八年级数学二次根式单元检测

二次根式单元检测题

一、选择题

1.下列运算，结果正确的是（）

A.V5-V3=V2B.34-V2=3V2

C.V64-V2=3D.V6XV2=2V3

2.下列二次根式的运算正确的是（）

A.J（-5）2=-5B.8_e

5-2

C.3V5+V5=4V10D.

3.实数a,8在数轴上对应点的位置如图所示，且则化简

必+|a+b|的结果为（）

-----1------•-------->

F•4J0b

A.2a+bB.-2G—bC.bD.2a-b

4.下列所给的二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V8xB.V%2+4C.-D.-^=

5.若二次根式近二元有意义，且关于x的分式方程4+2=三有正数

1-xX-1

解，则符合条件的整数力的和是（）

A.—7B.—6C.—5D.—4

6.已知％=5-2痣，则》2-10*+1的值为（）

A.-30V6B.10V6C.-18V6-2D.0

7.若a<0,则|a-3|—而的值为（）

A.3B.-3C.3-2aD.2a—3

8.已知a=&—l，b=&+l，则。2+/?2的值为（）

A.8B.1C.6D.4V2

9.若旃是整数，则正整数〃的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

10.计算(注-8)2。2。.(V2+国)2。21的结果是()

A.V2+V3B.—V3—V2C.V3—V2D.V2—V3

11.估计次(夕+8)的值在哪两个连续整数之间()

A.5和6B.6和7C.7和8D.8和9

二、填空题

12.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值值-

d(c-a+b)2+|b+c|-Vb^=.

IllI>

ah0r

13.要使代数式隹三有意义，则x的取值范围是.

14.与最简二次根式5后口是同类二次根式，则&=______.

15.已知-V5)<0，若b=3-a,则。的取值范围____.

16.当。=____时，最简二次根式/a2-3与，1-3a是同类二次根式.

17.计算巫J红的结果是

V3--------------------

18.已知y=Vx—5+V5—%+4>则.

19.已知(％—y+3)2+J2—y=0,则x+y=

20.观察下列等式：

①3-2迎=(V2-1)2»

②5-2遍=(V3-V2)2.

③7-2V12=(V4-次产，

请你根据以上规律，写出第6个等式.

三、计算题

21.已知％=3vLy=243,求下列各式的值：(1)J/_丫2

⑵出

第2页，共32页

22.计算：V3xV6-^+(V3-2)°-J(1^V2)2.

四、解答题

23.已知a,方分别为等腰三角形的两条边长，且a-b满足b=4+

V3a-6+3yf2^a，求此三角形的周长.

24.已知％=2+国，y=2-国，求％2+%y+y2的值.

25.阅读下面问题:

阅读理解:

近一

11V2—1；

V2+1(V2+l)(®1)

=V3—V2；

V3+\[2(V3+V2)(V3-V2)

遥

11X(-2)V5-2.

V5+2(V5+2)(V5-2)

应用计算:

⑴力的值;

(2)-、屋二行。为正整数)的值.

归纳拓展•(3)-111-…H-------------1-------------的

月制作股.、)1+近在+6V3+V4闻+V99V99+V100nJ

值.

26.如图，已知矩形纸板面积为8a,两邻边之比为3：4,现欲在每个角处

裁下一个面积为a的正方形后，制成一个无盖的纸箱.求制成的纸箱的侧

面积.

27.如图，有一张边长为6Kcm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉,

制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，

此小正方形的边长为&cm.求：

(1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积;

(2)长方体盒子的体积.

28AABC三边长分别为4、同、V13,求这个三角形的面积，小明同学

在求面积时先画了一个每个小正方形的边长均为1的正方形网格，再在网

格中画出格点各个顶点都在网格的格点上)，如图1所示，

第4页，共32页

这样借用网格(不需△ABC的高)就能算出三角形的面积，这种方法叫构造

法.

(1)△ABC的面积为.

(2)若△OPQ的三边长分别为0P=旧、0Q=V29>PQ=V1U，请在图2

的网格中画出△OPQ,使得△OPQ的三个顶点都在格点上，求此三角形的

面积.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4遍与次不是同类二次根式，不能合并，此选项错误;

A3与我不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

C，V6+V2=+2=V3，此选项错误；

D.y/6x>/2=V3xV2xV2=2百，此选项计算正确；

故选：D.

