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文档简介
二次根式单元检测题
一、选择题
1.下列运算,结果正确的是()
A.V5-V3=V2B.34-V2=3V2
C.V64-V2=3D.V6XV2=2V3
2.下列二次根式的运算正确的是()
A.J(-5)2=-5B.8_e
5-2
C.3V5+V5=4V10D.
3.实数a,8在数轴上对应点的位置如图所示,且则化简
必+|a+b|的结果为()
-----1------•-------->
F•4J0b
A.2a+bB.-2G—bC.bD.2a-b
4.下列所给的二次根式中,是最简二次根式的是()
A.V8xB.V%2+4C.-D.-^=
5.若二次根式近二元有意义,且关于x的分式方程4+2=三有正数
1-xX-1
解,则符合条件的整数力的和是()
A.—7B.—6C.—5D.—4
6.已知%=5-2痣,则》2-10*+1的值为()
A.-30V6B.10V6C.-18V6-2D.0
7.若a<0,则|a-3|—而的值为()
A.3B.-3C.3-2aD.2a—3
8.已知a=&—l,b=&+l,则。2+/?2的值为()
A.8B.1C.6D.4V2
9.若旃是整数,则正整数〃的最小值是()
A.4B.5C.6D.7
10.计算(注-8)2。2。.(V2+国)2。21的结果是()
A.V2+V3B.—V3—V2C.V3—V2D.V2—V3
11.估计次(夕+8)的值在哪两个连续整数之间()
A.5和6B.6和7C.7和8D.8和9
二、填空题
12.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,化简下列代数式的值值-
d(c-a+b)2+|b+c|-Vb^=.
IllI>
ah0r
13.要使代数式隹三有意义,则x的取值范围是.
14.与最简二次根式5后口是同类二次根式,则&=______.
15.已知-V5)<0,若b=3-a,则。的取值范围____.
16.当。=____时,最简二次根式/a2-3与,1-3a是同类二次根式.
17.计算巫J红的结果是
V3--------------------
18.已知y=Vx—5+V5—%+4>则.
19.已知(%—y+3)2+J2—y=0,则x+y=
20.观察下列等式:
①3-2迎=(V2-1)2»
②5-2遍=(V3-V2)2.
③7-2V12=(V4-次产,
请你根据以上规律,写出第6个等式.
三、计算题
21.已知%=3vLy=243,求下列各式的值:(1)J/_丫2
⑵出
第2页,共32页
22.计算:V3xV6-^+(V3-2)°-J(1^V2)2.
四、解答题
23.已知a,方分别为等腰三角形的两条边长,且a-b满足b=4+
V3a-6+3yf2^a,求此三角形的周长.
24.已知%=2+国,y=2-国,求%2+%y+y2的值.
25.阅读下面问题:
阅读理解:
近一
11V2—1;
V2+1(V2+l)(®1)
=V3—V2;
V3+\[2(V3+V2)(V3-V2)
遥
11X(-2)V5-2.
V5+2(V5+2)(V5-2)
应用计算:
⑴力的值;
(2)-、屋二行。为正整数)的值.
归纳拓展•(3)-111-…H-------------1-------------的
月制作股.、)1+近在+6V3+V4闻+V99V99+V100nJ
值.
26.如图,已知矩形纸板面积为8a,两邻边之比为3:4,现欲在每个角处
裁下一个面积为a的正方形后,制成一个无盖的纸箱.求制成的纸箱的侧
面积.
27.如图,有一张边长为6Kcm的正方形纸板,现将该纸板的四个角剪掉,
制作一个有底无盖的长方体盒子,剪掉的四个角是面积相等的小正方形,
此小正方形的边长为&cm.求:
(1)剪掉四个角后,制作长方体盒子的纸板的面积;
(2)长方体盒子的体积.
28AABC三边长分别为4、同、V13,求这个三角形的面积,小明同学
在求面积时先画了一个每个小正方形的边长均为1的正方形网格,再在网
格中画出格点各个顶点都在网格的格点上),如图1所示,
第4页,共32页
这样借用网格(不需△ABC的高)就能算出三角形的面积,这种方法叫构造
法.
(1)△ABC的面积为.
