高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)22三角函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)(原卷版+解析)

常考题型22三角函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心对称轴方程无递增区间递减区间无2.三角函数的周期性函数周期函数周期函数()()()周期(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数()的最小正周期均为．1.三角函数的奇偶性三角函数取何值为奇函数取何值为偶函数()()()()()(1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；(2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；(3)函数是奇函数⇔()．2.三角函数的对称性(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(3)函数的图象的对称中心由)解得．3.由的图象变换得到(，)的图象的两种方法先平移后伸缩先伸缩后平移探究一：正、余弦、正切函数的图像与性质已知函数满足关系式，其中，，则在区间内至少有（

）个零点.A．4 B．6 C．7 D．9思路分析：思路分析：由函数对称性的定义可得，函数的图像关于点对称，关于直线对称；求得周期的最大值为，再结合三角函数的图像及其性质即可求解.【变式练习】1．函数与的图象交于两点，为坐标原点，则的面积为（

）A． B．C． D．2．下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（

）A． B． C． D．探究二：三角函数的周期性若函数的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：由题意化简，由函数的最小正周期为1求出，再由三角函数的性质即可得出答案.【变式练习】1．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．函数的最小正周期是（

）A． B． C．π D．2π探究三：三角函数的单调性关于函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则的最小值为B．函数在区间上单调递减C．函数的图象与轴的交点为D．点为函数图象的一个对称中心思路分析：思路分析：由正弦函数的图象与性质逐一判断即可【变式练习】1．下列三个函数中具有性质：，当时，的函数个数（

）①；②；③（，为常数）.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．探究四：三角函数的奇偶性已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（

）A．奇函数且它的图象关于点对称 B．奇函数且它的图象关于点对称C．偶函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点对称思路分析：思路分析：由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断【变式练习】1．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（

）A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为1 D．偶函数，最大值为12．下列函数中既在上为严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数是（

）A． B．C． D．探究五：三角函数的图像变换函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度思路分析：思路分析：先利用“五点法”，由图像求得的解析式，再利用三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式即可求得答案.【变式练习】1．函数，给出下列四个命题：①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；④若，则的值域是其中，正确的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度一、单选题1．下列函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增的是（

）A． B． C． D．2．函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．3．函数与函数的图像的交点个数是（

）A．3 B．6 C．7 D．94．函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（

）A． B．C． D．5．下列结论中，错用基本不等式做依据的是（

）A．a，b均为负数，则． B．．C．． D．．6．已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（

）A． B． C． D．7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．函数是偶函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递增区间是8．定义在上的偶函数在上是减函数，已知，是锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．不能确定二、多选题9．已知函数给出下列四个说法，以下正确的是：（

）A．B．若，则；C．在区间上单调递增；D．的图象关于点成中心对称.10．设函数（，是常数，）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（

）A．的周期为B．的单调递减区间为C．的对称轴为D．的图象可由的图象向左平移个单位得到11．已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有(

)A．对任意的，都有B．将函数的图象向左平移个单位，可以得到偶函数C．函数在区间上是减函数D．“函数取得最大值”的一个充分条件是“”12．气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，如图，则（

）A．B．函数的最小正周期为C．，D．若是偶函数，则的最小值为2三、填空题13．函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为____________________14．下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为___________.15．函数（）的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数__．16．下列命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则；②若锐角满足，则；③若，则对恒成立；④要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位．其中是真命题的有_________（填正确命题序号）．四、解答题17．已知，(1)求的周期；(2)求的值域；(3)求的单调递增区间．18．已知函数(1)求函数最小正周期(2)当时，求函数最大值及相应的x的值19．已知函数(1)求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；(2)求函数在上的值域．20．已知向量，函数.(1)求的单调递减区间；(2)把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的解析式及其最小正周期..21．设函数，，函数，，.(1)当函数是奇函数，求；(2)证明是严格增函数；(3)当是奇函数时，解关于的不等式.22．已知函数为奇函数，且当时，.(1)求f（x）的解析式；(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值.常考题型22三角函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心对称轴方程无递增区间递减区间无2.三角函数的周期性函数周期函数周期函数()()()周期(1)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．(2)函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．(3)函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数()的最小正周期均为．1.三角函数的奇偶性三角函数取何值为奇函数取何值为偶函数()()()()()(1)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；(2)函数是奇函数⇔()，是偶函数⇔()；(3)函数是奇函数⇔()．2.三角函数的对称性(1)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(2)函数的图象的对称轴由()解得，对称中心的横坐标由()解得；(3)函数的图象的对称中心由)解得．3.由的图象变换得到(，)的图象的两种方法先平移后伸缩先伸缩后平移探究一：正、余弦、正切函数的图像与性质已知函数满足关系式，其中，，则在区间内至少有（