2.【答案】B

【解析】解：A、原式=5,所以4选项错误;

B、原式=3巨=立，所以B选项正确；

\582

C、原式=4近，所以C选项错误；

。、原式=10x3=30,所以。选项错误.

故选：B.

3.【答案】B

【解析】解：由题意可知：a<-l<b<-a,

••a+b<0,

二原式=\a\—(^a+b)=—a—a—b

=—2a—b,

故选：B.

4.【答案】B

【解析】解：A.辰=2岳,此选项不符合题意;

B.石中是最简二次根式，符合题意;

等，此选项不符合题意;

D；=场,此选项不符合题意;

y/aa

第6页，共32页

故选：B.

5.【答案】D

【解析】解：去分母得，-?n+2(x—l)=3,

解得，久=等，

•••关于x的分式方程产+2=告有正数解，

1-xX-1

m+5、八

---2-->0,

・,・m>—5,

又x=1是增根，当％=1时，里券=1,即?n=-3

vnW3,

v—m有意义，

/.2—m>0,

Am<2,

因此-5<m<2且?nH-3,

・・・m为整数，

・・・瓶可以为-4,-2,-1,0,1,2,其和为一4,

故选：D.

6.【答案】D

【解析】解：当％=5—2遍时，

原式=(5-2V6)2-10x(5-2V6)4-1

=25-20V6+24-50+20A/6+1

=0.

故选：D.

7.【答案】A

【解析】解：・.・aV0,

・,・原式=-(a-3)-\a\

=-Q+3+Q

=3.

故选：A.

8.【答案】C

【解析】解：Q=>J2—1,b=y/2+1,

・•・a+8=2鱼，ab=2—1=1,

:.M+〃=(。+好2_2ab=8—2=6,

故选：C.

9.【答案】D

【解析】解：?V63n=V7x32n=3>/7n»且V7元是整数；

・・.3后是整数，即7及是完全平方数；

・•.九的最小正整数值为7.

故选：D.

因为>/63几是整数,且V63n=，7x32九=3e而，则7〃是完全平方数，满足条件的最

小正整数〃为7.

10.【答案】A

解.：原式=(夜-V3)202°X(V2+V3)202°X(V2+V3))

=[(V2+V3)(V2-V3)]202°x(V2+V3)

=yj24-V3.

故选人

11.【答案】C

【解析】解：V3(V7+V3)=VH+3，

V4<V21<5，

•••7<V21+3<8，

故旧(夕+V5)的值在7和8两个整数之间.

故选：C.

12.【答案】-b

【解析】解：：从数轴可知:a<b<0<c,|c|>|a|>|ZJ|,

二原式=\a\-\c-a+b\+\b+c\—b

第8页，共32页

ci-C+Q—b+b+c—b

=.b,

故答案为：—b.

13.【答案】x2：且x71

【解答】

解：由题意可得：2x-1>0,

解得：%>g且xH1.

故答案为：x>g且%。1.

14.【答案】2

【解析】解：・・・ci与最简二次根式5衍I是同类二次根式，且m=2b，

.'.(24-1=3,解得：Q=2.

故答案为2.

15.【答案】3-遍V/?<3

【解析】解：•・,Va(a—V5)<0

・,・历>0,a—V5<0

/.0<a<V5

・•・—V5<—a<0

*,*3—y[sV3-QV3

vb=3—a

•-3—y/5<b<3

故答案为：3-遍Vb<3.

由VH(a-通)V0,及二次根式的非负性，可得。的范围，再利用不等式的性质可得

3-。即b的范围.

16.【答案】一4

【解答】

解：♦・・最简二次根式芯—与是同类二次根式，

a2—3=1—3a,

解得：Q=-4或1.

又,,,a?—330,1—3a>0,

Q=1不成立，应舍去，

故。的值为-4.

故答案为-4.

17.【答案】-1

解：原式=与型=一1,

V3

故答案为-L

18.【答案】2V5

20210624手动选题组卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

22.设向量落b满足|有|=|b|=1'\3a—2b\=\[7,则五，b的夹角为（）

A二C.7D?