(2)若△OPQ的三边长分别为0P=旧、0Q=V29>PQ=V1U,请在图2
的网格中画出△OPQ,使得△OPQ的三个顶点都在格点上,求此三角形的
面积.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:4遍与次不是同类二次根式,不能合并,此选项错误;
A3与我不是同类二次根式,不能合并,此选项错误;
C,V6+V2=+2=V3,此选项错误;
D.y/6x>/2=V3xV2xV2=2百,此选项计算正确;
故选:D.
2.【答案】B
【解析】解:A、原式=5,所以4选项错误;
B、原式=3巨=立,所以B选项正确;
\582
C、原式=4近,所以C选项错误;
。、原式=10x3=30,所以。选项错误.
故选:B.
3.【答案】B
【解析】解:由题意可知:a<-l<b<-a,
••a+b<0,
二原式=\a\—(^a+b)=—a—a—b
=—2a—b,
故选:B.
4.【答案】B
【解析】解:A.辰=2岳,此选项不符合题意;
B.石中是最简二次根式,符合题意;
等,此选项不符合题意;
D;=场,此选项不符合题意;
y/aa
第6页,共32页
故选:B.
5.【答案】D
【解析】解:去分母得,-?n+2(x—l)=3,
解得,久=等,
•••关于x的分式方程产+2=告有正数解,
1-xX-1
m+5、八
---2-->0,
・,・m>—5,
又x=1是增根,当%=1时,里券=1,即?n=-3
vnW3,
v—m有意义,
/.2—m>0,
Am<2,
因此-5<m<2且?nH-3,
・・・m为整数,
・・・瓶可以为-4,-2,-1,0,1,2,其和为一4,
故选:D.
6.【答案】D
【解析】解:当%=5—2遍时,
原式=(5-2V6)2-10x(5-2V6)4-1
=25-20V6+24-50+20A/6+1
=0.
故选:D.
7.【答案】A
【解析】解:・.・aV0,
・,・原式=-(a-3)-\a\
=-Q+3+Q
=3.
故选:A.
8.【答案】C
【解析】解:Q=>J2—1,b=y/2+1,
・•・a+8=2鱼,ab=2—1=1,
:.M+〃=(。+好2_2ab=8—2=6,
故选:C.
9.【答案】D
【解析】解:?V63n=V7x32n=3>/7n»且V7元是整数;
・・.3后是整数,即7及是完全平方数;
・•.九的最小正整数值为7.
故选:D.
因为>/63几是整数,且V63n=,7x32九=3e而,则7〃是完全平方数,满足条件的最
小正整数〃为7.
10.【答案】A
解.:原式=(夜-V3)202°X(V2+V3)202°X(V2+V3))
=[(V2+V3)(V2-V3)]202°x(V2+V3)
=yj24-V3.
故选人
11.【答案】C
【解析】解:V3(V7+V3)=VH+3,
V4<V21<5,
•••7<V21+3<8,
故旧(夕+V5)的值在7和8两个整数之间.
故选:C.
12.【答案】-b
【解析】解::从数轴可知:a<b<0<c,|c|>|a|>|ZJ|,
二原式=\a\-\c-a+b\+\b+c\—b
第8页,共32页
ci-C+Q—b+b+c—b
=.b,
故答案为:—b.
13.【答案】x2:且x71
【解答】
解:由题意可得:2x-1>0,
解得:%>g且xH1.
故答案为:x>g且%。1.
14.【答案】2
【解析】解:・・・ci与最简二次根式5衍I是同类二次根式,且m=2b,
.'.(24-1=3,解得:Q=2.
故答案为2.
15.【答案】3-遍V/?<3
【解析】解:•・,Va(a—V5)<0
・,・历>0,a—V5<0
/.0<a<V5
・•・—V5<—a<0
*,*3—y[sV3-QV3
vb=3—a
•-3—y/5<b<3
故答案为:3-遍Vb<3.
由VH(a-通)V0,及二次根式的非负性,可得。的范围,再利用不等式的性质可得
3-。即b的范围.
16.【答案】一4
【解答】
解:♦・・最简二次根式芯—与是同类二次根式,
a2—3=1—3a,
解得:Q=-4或1.
又,,,a?—330,1—3a>0,
Q=1不成立,应舍去,
故。的值为-4.
故答案为-4.
17.【答案】-1
解:原式=与型=一1,
V3
故答案为-L
18.【答案】2V5
20210624手动选题组卷
第I卷(选择题)
一、单选题(本大题共10小题,共50.0分)
22.设向量落b满足|有|=|b|=1'\3a—2b\=\[7,则五,b的夹角为()
A二C.7D?
