工了十公.解得H=5.即EF=5cm.

21.解：（1）设直线A3的解析式为_y=匕+〃，则有

2k+6=2,解洱

-2k+b=-^,导

3

二直线人B的解析式为y=下丁一1；

(2)令1y=0,得,工一1=0,.•.工=--•即；

31

(3);•点M、N在直线AB±..*.-j-a-l=--

31

亏X(-4)—1=〃.即a=《-”=-7.

Lt*3

22.解：(1)如图所示：

4。修胤曹户

30

20

10