23.已知向量落人满足|为|=5,|力|=6'a-b=—6»则cos位,E+b）=（）

A.-|iB.C.gD.

24.若|砧=1,|3|=2,且位+3）1五，则方与3的夹角为（）

A.%B.冶C.§D.竽或后

25.已知区方均为单位向量，若|4一2石|=百，则向量云与石的夹角为（）

A.巳B.=C*D.等

26.已知向量五，石满足|为|=5,|石|=6，a-b=-6>贝kos<苍，a+K>=（）

27.若两个非零向量优京黄足|苍+方|=旧—引=2|矶，则向量五+B与五一3的夹角

是（）

A.三B.7C.7D.v

6633

28.设向量苍=（x,l）,9=（1,—遮），且N_L了，则向量W—8方与石的夹角为（）

第10页，共32页

29.点2(3,0)、2(0,3)、C(cosa,疝in)、2(0,0),若|6？+元|=”^，a6(0,〃),

则赤,云的夹角为()

A.7B.C,D,

2436

30.已知五=(3,—1),K=(1,-2).则〉与石的夹角为()

A.7B.TC.7D.7

31.设等边三角形AABC的边长为1,平面内一点M满足前=：方则向量

宿与近夹角的余弦值为()

、.与B.心C.4D.”竺

361219

二、多选题(本大题共3小题，共15.0分)

32.已知向量Z=(2,l),b=(-3,1)，乙=(1，一/)，贝4()

A.(a+5)〃a

B.向量£在向量E上的投影向量为一;3

C.a与2一刃的夹角余弦值为小

D.a1c

33.如果平面向量3=(2,-4),方=(-6,12)，那么下列结论中正确的是()

A.\b\=3|a|B.a//b

C.五与石的夹角为30。D.五在让的投影向量的模为2而

34.已知向量五+石=(1,1)，a-b=(-3,1).c=(1,1),设区石的夹角为0,贝版)

A.|a|=\b\B.aleC.b//cD.9=135°

第H卷(非选择题)

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

35.已知石为单位向量,且行不=0,若^=2五一为与不的夹角为。，则

cos9=.

36.已知|引=2,出|=3，五与方的夹角为60］若方+，方与；+B的夹角锐角，则实数

久的取值范围为.

37.已知落甜匀为非零向量，仅一2石)1.方，(b-2a)1K,则五，石的夹角为

38.已知平面向量区b满足日=(1,—1)，|b|=1'|五+2匕|=&，则为与b的夹角为

四、解答题(本大题共8小题，共96.0分)

39.已知向量为在向量方=(1,6)方向上的投影为2,(a-2h)la.

(1)求向量五与E的夹角；

(2)求|2五一石|的值；

(3)若向量T=3五一4方，d=ma+b>c//d>求刑的值.

40.已知落方都是非零向量，且苍+3另与72一53垂直，为一4日与7五一23垂直，求五

与方的夹角。.

41.已知向量为=(1,2),I=(3,x)，c=(2,y),且五〃至，ale.

(1)求方与下;

(2)若沅=21一石，n=a+c,求向量记，元的夹角的大小.

第12页，共32页

42.已知单位向量入与芍是夹角为a，且cosa=1,向量五=3否-2备与石=3&-32

的夹角为孙求/?的余弦值.

43.已知方4=(1,2),b-(—3,1).

(I)求1-2旅

(口)设五石的夹角为。，求cos。的值；

(UI)若向量方+k石与五一k石互相垂直，求k的值.

44.已知五=(1,2),石=(1,4)，分别确定实数4的取值范围，使得:

(1)五与方的夹角为直角；

(2)为与方的夹角为钝角：

(3)祝与B的夹角为锐角.

45.在中，AB=3,AC=6,Z.BAC=y,。为边BC的中点，M为中线A。的

中点.

(1)求中线4。的长；

(2)求丽与而的夹角。的余弦值.

46.已知向量苍=(2cosa,2sina),B=(6cos0,6sin0)，-B-a-(K-a)=2-

(1)求向量优B的夹角；

(2)若|tZ-石|=3g，求实数f的值.

第14页，共32页

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积，向量的夹角运算，属于基础题.