23.已知向量落人满足|为|=5,|力|=6'a-b=—6»则cos位,E+b)=()
A.-|iB.C.gD.
24.若|砧=1,|3|=2,且位+3)1五,则方与3的夹角为()
A.%B.冶C.§D.竽或后
25.已知区方均为单位向量,若|4一2石|=百,则向量云与石的夹角为()
A.巳B.=C*D.等
26.已知向量五,石满足|为|=5,|石|=6,a-b=-6>贝kos<苍,a+K>=()
27.若两个非零向量优京黄足|苍+方|=旧—引=2|矶,则向量五+B与五一3的夹角
是()
A.三B.7C.7D.v
6633
28.设向量苍=(x,l),9=(1,—遮),且N_L了,则向量W—8方与石的夹角为()
第10页,共32页
29.点2(3,0)、2(0,3)、C(cosa,疝in)、2(0,0),若|6?+元|=”^,a6(0,〃),
则赤,云的夹角为()
A.7B.C,D,
2436
30.已知五=(3,—1),K=(1,-2).则〉与石的夹角为()
A.7B.TC.7D.7
31.设等边三角形AABC的边长为1,平面内一点M满足前=:方则向量
宿与近夹角的余弦值为()
、.与B.心C.4D.”竺
361219
二、多选题(本大题共3小题,共15.0分)
32.已知向量Z=(2,l),b=(-3,1),乙=(1,一/),贝4()
A.(a+5)〃a
B.向量£在向量E上的投影向量为一;3
C.a与2一刃的夹角余弦值为小
D.a1c
33.如果平面向量3=(2,-4),方=(-6,12),那么下列结论中正确的是()
A.\b\=3|a|B.a//b
C.五与石的夹角为30。D.五在让的投影向量的模为2而
34.已知向量五+石=(1,1),a-b=(-3,1).c=(1,1),设区石的夹角为0,贝版)
A.|a|=\b\B.aleC.b//cD.9=135°
第H卷(非选择题)
三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)
35.已知石为单位向量,且行不=0,若^=2五一为与不的夹角为。,则
cos9=.
36.已知|引=2,出|=3,五与方的夹角为60]若方+,方与;+B的夹角锐角,则实数
久的取值范围为.
37.已知落甜匀为非零向量,仅一2石)1.方,(b-2a)1K,则五,石的夹角为
38.已知平面向量区b满足日=(1,—1),|b|=1'|五+2匕|=&,则为与b的夹角为
四、解答题(本大题共8小题,共96.0分)
39.已知向量为在向量方=(1,6)方向上的投影为2,(a-2h)la.
(1)求向量五与E的夹角;
(2)求|2五一石|的值;
(3)若向量T=3五一4方,d=ma+b>c//d>求刑的值.
40.已知落方都是非零向量,且苍+3另与72一53垂直,为一4日与7五一23垂直,求五
与方的夹角。.
41.已知向量为=(1,2),I=(3,x),c=(2,y),且五〃至,ale.
(1)求方与下;
(2)若沅=21一石,n=a+c,求向量记,元的夹角的大小.
第12页,共32页
42.已知单位向量入与芍是夹角为a,且cosa=1,向量五=3否-2备与石=3&-32
的夹角为孙求/?的余弦值.
43.已知方4=(1,2),b-(—3,1).
(I)求1-2旅
(口)设五石的夹角为。,求cos。的值;
(UI)若向量方+k石与五一k石互相垂直,求k的值.
44.已知五=(1,2),石=(1,4),分别确定实数4的取值范围,使得:
(1)五与方的夹角为直角;
(2)为与方的夹角为钝角:
(3)祝与B的夹角为锐角.
45.在中,AB=3,AC=6,Z.BAC=y,。为边BC的中点,M为中线A。的
中点.
(1)求中线4。的长;
(2)求丽与而的夹角。的余弦值.
46.已知向量苍=(2cosa,2sina),B=(6cos0,6sin0),-B-a-(K-a)=2-
(1)求向量优B的夹角;
(2)若|tZ-石|=3g,求实数f的值.
第14页,共32页
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积,向量的夹角运算,属于基础题.
