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文档简介
2021届新高考数学三轮冲刺训练
集合与常用逻辑用语
1.集合的运算.高考对集合基本运算的考查,集合由描述法呈现,转向由离散元素呈现.解决这类问
题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的,明确集合中含有的元素,进一步进行交、并、补
等运算.常见选择题.
2.充要条件.高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查,主要命题形式是选择题.由于知识
载体丰富,因此题目有一定综合性,属于中、低档题.命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、
立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定.
3.关于存在性命题与全称命题,一般考查命题的否定.
•)知识必备
1、集合的基本运算
(1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合8的所有元素组成的集合,称为A与8的交集,记
作AC8,即4nB={x|xGA,且xGB}.
(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合8的元素组成的集合,称为A与B的并集,记
作AU8,即AUB={x|xGA,或xGB}.
(3)补集:对于一个集合4,由全集。中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合4相对于
全集U的补集,简称为集合A的补集,记作[必,muA={x\x^U,且依4}.
2、集合的运算性质
(1)ACA=A,AC0=0,ACB=BnA。
(2)4UA=A,4U0=4,4UB=BUA。AU8=AAB=A=AU
(3)AC([uA)=0,A^(,[,uA)=U,[u([uA)=A。
(4)[MAnB)=(C〃)U([u8),1M4口8)=([〃)G((/)。
3、相关结论:
(1)若有限集4中有〃个元素,则A的子集有2"个,真子集有2"—1个。
(2)不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集.记作名
4、两个条件之间可能的充分必要关系:
(1)p能推出q,但q推不出p,则称p是q的充分不必要条件
(2)p推不出q,但q能推出〃,则称〃是q的必要不充分条件
(3)〃能推出“,且q能推出〃,记为poq,则称p是q的充要条件,也称〃国等价
(4)p推不出q,且q推不出p,则称p是q的既不充分也不必要条件
5、运用集合作为工具
由P屋。可得到:xePnxeQ,且xeQ推不出xcP,所以“xeP”是“xe。”充分
不必要条件。通过这个问题可以看出,如果两个集合存在包含关系,那么其对应条件之间也存在特
定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合,判断出两个集合间的包含关系,
进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下:
①PUQ:〃是q的充分不必要条件,q是〃的必要不充分条件
②P=Q:〃是q的充分条件
③P=Q:〃是q的充要条件
6、集合的考查往往涉及到与函数的定义域、值域以及不等式相结合,因此,要掌握有关各类不等式
的解法,如分式不等式、一元二次不等式等。
•技法必备
本章内容的高考中的考查是以容易题出现,常见选择题的第一题或者多选题的前两题。方法技巧补
交单一。
1、直接法:总结运算得到答案。
2、特殊的方法:对两个集合进行赋值,判断两个集合的关系:或者举一些例子进行排除两个命题之
间的关系。
3、借助于数轴或者文氏图,研究集合之间的关系•
|真题回顾|
1、设集合4={xWYW0},B={x|2x+把0},且4nB={x|-2灸1},则“=
A.-4B.-2
C.2D.4
【答案】B
[解析】求解二次不等式三一4w0可得A={x|-2VxW2},
求解一次不等式2x+aWO可得8=1x|x<一■!].
由于Ac3={x|-2WE},故一1=1,
解得。=一2.
故选B.
2、已知集合1/={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1),B={1,2},则电(AU8)=
A.{-2,3}B.{-2,2,3)
C.{-2,T,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}
【答案】A
【解析】由题意可得AuB={-L0,l,2},则g(AU3)={-2,3}.
故选A
3、已知集合4={(乂丁)|再B={(x,y)|x+y=8},则AQB中元素的个数为
A.2B.3
C.4D.6
【答案】C
y>X
【解析】由题意,ADB中的元素满足1。,且羽yeN*,
x+y=8
由x+y=8N2x,得xW4,
所以满足尤+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),
故AD8中元素的个数为4.
故选C.
4、设全集U={-3,—2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},8={-3,0,2,3},则An(Q/)=
A.{-3,3}B.{0,2}
C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3)
【答案】c
【解析】由题意结合补集的定义可知名B={—2,—u},则An(a,8)={—i,i}.
故选c.
5、已知集合A={-1,0,1,2},8={x|0<x<3},则=
A.{-1,0,1}B.{0,1}
C.{-1,1,2}D.{1,2}
【答案】D
【解析】AIB={-1,0,1,2)I(0,3)={1,2},
故选D.