根据|五-23|=近，㈤=|同=1求出方7,然后代入向量夹角公式计算即可求

解.

【解答】

解：设日与石的夹角为。，

由题意得（3方一2万产=7,

•••9|a|2+4|K|2-12a-K=7）

又|a|=|b|=1，

:.五—b—

2

••|a||K|cos5

即cos0=|.

又。G[0,TT],

n

■n­0=-.

故选A.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量夹角余弦值的计算，平面向量数量积的计算和向量模的计算，考查计算

能力，属于中档题.

计算出五.0+3），佰+3的值，即可得解.

【解答】

解：•••|五|=5,|引=6，a-b=-6>

a•（a+K）=|a|2+a-K=52-6=19>

\a+b\=(a+6)2=Ja2+2a-K+K=「25—2=6+36=7,

a-(a+d)_1919

因止匕，cos<a,aA-b>=

|a|-|a+K|-5x735

故选D

3.【答案】C

【解析】解：|五|=1，曰|=2，且位+另)1区

A(a4-K)-a=a2+a-h=0»

•b=—1，

设弓与石的夹角。，则cos"矗=言='

•.・0W0W7T，

A0=—,

3

故选：C.

由他+办1为，结合向量数量积性质可求五不，然后根据向量夹角公式cos。=悬,

代入即可求解.

本题主要考查了平面向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

由|五一2石|=8，得五2+4片_4力.3=3,设单位向量胃与石的夹角为。，则有

1+4—4860=3,解得＜小。=；,进而求出结果..

【解答】

解:Eh|a-2&|=V3»得@一2石y=3,

即片+4片-41•石=3,

设单位向量五与弓的夹角为。，

贝!I有1+4—4co«03,

第16页，共32页

解得cos。—：，

又。e[0,7r],

所以"半

故选B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档

题.

利用已知条件求出|W+石],然后利用向量的数量积求解即可.

【解答】

解：向量方，方满足|方|=5,IK|=6>a-b=-6>

可得|a+b[=Ja2+2a-b+b2=V25-12+36=丁

、a(a+b')五，五万

cos<,—a,—Q+7b*>=L：一二=----=-2-5--6=—19.

|a||a+b|5x75x735

故选D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查向量的模、夹角、数量积相关知识，属于中档题.

先根据模相等分别得到日7=0及同2=3同2,进一步利用向量的夹角公式计算即可

得解.

【解答】|a+b|=|a—K|，

■•■a2+2a-b+b^='a-2a-b+b^.-.a-b=0.

Xv|a+K|=2|a|，

|a|2+2a-K+|b|2=4|a|2»|K|2=3|a|2.

设五+石与五-弼夹角为0，

则rcE-0+为0-W_同2Tbi__2|五『__1

人「C°SJ-四训五_研-4间2一祠■一一了

又•••。6[0,扪，.•.0=g.

故选D.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的计算，关键是求出x的值.

根据题意，可得行i=0,解可得x,即可得向量本方的坐标，由向量数量积公式，代

入数据计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，设向量日一百方与方的夹角为。,

向量五=(x,1),b~(1,-V3)>

若五1b，则有五,b=x—相=0,解得％=V3,

即方=(V3.1).b=(1,-V3).

则日—屈=(0,4)，

则有|方—|h|=2»(a—V3-b=ab—V3b——4y/3,

(a-V3b)b

贝！kosO=

|a-V35||b|一2

又由0<0<n,则6=当6

故选。.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算、数量积以及向量夹角，属于基础题.

利用向量坐标形式进行运算求出。点坐标，然后求出南,灰的夹角的余弦值，最后结

合夹角的范围求出夹角的大小.

【解答】

第18页，共32页

解：,・，A(3,0),O(com.sinc),0(0,0),

/.(TX+OC"(3+cosc,siiMt)，\OA+OC|=J(3+cosa)2+sin2a=

V10+6cosa=V13,

1

cosa=",

vaG(0,TT),

a=3r即C(3苧)，

而，方夹角余弦值为=强=更，

\OB\\OC\3x12

V砺,灵夹角范围为［0,兀］，

赤，元夹角为本

故选D.

9【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模，向量的夹角和向量的坐标运算，属于基础题.