根据|五-23|=近,㈤=|同=1求出方7,然后代入向量夹角公式计算即可求
解.
【解答】
解:设日与石的夹角为。,
由题意得(3方一2万产=7,
•••9|a|2+4|K|2-12a-K=7)
又|a|=|b|=1,
:.五—b—
2
••|a||K|cos5
即cos0=|.
又。G[0,TT],
n
■n0=-.
故选A.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量夹角余弦值的计算,平面向量数量积的计算和向量模的计算,考查计算
能力,属于中档题.
计算出五.0+3),佰+3的值,即可得解.
【解答】
解:•••|五|=5,|引=6,a-b=-6>
a•(a+K)=|a|2+a-K=52-6=19>
\a+b\=(a+6)2=Ja2+2a-K+K=「25—2=6+36=7,
a-(a+d)_1919
因止匕,cos<a,aA-b>=
|a|-|a+K|-5x735
故选D
3.【答案】C
【解析】解:|五|=1,曰|=2,且位+另)1区
A(a4-K)-a=a2+a-h=0»
•b=—1,
设弓与石的夹角。,则cos"矗=言='
•.・0W0W7T,
A0=—,
3
故选:C.
由他+办1为,结合向量数量积性质可求五不,然后根据向量夹角公式cos。=悬,
代入即可求解.
本题主要考查了平面向量数量积的运算性质的简单应用,属于基础试题.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
由|五一2石|=8,得五2+4片_4力.3=3,设单位向量胃与石的夹角为。,则有
1+4—4860=3,解得<小。=;,进而求出结果..
【解答】
解:Eh|a-2&|=V3»得@一2石y=3,
即片+4片-41•石=3,
设单位向量五与弓的夹角为。,
贝!I有1+4—4co«03,
第16页,共32页
解得cos。—:,
又。e[0,7r],
所以"半
故选B.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积的应用,数量积的运算以及向量的夹角的求法,是中档
题.
利用已知条件求出|W+石],然后利用向量的数量积求解即可.
【解答】
解:向量方,方满足|方|=5,IK|=6>a-b=-6>
可得|a+b[=Ja2+2a-b+b2=V25-12+36=丁
、a(a+b')五,五万
cos<,—a,—Q+7b*>=L:一二=----=-2-5--6=—19.
|a||a+b|5x75x735
故选D.
6.【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查向量的模、夹角、数量积相关知识,属于中档题.
先根据模相等分别得到日7=0及同2=3同2,进一步利用向量的夹角公式计算即可
得解.
【解答】|a+b|=|a—K|,
■•■a2+2a-b+b^='a-2a-b+b^.-.a-b=0.
Xv|a+K|=2|a|,
|a|2+2a-K+|b|2=4|a|2»|K|2=3|a|2.
设五+石与五-弼夹角为0,
则rcE-0+为0-W_同2Tbi__2|五『__1
人「C°SJ-四训五_研-4间2一祠■一一了
又•••。6[0,扪,.•.0=g.
故选D.
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的计算,关键是求出x的值.
根据题意,可得行i=0,解可得x,即可得向量本方的坐标,由向量数量积公式,代
入数据计算可得答案.
【解答】
解:根据题意,设向量日一百方与方的夹角为。,
向量五=(x,1),b~(1,-V3)>
若五1b,则有五,b=x—相=0,解得%=V3,
即方=(V3.1).b=(1,-V3).
则日—屈=(0,4),
则有|方—|h|=2»(a—V3-b=ab—V3b——4y/3,
(a-V3b)b
贝!kosO=
|a-V35||b|一2
又由0<0<n,则6=当6
故选。.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算、数量积以及向量夹角,属于基础题.
利用向量坐标形式进行运算求出。点坐标,然后求出南,灰的夹角的余弦值,最后结
合夹角的范围求出夹角的大小.
【解答】
第18页,共32页
解:,・,A(3,0),O(com.sinc),0(0,0),
/.(TX+OC"(3+cosc,siiMt),\OA+OC|=J(3+cosa)2+sin2a=
V10+6cosa=V13,
1
cosa=",
vaG(0,TT),
a=3r即C(3苧),
而,方夹角余弦值为=强=更,
\OB\\OC\3x12
V砺,灵夹角范围为[0,兀],
赤,元夹角为本
故选D.
9【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了向量的模,向量的夹角和向量的坐标运算,属于基础题.
