人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第5课时）》示范教学课件

锐角三角函数（第5课时）人教版九年级数学下册

1．如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°．

sinA＝____________＝____；

cosA＝____________＝____；

tanA＝____________＝____．ACB斜边c对边a邻边

b

2．将30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：

锐角A锐角三角函数30°45°60°sinAcosAtanA1类型一、非特殊角的三角函数值在生活中的应用ABODCE

1．下图是一个半圆形桥洞截面的示意图，圆心为

O，直径

AB是河底线，弦

CD是水位线，CD∥AB，且

CD＝24

m，OE⊥CD于点

E．已测得

sin∠DOE＝

．（1）求

AB的长；（2）根据需要，水面要以

0.5

m/h的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ABODCE

解：（1）∵OE⊥CD于点

E，CD＝24

m，

∴ED＝

CD＝12（m）．在

Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝

＝

，

∴OD＝

＝13（m），

∴AB＝26（m）．（2）在Rt△DOE中，OE＝

＝

＝5，

∴将水排干需5÷0.5＝10（h）．答：经过10

h才能将水排干．ABDCEFα

2．CD是挂在墙上的一幅画，高为

1.5

m．画的下端与地面之间的距离

DE为

2.5

m，一个高

1.6

m的人在距离墙

1.2

m处看画，求此人的视角

α的正切值．

解：由题意，得

AF＝1.2

m，DF＝2.5－1.6＝0.9（m），∴AD＝

＝1.5（m），∴CD＝AD，∴α＝∠C，在

Rt△AFC中，tan

C＝

＝

＝

，∴视角

α的正切值为

．

3．如图，在离地面

5

m的点

C处引拉线固定电线杆，拉线与地面成

60°角，求拉线

AC的长以及拉线下端点

A与杆底

D的距离

AD（结果保留根号）．类型二、特殊角的三角函数值在生活中的应用

解：在

Rt△ADC中，∵sin∠CAD＝

，tan∠CAD＝

，

∴AC＝

＝

＝

（m），

AD＝

＝

＝

（m）．答：拉线

AC的长是

m，拉线下端点

A与杆底

D的距离

AD是

m．类型二、特殊角的三角函数值在生活中的应用

4．在数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含

45°的三角板的斜边与含

30°的三角板的长直角边相等．于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点

B，C，E在同一直线上，若

BC＝2，求

AF（结果保留根号）．

解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，tan

A＝

，

∴AC＝

＝2，

∴EF＝AC＝2．在Rt△CEF中，∠E＝45°，sin

E＝

，

∴FC＝EF·sin45°＝

，

∴AF＝AC－FC＝2－

．类型三、构造直角三角形解决实际问题

5．如图，△ABC表示某中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮的售价为

a元/m2，则购买这种草皮至少花费多少元？

解：如图，作

BA边的高

CD，与

BA的延长线交于点

D．

∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°．

∵在

Rt△ADC中，AC＝30

m，sin∠DAC＝

，

∴CD＝AC·sin∠DAC＝15（m），

∵AB＝20

m，

∴S△ABC＝

AB·CD＝×20×15＝150（m2）．

∵这种草皮的售价为

a元/m2，

∴购买这种草皮至少需要

150a元．D

6．如图，在相距

100

m的

A，B两处观测工厂

C，测得∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，求

A，B两处到工厂

C的距离．

解：如图，过点C作

CD⊥AB于点

D．在

Rt△ACD中，∠A＝60°，tan

A＝

，∴CD＝AD·tan

60°＝

AD．在

Rt△BCD中，∠B＝45°，∴BD＝CD＝

AD．又

AB＝100

m，

∴AD＋BD＝AD＋

AD＝100，D解得

AD＝50(－1)m，∴BD＝CD＝50(3－

)m．在Rt△ACD中，∠A＝60°，cos

A＝

，∴AC＝100(－1)m．在Rt△BCD中，∠B＝45°，cos

B＝

，∴BC＝50(3－

)m．故

A，B两处到工厂

C的距离分别为

100(－1)m，50(3－

)m．归纳（1）在作垂线构造直角三角形时，不要破坏特殊角（30°，45°，60°）的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线．（2）当题目中出现150°，120°，105°，75°等角度时，要通过“割补”法，把这些角度转化为30°，45°，60°，再利用这些角的三角函数值解决问题．ABCD

7．如图，一块三角形的草地，其中

BC＝10

m，tan

B＝2，tan

C＝

，试求这块草地的面积．

解：如图，过点

A作

AD⊥BC于点

D．

∵tan

B＝2，∴

＝2．

∵tan

C＝

，∴

＝

．则设

AD＝x，则

BD＝

x，DC＝2x，故

x＋2