先由已知向量的坐标求出向量的模，再代入向量的夹角公式得到cos8=立，即可求出

2

夹角.

【解答】

解：设弓与B的夹角为。，

V|aI=710,|K|=V5，a-b=5>

八a-b5\p2

COS3=|a||b|=-xn/l=O~xx~/75==—2,

又。e

五与B的夹角为9

故选B.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，属于基础题.

由前T荏+1宿两边平方得|词|=等且荏.前=］禧)2+］布.前=|,

由向量数量积公式求解.

【解答】

解：］俞(=(初)2=(lJe)2+G近)2+2x^XyAB-AC=^,

则丽=尊

2

AB-AM(AB)+萍.正=|,

二向量由7与而夹角的余弦值为：需焉=警.

故选D.

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积、夹角、投影向量、向量共线及垂直的判定，属于基础题.

利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误，利用平面向量数量积的坐标表示

可判断CD选项的正误，利用平面向量的几何意义可判断B选项的正误.

【详解】

对于A选项，五+石=(-1,2)，：2?#1x(-1),则五+方与方不平行，A选项错误；

对于B选项，:五.石=2X(-3)+I?=一5，fa2=10>则五不=-/2,

所以，向量五在向量方上的投影向量为一:近8选项正确；

对于C选项，由已知可得为一石=(5,0)，cos<a,a—b>=°

'|a||a-&|=V15°X5=5

C选项正确；

对于。选项，1々=少_*=0,故五13。选项正确.

55

第20页，共32页

故选：BCD.

12.【答案】ABD

【解析】

【分析】

此题考查平面向量模长，夹角，投影的运算以及两向量平行的判断，属于中档题.

直接依据平面向量模长，夹角，投影的运算方法以及两向量平行的判断方法运算求

解.

【解答】

解：因为五=(2,—4),b=(-6,12)>所以b=—3五.

在A中，因为方=一3五，所以|1|=3|五|，故A正确；

在8中，因为石=一3五，所以五〃石，故8正确；

在C中，因为石=一3方，所以为与方的夹角为180。，故C错误；

在。中，方在讣的投影向量的模为懵x田=|端提4=2%，故力正确,

故选ABD.

13.【答案】BD

【解析】

【分析】本题考查向量数量积的坐标形式的运算，涉及向量夹角、向量的模以及共线

向量和向量垂直的问题，属于基础题.

根据各选项设计相关知识即可判断出结果.

【解答】解：根据题意，a+b=(1,1)>a-b=(-3,1)'

则丘=(一1,1),b=(2,0)>依次分析选项：

对于A，同=&，|石|=2，则|五|=|可不成立，4错误；

对于B,a=(-1,1),c=(1,1),则五1=0,即五13B正确;

对于c，3=(2,0),C=(1,1),另〃下不成立，C错误；

对于£＞,a=(-1,1),b=(2,0)，则五・方=一2，

\a\=V2,\b\=2,贝Ucos。=急=一曰，则6=135。，。正确;

故选：BD.

14.【答案】|

【解析】

【分析】

本题考查向量的夹角，涉及到单位向量，向量的数量枳与模长，属于基础题.

先由题设条件求得|司及五-C,再通过向量的夹角公式计算cos。即可.

【解答】

解：由题同=也|=1,2・।=o,

所以片=（2a-V5b）2=4a2+5K2-4V5a-K=9-

故同=3,

又因为方-c=a-（2a—5/?）=2a2—5a-K=2,方与2的夹角为8,

所以8so=靛=*=|

故答案为|.

15.【答案】(一8,^^)1)(更圣身,1)11(1,+8)

66

【解析】

【分析】

本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量共线，考查向量的夹角等知识，考查一

元二次不等式的解法，属于中档题.在求解时，常因忽略“之+^^与入热+7共线”的情

形致误，出现错误的原因是误认为［工＞°与日,而为锐角等价•先求得五•石，根据

倒+涮・(二+》＞0,结合向量数量积的运算公式进行化简，解不等式求得;I的取

值范围，排除；+应与武+Z共线时4的值，由此求得;I的取值范围.

【解答】

第22页，共32页

解：由题意可知a-b=|a|-bcos60=2x3x|=3.