先由已知向量的坐标求出向量的模,再代入向量的夹角公式得到cos8=立,即可求出
2
夹角.
【解答】
解:设弓与B的夹角为。,
V|aI=710,|K|=V5,a-b=5>
八a-b5\p2
COS3=|a||b|=-xn/l=O~xx~/75==—2,
又。e
五与B的夹角为9
故选B.
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的运算及计算公式,以及向量的数乘运算,属于基础题.
由前T荏+1宿两边平方得|词|=等且荏.前=]禧)2+]布.前=|,
由向量数量积公式求解.
【解答】
解:]俞(=(初)2=(lJe)2+G近)2+2x^XyAB-AC=^,
则丽=尊
2
AB-AM(AB)+萍.正=|,
二向量由7与而夹角的余弦值为:需焉=警.
故选D.
11.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积、夹角、投影向量、向量共线及垂直的判定,属于基础题.
利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误,利用平面向量数量积的坐标表示
可判断CD选项的正误,利用平面向量的几何意义可判断B选项的正误.
【详解】
对于A选项,五+石=(-1,2),:2?#1x(-1),则五+方与方不平行,A选项错误;
对于B选项,:五.石=2X(-3)+I?=一5,fa2=10>则五不=-/2,
所以,向量五在向量方上的投影向量为一:近8选项正确;
对于C选项,由已知可得为一石=(5,0),cos<a,a—b>=°
'|a||a-&|=V15°X5=5
C选项正确;
对于。选项,1々=少_*=0,故五13。选项正确.
55
第20页,共32页
故选:BCD.
12.【答案】ABD
【解析】
【分析】
此题考查平面向量模长,夹角,投影的运算以及两向量平行的判断,属于中档题.
直接依据平面向量模长,夹角,投影的运算方法以及两向量平行的判断方法运算求
解.
【解答】
解:因为五=(2,—4),b=(-6,12)>所以b=—3五.
在A中,因为方=一3五,所以|1|=3|五|,故A正确;
在8中,因为石=一3五,所以五〃石,故8正确;
在C中,因为石=一3方,所以为与方的夹角为180。,故C错误;
在。中,方在讣的投影向量的模为懵x田=|端提4=2%,故力正确,
故选ABD.
13.【答案】BD
【解析】
【分析】本题考查向量数量积的坐标形式的运算,涉及向量夹角、向量的模以及共线
向量和向量垂直的问题,属于基础题.
根据各选项设计相关知识即可判断出结果.
【解答】解:根据题意,a+b=(1,1)>a-b=(-3,1)'
则丘=(一1,1),b=(2,0)>依次分析选项:
对于A,同=&,|石|=2,则|五|=|可不成立,4错误;
对于B,a=(-1,1),c=(1,1),则五1=0,即五13B正确;
对于c,3=(2,0),C=(1,1),另〃下不成立,C错误;
对于£>,a=(-1,1),b=(2,0),则五・方=一2,
\a\=V2,\b\=2,贝Ucos。=急=一曰,则6=135。,。正确;
故选:BD.
14.【答案】|
【解析】
【分析】
本题考查向量的夹角,涉及到单位向量,向量的数量枳与模长,属于基础题.
先由题设条件求得|司及五-C,再通过向量的夹角公式计算cos。即可.
【解答】
解:由题同=也|=1,2・।=o,
所以片=(2a-V5b)2=4a2+5K2-4V5a-K=9-
故同=3,
又因为方-c=a-(2a—5/?)=2a2—5a-K=2,方与2的夹角为8,
所以8so=靛=*=|
故答案为|.
15.【答案】(一8,^^)1)(更圣身,1)11(1,+8)
66
【解析】
【分析】
本小题主要考查向量数量积的运算,考查向量共线,考查向量的夹角等知识,考查一
元二次不等式的解法,属于中档题.在求解时,常因忽略“之+^^与入热+7共线”的情
形致误,出现错误的原因是误认为[工>°与日,而为锐角等价•先求得五•石,根据
倒+涮・(二+》>0,结合向量数量积的运算公式进行化简,解不等式求得;I的取
值范围,排除;+应与武+Z共线时4的值,由此求得;I的取值范围.
【解答】
第22页,共32页
解:由题意可知a-b=|a|-bcos60=2x3x|=3.