）个零点.A．4 B．6 C．7 D．9思路分析：思路分析：由函数对称性的定义可得，函数的图像关于点对称，关于直线对称；求得周期的最大值为，再结合三角函数的图像及其性质即可求解.答案：C【详解】由题意得，，可知函数的图像关于点对称，又有可得函数关于直线对称，根据正弦函数的周期性，其周期的最大值为，此时有，（），因为，，所以，；即或，所以或；令，得（），即（），由题意得：，解得，，所以，共有个值，即或在内存在个零点.当周期缩小时，对应的零点数必增多，所以在至少有个零点，故选：C.【变式练习】1．函数与的图象交于两点，为坐标原点，则的面积为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】令，，解得：或（舍），，或，则或，不妨令，，则关于点对称，.故选：A.2．下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】解：①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，但不是周期函数，排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期是，②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.故选：B.探究二：三角函数的周期性若函数的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：由题意化简，由函数的最小正周期为1求出，再由三角函数的性质即可得出答案.答案：B【详解】，因为函数的最小正周期为1，所以，所以，所以，令，所以，令，图象的一个对称中心为.故选：B.【变式练习】1．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数x为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【详解】解析：由图可知，即，所以．由五点法可得，即．所以．因为，所以由，得或．因为，所以满足题意的最小正整数x为2，故选:B．2．函数的最小正周期是（

）A． B． C．π D．2π答案：C【详解】，由，得且可得函数的最小正周期，但是，当时，，无意义，所以，又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内.所以函数的最小正周期.故选：C.探究三：三角函数的单调性关于函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则的最小值为B．函数在区间上单调递减C．函数的图象与轴的交点为D．点为函数图象的一个对称中心思路分析：思路分析：由正弦函数的图象与性质逐一判断即可答案：D【详解】对于A：由，可知，，又，故一个是最大值一个是最小值，所以，所以时，则的最小值为，故A错误；对于B：当时，，因为在上不单调，故B错误；对于C：令，则，所以函数的图象与轴的交点为，故C错误；对于D：若点为函数图象的一个对称中心，则，而当时，，所以点为函数图象的一个对称中心，故D正确；故选：D【变式练习】1．下列三个函数中具有性质：，当时，的函数个数（

）①；②；③（，为常数）.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：C【详解】对于①，函数，开口向上，令，解得，故当时，，故①符合题意；对于②，函数，由当时，，则不存在，当时，，故②不符合题意；对于③，函数，当时，在上恒成立；当时，该函数的定义域为，取且，在上恒成立；故③符合题意.故选：C.2．函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．答案：B【详解】令，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B.探究四：三角函数的奇偶性已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（

）A．奇函数且它的图象关于点对称 B．奇函数且它的图象关于点对称C．偶函数且它的图象关于点对称 D．偶函数且它的图象关于点对称思路分析：思路分析：由题意先求出的最简形式，即可得到函数，再根据三角函数性质对选项逐一判断答案：A【详解】，其中，若在处取得最小值，则，所以即，所以，所以，可得函数是奇函数，且图象关于点对称．故选：A【变式练习】1．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（

）A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为1 D．偶函数，最大值为1答案：D【详解】解：函数，又，所以，所以该函数为偶函数，又所以当即时，取最大值1．故选：D．2．下列函数中既在上为严格增函数，又是以为最小正周期的偶函数是（

）A． B．C． D．答案：C【详解】对于选项A，为奇函数，故A错误；对于选项B，，当时，，根据余弦函数性质知单调递减，故B错误；对于选项C，，当时，单调递增，且是的偶函数，故C正确；对于选项D，的周期，故D错误.故选：C.探究五：三角函数的图像变换函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度思路分析：思路分析：先利用“五点法”，由图像求得的解析式，再利用三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式即可求得答案.答案：D【详解】由图像可知，的最小值为，又，所以，因为，所以，所以，从而，将代入，得，故，得，又，所以，所以，对于A，将的图象向右平移个单位长度得到，故A错误；对于B，将的图象向右平移个单位长度得到，故B错误；对于C，将的图象向左平移个单位长度得到，故C错误；对于D，将的图象向左平移个单位长度得到，故D正确.故选：D.【变式练习】1．函数，给出下列四个命题：①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；④若，则的值域是其中，正确的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B【详解】，求函数的单调减区间：由，得，时，有在区间上是减函数，①正确；求函数的对称轴：由，得，时，是函数图像的一条对称轴，②正确；由向左平移个单位后得到，③不正确；当时，，有，所以的值域为，④不正确．故正确的是①②，正确的命题个数是2个.故选：B2．已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度答案：D【详解】因为是奇函数，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以可把函数的图象向右平移个单位长度.故选：D.一、单选题1．下列函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增的是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】对于A，因为幂函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数，故A错误；对于B，因为在上单调递减，显然不满足题意，故B错误；对于C，令，易知的定义域为，关于原点对称，又，所以是定义域为的偶函数，又由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C正确；对于D，因为在处没有意义，所以其定义域不为，故D错误.故选：C.2．函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．答案：B【详解】因为，所以求单调减区间等价求单调增区间，因为，所以所以单调减区间为故选：B3．函数与函数的图像的交点个数是（

