人教版 数学 八年级上册 全册 期末复习资料 练习

（第8题图）

8.如图，在△48C中，AB=AC,。为CA延长线上一点，OE_LBC,交线段48于点F.

请找出一组相等的线段（4B=4C除外）并加以证明.

解：AQ=AF.证明如下：

'：AB=AC,NB=NC.

'.'DE-LBC,

：.ZB+ZBFE=ZC+ZD=90",

，NBFE=ND.

VZBFE=4DFA,

：.NDFA=ND,

：.AF=AD.

拓展提高

（第9题图）

9.如图，AABC是等边三角形，点P是NA8C的平分线BO上一点，PELAB于点E,

线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为。.若BF=2,则PE的长为（B）

A.2B.小

C.2巾D.3

10.已知等腰AABC中，AQLBC于点。，且AQ=，｝C,则AABC底角的度数为（D）

A.45°B.75°

C.60°D.45°或75°

11.在平面直角坐标系中，点A（也，也），8（3吸，3巾）,动点C在x轴上，若以A,

B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（B）

A.2B.3

C.4D.5

12.如图，等腰△A8C纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B

AD

E/H\f

Itc

(第13题图)

13.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,N4BC与/。C8的平分线相交于点H,过H

作的平分线交4B于E,交CD于F.若BE=3,CF=2,则EF=5.

14.如图，已知/AOB=a,在射线0A,。8上分别取点OA=OBi,连结A8,在囱4

BB上分别取点A，&，使8出2=814,连结A山2，…,按此规律下去，记NA山|&=4，

AAzBzBy—Oi，-,ZAnB„Bn+i—On,则：

15.在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架.若API=P/2=P2P3=一

=P13Pl4=PiS，则NA的度数是12。.

16.如图，/B0C=9°,点A在OB上，且0A=1,按下列要求画图：

以点A为圆心，1为半径向右画弧交0C于点4,得第1条线段A4；

再以点4为圆心，1为半径向右画弧交0B于点A2,得第2条线段AM2；

再以点4为圆心，1为半径向右画弧交0C于点A3,得第3条线段AM3；

这样画下去，直到得第〃条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则“=_2

C

小

。4A,48(第16题图))

17.如图，己知点4(3,0),8(0,4),C为x轴上一点.

⑴画出等腰三角形A8C.

(2)求出C点的坐标.

解：⑴如解图.

(2)①当A是顶点时，G(—2,0),C2(8,0),

②当8是顶点时，C3(-3,0)

③当C是顶点时，c4(-j,o)

(第18题图)

18.如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为，BE1AC,垂足为£,Af为AB边的中点,

连结例E,MD,ED.

(1)求证：△〃区＞为等腰三角形.

(2)求证：NEMD=2NDAC.

解：(1)证明：为48边的中点，ADA.BC,BE±AC,

：.ME=^AB,MD=^AB,

:.ME=MD,

：.AM£D为等腰三角形.

(T)'：ME=^AB=MA,

：.ZMAE^ZMEA,

：.NBME=2NMAE.

同理，MD=^AB=MA,

：.NMAD=NMDA,

：.NBMD=2NMAD,

：.NEMD=ZBME-/BMD=2NMAE-2NMAD=2NDAC.

19.如图，已知点。为等腰直角AABC内一点，ZCAD=ZCBD=\5°,E为A力延长

线上的一点，且CE=CA.

(1)求证：DE平分NBDC.

(2)若点M在OE上，且。C=OM,求证：ME=BD.

解：(1)证明：：△ABC为等腰RtZ\,

：.AC=BC,NC4B=NCBA=45°.

:NCAD=NCBD=15°,

，NBAO=/A8Q=45°—15°=30°,：.BD=AD.

又；CA=CB,：.△BDC^△AOC(S45).

ZDCA=ZDCB.

又,.,NACB=90°,NCCA=NOCB=45°.

:NBDE=NABD+NBAD=30°+30°=60°,ZEDC=ZDAC+ZDCA=150+45°

=60°,

ZBDM=ZEDC.：.QE平分/BDC.