又r(a+.(4a+b)=Aa2+(22+l)a-b+Ab2>
•••a+Ab+b的夹角为锐角,•1-Aa2+(A2+l)a-b+Xb2>0-
va2=|a|=4,b2—b=9,a•b=3,二3A2+13A+3>0.
解得;I>底-"或入<上恒
66
当;1=1时,2+4,与;13+1共线,其夹角不为锐角,
故;I的取值范围是(—8,±6叵)U(4警,I)U(1,+00).
故填:[8,z22^)u(^f^,l)u(l,+8).
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量数量积运算,夹角.难度一般.由0-2B)_LE,(K-2a)±K.可得
a2=\a\2=2a-b>=|K|2=2a-所以由8s位,b>=焉=$求出位"〉=
n
3,
【解答】
解:由题意得,因为(N-21),7?,(6-2a)
所以(五一2Z?)•五=£-2胃•/?=()'(^b—2a)-b=b—2a,b=01
即32=|五『=2五.b,fe2=|&|2=2a-
所以=—==,;,
又(3,b)e[0,TT],
所以位"〉=%
故答案为.
17.【答案】:;
【解析】
【分析】
本题考查向量的模,向量的数量积,平面向量的坐标运算,向量的夹角,属于基础
题.
根据条件对|五+2引=/的两边平方即可求出云石=-1,从而可求出
了)-斗,根据向量夹角的范围即可求出夹角.
【解答】
解:•・,方=(1,-1),・•・I五I=鱼,
v|h|=1,|a+2&|=yj2,
(a+2b)2=苍?+4五•至+4方2
=2+4a-6+4=2,
Aa-b=—1»
二85但为)=9=_于
又o4〈育,了)Ww,
方与冽勺夹角为手.
4
故答案为手.
4
18.【答案】解:(1)因为石=(1,遍),
所以|b|=J124-(V3)2=2,
因为向量弓在向量了方向上的投影为2,
设向量五与方的夹角为。,
所以|司cos。=2,
所以2-b=|a||K|cos0=2x2=4,
v(a—2b)1a»
(a-26)-a=0,
第24页,共32页
2
Aa—2a-K=0,
2
Aa=8,贝”为|=2vL
则c°sO=^=¥,
又.../?€[("),
•9
*'4'
.响量日与方的夹角为今
⑵由向量模的计算公式同=后京得:|2方-3=J(2a-K)2=
^4a2-4a-b+b2=<32-16+4=2通.
(3)-c//d>
Ac=Ad,
A3a—4Z?=A(ma4-6),
va>方不共线,
,(3=Am
(-4"
解得m=V
【解析】本题考查向量的数量积,向量的夹角以及向量的模的求法,向量垂直与平行
的判定,向量的投影的求解,属于中档题.
(1)先求出同,再利用向量五在向量至方向上的投影为2,求出五不,由0—2B)_LN得
到同=2或,再利用夹角公式求出两向量:与了的夹角;
(2)利用向量模的平方等于向量的平方可求得向量的模;
(3)由?〃£则存在实数九使得口=4]成立,由此利用向量相等可得参数值.
19.【答案】解:•••4+3石与7日一5石垂直,
•••(a+3b)-(7a-5b)=0,
BP7a2+16a-b-1562=0.①
又•••Z—4石与7五一23垂直,
(a-4K)-(7a-2b)=0-
^7a2-30a-b+8bZ=0-②
①-②整理得2方不=片.③
将③代入①,得为2=才,...同=।司,
A_君行_|5|2_1
I可向21blz2
V0°<9<180°,Ae=60°.
【解析】本题考查求向量的夹角,平面向量垂直的判断,向量的数量积运算.
由向量垂直数量积为0可得,7片+16五7-153=0①,732一30方4+8方=
0②,①一②整理得2五不=加③,将③代入①得|五|=|方根据8$。=靛及
0°<0<180°,求出9的值即可.
20.【答案】解:(1)由五〃方,得x-2x3=0,解得x=6.
由五1落得lx2+2y=0,解得y=—l.
所以石=(3,6),c=(2,-1).
(2)因为沆=2为一石=(一1,一2),丘=五+万=(3,1),
所以记•n=-1x3—2x1=—5,
|记|=J(_i)2+(-2/=遍,|H|=V32+I2=V10.
所以cosV沆,元>=I
|;m二||n|=V屋5XV'10=一号2
又因为<m,n>€[0,7r].