）A．3 B．6 C．7 D．9答案：C【详解】的最小正周期是，，时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点，故选：C．4．函数在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（

）A． B．C． D．答案：A【详解】解：由函数图象可得，因为，所以，所以，由函数过点，可得，所以，，即，，因为，所以，所以.故选：A5．下列结论中，错用基本不等式做依据的是（

）A．a，b均为负数，则． B．．C．． D．．答案：C【详解】对于A，因为a，b均为负数，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故A不符合要求；对于B，易知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故B不符合要求；对于C，当时，，显然是因为不满足“一正”导致的错误，故C符合要求；对于D，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D不符合要求.故选：C．6．已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（

）A． B． C． D．答案：D【详解】画出函数与的图象如图所示，由，可得，得，得或（舍去），又，所以或．所以，．根据函数图象的对称性可得的中点，所以，故选：D．7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．函数是偶函数B．函数的图象的一条对称轴方程为C．函数的图象的一个对称中心为D．函数在上单调递增区间是答案：B【详解】由题可得，由，可得为奇函数，故A不正确；当时，，所以函数的图象的一条对称轴方程为，故B正确；由，当时，，所以不是函数的图象的一个对称中心，故C不正确；当时，，所以函数在上单调递减，故D不正确.故选：B.8．定义在上的偶函数在上是减函数，已知，是锐角三角形的两个内角，则与的大小关系是（

）A． B．C． D．不能确定答案：A【详解】因为，是锐角三角形的两个内角，所以，即，而函数在上单调递增，所以.由题意，根据偶函数的对称性可知在上单调递增，所以.故选：A二、多选题9．已知函数给出下列四个说法，以下正确的是：（

）A．B．若，则；C．在区间上单调递增；D．的图象关于点成中心对称.答案：AC【详解】对于A项，的周期为，又因为为奇函数.,所以A正确.对于B项，，所以的周期为，若，则.又关于对称并且的周期为,所以的对称轴为：若，则,所以B不正确.对于C项，当，，根据复合函数的单调性在单调递增,所以C正确.对于D项，若的图像关于点成中心对称则验证所以D项不正确.故选：AC10．设函数（，是常数，）若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（

）A．的周期为B．的单调递减区间为C．的对称轴为D．的图象可由的图象向左平移个单位得到答案：BD【详解】解：函数，是常数，，，若在区间上具有单调性，则，．，则的图象关于点对称，的图象关于直线对称，，①，且，．两式相减，可得，故或（舍去）．当时，则由①可得，．综上，．故它的周期为，故A错误；令，求得，可得函数的减区间为，故B正确．令，求得，，故的对称轴为直线，，故C错误；由的图象向左平移个单位得到函数的图象，故D正确，故选：BD．11．已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有(

)A．对任意的，都有B．将函数的图象向左平移个单位，可以得到偶函数C．函数在区间上是减函数D．“函数取得最大值”的一个充分条件是“”答案：BCD【详解】，当时，，所以不关于对称，故A错误；函数图象向左平移个单位，得函数，是偶函数，故B正确；当，则，函数单调递减，故C正确；当时，，所以，函数取得最大值，故D正确.故选：BCD12．气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，如图，则（

）A．B．函数的最小正周期为C．，D．若是偶函数，则的最小值为2答案：ACD【详解】根据题图可知，所以，根据题图可知，B选项错误．，，又因为，所以，因为，所以，所以，A选择正确．，，所以，C选项正确．是偶函数，所以，，，所以当时，取得最小值2，D选项正确.故选ACD．三、填空题13．函数的图像与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，，，则的取值范围为____________________答案：【详解】解：由题意上，那么上，则当时，；当时，；当时，；且如下为函数在上的图象：直线在与有三个交点，则，不妨设，根据三角函数的图象及性质，可得，关于直线对称，而，那么，的取值范围．故选答案为：．14．下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为___________.答案：①②【详解】记，则函数的定义域为，且，所以为偶函数，因为，所以为函数的周期，若为函数的周期，则，，矛盾，所以为函数的最小正周期，所以函数满足要求，记，则，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，又函数的最小正周期为，所以函数满足要求，记，则，所以函数的定义域为，且，函数不满足要求，故答案为：①②.15．函数（）的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则函数__．答案：【详解】由函数图象可知，，将代入函数解析式得，则，由于，所以，即，将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则，故答案为：16．下列命题：①若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则；②若锐角满足，则；③若，则对恒成立；④要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位．其中是真命题的有_________（填正确命题序号）．答案：②【详解】对于①，当时，，此时，①错误；对于②，由可得，又，则，又在上单调递增，则，即，②正确；对于③，，则，③错误；对于④，将的图象向右平移个单位得到，④错误.故答案为：②.四、解答题17．已知，(1)