又r(a+.(4a+b)=Aa2+(22+l)a-b+Ab2>

•••a+Ab+b的夹角为锐角,•1-Aa2+(A2+l)a-b+Xb2>0-

va2=|a|=4,b2—b=9,a•b=3，二3A2+13A+3>0.

解得；I>底-"或入<上恒

66

当；1=1时，2+4,与；13+1共线，其夹角不为锐角，

故；I的取值范围是(—8,±6叵)U(4警，I)U(1,+00).

故填：[8,z22^)u(^f^,l)u(l,+8).

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积运算，夹角.难度一般.由0-2B)_LE，(K-2a)±K.可得

a2=\a\2=2a-b>=|K|2=2a-所以由8s位,b>=焉=$求出位"〉=

n

3,

【解答】

解：由题意得，因为(N-21)，7?，(6-2a)

所以(五一2Z?)•五=£-2胃•/?=()'(^b—2a)-b=b—2a,b=01

即32=|五『=2五.b,fe2=|&|2=2a-

所以=—==,；,

又(3,b)e[0,TT],

所以位"〉=%

故答案为.

17.【答案】：;

【解析】

【分析】

本题考查向量的模，向量的数量积，平面向量的坐标运算，向量的夹角，属于基础

题.

根据条件对|五+2引=/的两边平方即可求出云石=-1，从而可求出

了）-斗，根据向量夹角的范围即可求出夹角.

【解答】

解：•・,方=（1,-1）,・•・I五I=鱼,

v|h|=1,|a+2&|=yj2，

（a+2b）2=苍？+4五•至+4方2

=2+4a-6+4=2,

Aa-b=—1»

二85但为）=9=_于

又o4〈育，了）Ww，

方与冽勺夹角为手.

4

故答案为手.

4

18.【答案】解：（1）因为石=（1,遍），

所以|b|=J124-（V3）2=2，

因为向量弓在向量了方向上的投影为2,

设向量五与方的夹角为。，

所以|司cos。=2,

所以2-b=|a||K|cos0=2x2=4,

v(a—2b)1a»

(a-26)-a=0,

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2

Aa—2a-K=0，

2

Aa=8，贝”为|=2vL

则c°sO=^=¥，

又.../?€[("),

•9

*'4'

.响量日与方的夹角为今

⑵由向量模的计算公式同=后京得：|2方-3=J(2a-K)2=

^4a2-4a-b+b2=<32-16+4=2通.

(3)-c//d>

Ac=Ad，

A3a—4Z?=A(ma4-6),

va>方不共线,

,(3=Am

(-4"

解得m=V

【解析】本题考查向量的数量积，向量的夹角以及向量的模的求法，向量垂直与平行

的判定，向量的投影的求解，属于中档题.

(1)先求出同，再利用向量五在向量至方向上的投影为2,求出五不，由0—2B)_LN得

到同=2或，再利用夹角公式求出两向量：与了的夹角；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模；

(3)由？〃£则存在实数九使得口=4]成立，由此利用向量相等可得参数值.

19.【答案】解：•••4+3石与7日一5石垂直,

•••(a+3b)-(7a-5b)=0，

BP7a2+16a-b-1562=0.①

又•••Z—4石与7五一23垂直，

(a-4K)-(7a-2b)=0-

^7a2-30a-b+8bZ=0-②

①-②整理得2方不=片.③

将③代入①，得为2=才，...同=।司,

A_君行_|5|2_1

I可向21blz2

V0°<9<180°,Ae=60°.

【解析】本题考查求向量的夹角，平面向量垂直的判断，向量的数量积运算.

由向量垂直数量积为0可得，7片+16五7-153=0①，732一30方4+8方=

0②，①一②整理得2五不=加③，将③代入①得|五|=|方根据8$。=靛及

0°<0<180°,求出9的值即可.

20.【答案】解：(1)由五〃方，得x-2x3=0,解得x=6.

由五1落得lx2+2y=0,解得y=—l.

所以石=(3,6),c=(2,-1).

(2)因为沆=2为一石=(一1,一2)，丘=五+万=(3,1),

所以记•n=-1x3—2x1=—5,

|记|=J(_i)2+(-2/=遍,|H|=V32+I2=V10.