所以向量记,元的夹角为手.
4
【解析】本题考查了向量的数量积的坐标运算、向量的夹角,考查向量平行、垂直的
性质,属于基础题.
(1)由胃〃J苍_L不可得,x=2x3,2+2y=0,即可求得x、y,从而可得区与乙
(2)先求得沆、元的坐标,设而、云的夹角为。,根据cos。=韶可得cos。=-①,又
第26页,共32页
ee[o,柯,即可得而、记的夹角.
21.【答案】解::单位向量可与器的夹角为a,且cosa=1,向量3=3瓦*-2孩与B=
3瓦•一瓦的夹角为£,
•••|a|2=(3百-2或产
=9百2一I2可•芍+4靖=9+4-12cosa=9,
IaI=3,
同2=(3瓦-动
=9-2x3cosa+1=8,
苍7=(3瓦-2砌・(3区一名)
=9厂-9部•可+2片
=9-9xlxlX-+2=8,
3
cab82V2
-'-cos^=^=^=—
【解析】本题主要考查向量数量积的应用,根据数量积的公式是解决本题的关键.
根据向量数量积的定义和夹角公式,即可得到结论.
22.【答案】解:(I)a-26=(1.2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0).
/TTVncP-6石-ix(-3)+2xl__V2
(11)°S'一回..—Jl+(-3)2xV^一10'
(皿)因为向量五+k百与五互相垂直,
所以(五+丁).0-n)=0,BPa2-k2b2=0
因为£=5,b2=10,
所以5-10/=0,解得忆=+也.
-2
【解析】本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,两个向量坐
标形式的运算,两个向量夹角公式的应用,属于基础题.
(I)利用两个向量坐标形式的加减运算法则,进行运算.
(n)把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算.
(HI)因为向量方至与z石互相垂直,所以它们的数量积等于o,解方程求得%的
值.
23.【答案】解:设方与石的夹角为0,|a|=V12+22-V5,|b|=Vl+A2>a-b=
(1,2)•(1,4)=1+21
(1)因为方与加的夹角的直角,所以五.3=0,所以1+24=0,所以%=—也
(2)因为方与石的夹角为钝角,所以cos。<0且cos。羊一1,即10且方与石不反向.
由祝-B<0得1+24<0,故由五与石共线得4=2,故为与石不可能反向.
所以;I的取值范围为(一8,-
(3)因为行与方的夹角为锐角,所以cos。>0且cos。41,即方•方>0且有、了不同向.
由五大>(),得4>—点由3与石同向得4=2.
所以;I的取值范围为(一;,2)U(2,+8).
【解析】本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算,求出两个向量的模,进而得到
a-b.
(1)根据两个向量的夹角为直角,即可求出;I的值;
(2)根据两个向量的夹角为钝角,得到cos。的范围,继而得到有关4的不等式,求解即
可:
(3)根据两个向量的夹角为锐角,得到cos。的范围,继而得到有关;I的不等式,求解即
可.
24.【答案】解:(1)根据题意,得前=*四+前)
所以|力『=AD2=^(AB+ACy
1---»2---»---»---»2
=工048+2AB-AC+AC)
12九入
=~(x39+2x3x6xcos—I-6)
43
_27
一~49
.•.|而|=攀
------>...>一•,•■,,1…一一T一,R一…+1-,
(2)BM=AM-AB=^(AB+AC)-AB=-^AB+;AC,
所以|前|2=5X9-[X(-9)+京36=岩,
loololo
从而I询I=竽.
BM-AD=(_:四+^AC)-^(AB+AC)=-|x9-1x(-9)4-ix36=y,
第28页,共32页
画吧=27*4*2=历
所以cos。=
\BM\\AD\83V193V319
【解析】本题考查了平面向量的应用问题,利用平面向量的线性运算法则和平面向量
的数量积,求模与夹角,是中档题.
(1)根据题意,利用向量的加法法则,得出而;求出|而|2的值,即得A。的长;
(3)利用平面向量的数量积求出夹角。的余弦值.
25.【答案】解:(1)由题意可知,|五|=2,\b\=6,
a•(K—a)=a-b—a2=2,
则G•b=2+4=6,
设向量五,万的夹角为仇
贝"39=品=羡=%且叱(()力),
则。::;.
(2)由(1)可
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