6、设aeR,则是“小>a”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解二次不等式可得:〃>1或
据此可知:”>1是片>。的充分不必要条件.
故选A.
7、设集合4={却勺区3},B={x|2a<4},则4UB=
A.{x|2<x<3}B.{x|2<x<3}
C.{x|l<x<4}D.{x|l<x<4}
【答案】C
【解析】AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4).
故选C
8、已知集合「="[1<^<4},Q={x[2<x<3},贝iJPIQ=
A.{x|l<x<2}B,{x|2<x<3}
C.{.r|3<x<4}D,{x|l<x<4}
【答案】B
【解析】】PlQ=(L4)I(2,3)=(2,3).
故选B.
9、已知空间中不过同一点的三条直线/,〃共面‘'是"/,m,〃两两相交''的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】、依题意,机,〃,/是空间不过同一点的三条直线,
当机,〃,/在同•平面时,可能“〃/?〃/,故不能得出机,〃,/两两相交.
当两两相交时,设〃7c〃=A,/〃c/=B,〃c/=C,根据公理2可知确定一个平面
a,而根据公理1可知,直线6c即/ua,所以〃?,〃,/在同一平面.
综上所述,“九〃,/在同•平面”是“机,〃,/两两相交”的必要不充分条件.
故选B.
10、己知a,〃eR,则“存在ZeZ使得。=&兀+(-1)为月”是"sina=sin/?”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
[解析】(1)当存在kwZ使得a=E+(-1)*,时,
若人为偶数,则sina=sin(E+A)=sin。;
若&为奇数,则sine=sin(%t-/?)=sin[(Z-l)7i+7t—月]=sin(兀一/7)=sin/3•
(2)当sine=sin力时,。=尸+2小或a+/7=兀+2〃讥,meZ,即
。=版+(-1)火4(左=2"2)或。=仄+(-1『0(k=2m+l),
亦即存在kwZ使得a=E+(-l)*尸.
所以,“存在丘Z使得a=E+(-1»(3”是“sine=sin夕,的充要条件.
故选C.
11、若a>0,b>0,贝lj“a+》<4”是“a6W4”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当。>0,。>0时,a+b>2>fab,则当a+bW4时,有2而Wa+b44,解得a。W4,
充分性成立;
当a=l,b=4时,满足出?<4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,
综上所述,“a+844”是“W4”的充分不必要条件.
故选A.
12、设xwR,则-5x<0”是的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由/一5%<0可得0<x<5,由|*一1|<1可得0<x<2,
易知由0<x<5推不出0<x<2,
由0<x<2能推出0<x<5,
故0<x<5是0<x<2的必要而不充分条件,
即“/一5%<0”是“次一1|<1"的必要而不充分条件.
故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题的关键是由所给的不等式得到无的取值范围.
13、设a,4为两个平面,则a〃4的充要条件是
A.a内有无数条直线与夕平行B.a内有两条相交直线与“平行
C.a,夕平行于同一条直线D.a,£垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知:a内有两条相交直线都与万平行是a〃〃的充分条件;
由面面平行的性质定理知,若a〃尸,则a内任意一条直线都与夕平行,所以a内有两条相交
宜线都与0平行是a///3的必要条件.
故a〃夕的充要条件是a内有两条相交直线与少平行.
故选B.
14、已知集合4={-1,0,1,2},8={0,2,3},则408=.
【答案】{0,2}
【解析】VA={-1,0,1,2}.B={0,2,3},
AIB={0,2}.
故答案为{0,2}.
【点睛】本题考查了交集及其运算,是基础题型.
15、设有下列四个命题:
pi:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
Pi-.过空间中任意三点有且仅有一个平面.
而:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
P4:若直线/u平面a,直线m_L平面a,则
则下述命题中所有真命题的序号是.
①小八Pa②〃|人〃2③「P2Vp3④可3V
【答案】①③④
【解析】对于命题PI,可设《与6相交,这两条直线确定的平面为a;
若卜与《相交,则交点A在平面。内,
同理,h412的交点B也在平面a内,
所以,ABua,即gua,命题p1为真命题;
对于命题P2,若三点共线,则过这三个点的平面有无数个,
命题”2为假命题:
对于命题,3,空间中两条直线相交、平行或异面,
命题为假命题:
对于命题P4,若直线m_L平面。,
则机垂直于平面a内所有直线,
•.•直线Iu平面a,.•.直线m1,直线I,
命题Pa为真命题.