所以cosV沆，元>=I

|;m二||n|=V屋5XV'10=一号2

又因为<m,n>€[0,7r].

所以向量记，元的夹角为手.

4

【解析】本题考查了向量的数量积的坐标运算、向量的夹角，考查向量平行、垂直的

性质，属于基础题.

(1)由胃〃J苍_L不可得，x=2x3,2+2y=0,即可求得x、y,从而可得区与乙

(2)先求得沆、元的坐标，设而、云的夹角为。，根据cos。=韶可得cos。=-①，又

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ee[o,柯，即可得而、记的夹角.

21.【答案】解：：单位向量可与器的夹角为a,且cosa=1,向量3=3瓦*-2孩与B=

3瓦•一瓦的夹角为£,

•••|a|2=(3百-2或产

=9百2一I2可•芍+4靖=9+4-12cosa=9，

IaI=3,

同2=(3瓦-动

=9-2x3cosa+1=8,

苍7=(3瓦-2砌・(3区一名)

=9厂-9部•可+2片

=9-9xlxlX-+2=8,

3

cab82V2

-'-cos^=^=^=—

【解析】本题主要考查向量数量积的应用，根据数量积的公式是解决本题的关键.

根据向量数量积的定义和夹角公式，即可得到结论.

22.【答案】解：(I)a-26=(1.2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).

/TTVncP-6石-ix(-3)+2xl__V2

(11)°S'一回..—Jl+(-3)2xV^一10'

(皿)因为向量五+k百与五互相垂直，

所以(五+丁).0-n)=0，BPa2-k2b2=0

因为£=5,b2=10,

所以5-10/=0,解得忆=+也.

-2

【解析】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐

标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于基础题.

(I)利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算.

(n)把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算.

(HI)因为向量方至与z石互相垂直，所以它们的数量积等于o,解方程求得％的

值.

23.【答案】解：设方与石的夹角为0,|a|=V12+22-V5,|b|=Vl+A2>a-b=

(1,2)•(1,4)=1+21

(1)因为方与加的夹角的直角，所以五.3=0，所以1+24=0,所以％=—也

(2)因为方与石的夹角为钝角，所以cos。<0且cos。羊一1,即10且方与石不反向.

由祝-B<0得1+24<0,故由五与石共线得4=2,故为与石不可能反向.

所以;I的取值范围为(一8,-

(3)因为行与方的夹角为锐角，所以cos。>0且cos。41,即方•方>0且有、了不同向.

由五大>(),得4>—点由3与石同向得4=2.

所以;I的取值范围为(一；,2)U(2,+8).

【解析】本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算，求出两个向量的模，进而得到

a-b.

(1)根据两个向量的夹角为直角，即可求出;I的值；

(2)根据两个向量的夹角为钝角，得到cos。的范围，继而得到有关4的不等式，求解即

可：

(3)根据两个向量的夹角为锐角，得到cos。的范围，继而得到有关;I的不等式，求解即

可.

24.【答案】解：(1)根据题意，得前=*四+前)

所以|力『=AD2=^(AB+ACy

1---»2---»---»---»2

=工048+2AB-AC+AC)

12九入

=~(x39+2x3x6xcos—I-6)

43

_27

一~49

.•.|而|=攀

------>...>一•，•■，,1…一一T一，R一…+1-，

(2)BM=AM-AB=^(AB+AC)-AB=-^AB+；AC,

所以|前|2=5X9-[X(-9)+京36=岩,

loololo

从而I询I=竽.

BM-AD=(_：四+^AC)-^(AB+AC)=-|x9-1x(-9)4-ix36=y,

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画吧=27*4*2=历

所以cos。=

\BM\\AD\83V193V319

【解析】本题考查了平面向量的应用问题，利用平面向量的线性运算法则和平面向量

的数量积，求模与夹角，是中档题.

(1)根据题意，利用向量的加法法则，得出而；求出|而|2的值，即得A。的长;

(3)利用平面向量的数量积求出夹角。的余弦值.

25.【答案】解：(1)由题意可知，|五|=2,\b\=6,

a•(K—a)=a-b—a2=2,

则G•b=2+4=6，

设向量五，万的夹角为仇

贝"39=品=羡=%且叱(()力)，

则。：：;.

(2)由(1)可