综上可知,P1,Pj为真命题,P1,P3为假命题,
PlAP4真命题,P|八。2为假命题,
「P2Vp3为真命题,「P3V为真命题.
故答案为①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假,同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断,考查
推理能力,属于中等题.
16、已知集合A={-4,0,1,6},B={x|x>0,xeR},则AG8=▲.
【答案】{1,6}
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题意知,4口8={1,6}.
【名师点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题.
17、能说明“若/(x)>/(0)对任意的xG(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假
命题的一个函数是.
3,
【答案】/(x)=-(.«--)(答案不唯一)
【解析】对于/(x)=—(X—1)2,其图象的对称轴为x=1,
则/(无)"(0)对任意的xe(0,2]都成立,
但f(x)在[0,2]上不是单调函数.
名校预测
一、单选题
1、已知集合人={1w2-%-2<()},B={x[l<x<3},则Af|B=
A.1x|-l<x<31B.|x|-l<x<1}C.{x[l<x<2}D.{x[2<x<3}
【答案】:C
【解析】:集合人={*,2-%一2<()},二集合A={x|-l<x<2},
乂';B={x[l<x<3},;.ARB={x[l<x<2},故选C.
2、己知集合4=卜|2*<1},3={x|y=lg(x-l)},则An(CM)=()
A.0B.(0,1)
C.(-00J]D.(-oo,0]
【答案】D
【解析】由题:A={x|2v<1}={A]X<0},B={x|y=lg(x-l)}={x|x>l},
C>B={x|xWl},An(CM)=(—8,0]
故选:D
3、已知全集〃=1<.集合/=卜|一3<x<l},7V={x||x|<l)(则阴影部分表示的集合是()
A.[-1/]B.(-3,1]C.(-3,-1)D.(f-3)U(-l,+<»)
【答案】C
【解析】-.ixiM.-.-i*1,i],
由题得阴影部分表示集合(43)「|加,
q,,N={x|x<—1或X>1}
所以(4N)p|M=(-3,T),
阴影部分表示的集合是(-3,-1).
故选:C
4、已知集合4=卜|三<()},B={x||x|<«},若“a=l”是=的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意,集合A={x|号<0}={x[(x+l)(x—2)<0}={x[—l<x<2},
充分性:
若。=1,则8={x[T<x<l},满足5工A,即“a=l”是A”的充分条件;
必要性:
-a<a
若BqA,①集合3=0,此时符合BqA;②集合此时2,解得0<aWl.
-a>-1
故时,a<\,即“a=1”不是"8=A"的必要条件.
所以“a=1”是"B^A”的充分不必要条件.
故选:A.
5、命题“7*6凡/一;1+1>0”的否定是()
A.VxGR,x2-x+1<0B.VxeR,x2-x+1<0
22
C.3x()eR,x()-x()+1<0D.3x0e/?,x0-x0+1<0
【答案】C
【解析】全称命题的否定“玉凡炉一”+1«0,,,故选析
6、"%<0”是“1!1(%+1)<0”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意得,ln(x+l)<0=0<x+l<lo—l<x<0‘故是必要不充分条件,故选B.
7、函数/(工)=1。8〃宜。>0,。工1)是增函数的一个充分不必要条件是()
A.0<a<-B.0<a<lC.a>\D.2<〃<4
2
【答案】D
【解析】
;。>1时,/(x)=log“x(a>0,axl)是增函数,
,函数f(x)=log“x{a>0,”工1)是增函数的一个充分不必要条件是ae(1,+℃)的一个子集,又
(2,4)<=(l,+w),
故选:D.
二、多选题
8、下列命题中,是真命题的是()
A.已知非零向量向万,若忖+同=,一同,则2_1_方
B.若p:Vxw(0,+oo),x-l>lnx5!lr?:Hrow(0,+oo),%-lWin/
C.在AA8c中,"sinA+cosA=sin8+cosB"是"A=8"的充要条件
D.若定义在R上的函数y=/(x)是奇函数,则y=/(/(x))也是奇函数
【答案】ABD
【解析】对A,卜+可=,一.=>a+h+2a-h-a+b-2ab=>a-b-0,所以£j_B,故A
正确;
对B,全称命题的否定是特称命题,量词任意改成存在,结论进行否定,故B正确;
对C,sinA+cosA=sinB+cos8=2sinA•cosA=2sin8-cosB=sin2A=sinIB.
7t
所以A+8=—或A=B,显然不是充要条件,故C错误;
2
对D,设函数/(x)=/(/(x)),其定义域为R关于原点对称,目
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