(第19题图解)

(2)如解图，连结MC

"：DC=DM,且/MZ)C=60°,

...△MQC是等边三角形，

：.CM=CD.

又；NEMC=180°-ZDMC=180°-60°=120°,

ZADC=1800-ZMDC=180°-60°=120°,

二NEMC=ZADC.

又：CE=CA,.,.NA4C=/CEM=15°.

Z./\ADC^△EMC(AAS).：.ME=AD=BD.

专题练习：全等三角形

基础训练

1.如图，已知NA8C=NZ)C8,下列所给条件不能证明△ABC丝△OCB的是(D)

(第1题图)

A.ZA=ZD

B.AB=DC

C.NACB=NDBC

D.AC^BD

2.下列说法正确的是(D)

A.两个等边三角形一定全等

B.腰对应相等的两个等腰三角形全等

C.形状相同的两个三角形全等

D.全等三角形的面积一定相等

3.如图，正方形ABC。中，点E是AO边中点，BD,CE交于点H,BE,AH交于点

G,则下列结论：①AG_LBE；②BG=4GE；③SABHE=SACHD;④NA”B=其中正确

的个数是(D)

A.1B.2

C.3D.4

（第3题图）

4.如图，G,E分别是正方形ABCC的边AB,8c上的点，且AG=CE,AELEF,AE

=EF,现有如下结论：①BE=gGE；②△AGE94ECF；③NFCQ=45°；®/\GBE^/\ECH.

其中，正确的结论有（B）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

（第4题图）

5.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等，从P”B，尸3,居

四个点中找出符合条件的点尸,则点尸有（C）

（第5题图）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

6.如图，已知点B,C,F,E在同一直线上，Z1=Z2,BC=EF,要使aABC丝△£）《下,

还需添加一个条件，这个条件可以是CA=U＞（不唯一）（只需写出一个即可）.

（第6题图）

7.如图，己知△A8C岭△4OE,若48=7,AC=3,则8如的值为4

A

（第7题图）

8.在△ABC中，NA：NC：ZB=4：3：2,且AABC出ADEF,则NZ)£F=40。.

9.如图，在△ABC与△OCB中，AC与BD交于■点E,且NA=NO,AB=DC.

(1)求证：AABE注DCE.

(2)当NAEB=50°,求NEBC的度数.

（第9题图）

解：(1)在△A2E和△£)(7£：中，

ZA=ZD,

•JNAEB=NDEC,：./\ABE^^DCE(AAS).

AB=DC,

(2)V/\ABE学ADCE,

：.BE=EC,：.NEBC=NECB.

VZEBC+ZECB^ZAEB=50°,:.NEBC=25；

拓展提高

10.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明NCAQ=ND4B的依据是(A)

（第10题图）

A.SSSB.SAS

C.ASAD.AAS

11.小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块,如图①②③，他想要到玻璃店

去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（C）

\

（第11题图）

A.①B.②

C.③D.①和②

12.如图，F是正方形ABC。的边CZ）上的一个动点,BF的垂直平分线交对角线AC于

点、E,连结BE,FE,则NEB尸的度数是（A）

A.45°B.50°

C.60°D.不确定

B；

（第12题图）

13.如图，正方形ABC。的边长为6,点E,F分别在AB,A。上.若CE=3小,且

NECF=45°,则CF的长为(A)

A.2V10B.3小

c.|Vib

（第13龈）

14.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△AC。，△ABE,ABCF,则下列结论：

①/XEBFq/\DFC；②四边形AEF£＞为平行四边形；③当A8=AC,ZBAC=120°时，四边

形4EF。是正方形.其中正确的结论是①②（请写出正确结论的序号）.

15.如图，点B,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,BE=CF,请添加一个条件AC=

DF（或NB=NDEF或AB〃DE）,使△ABCgADEE

KF.

（第15题图）

16.如图，AE±AB,且AE=AB,BCLCD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据,

计算图中实线所围成的图形的面积S是50.

FAGCH

(第16题图)

17.如图，在正方形ABC。的边BA的延长线上作等腰直角△AEF,连结DF,延长8E

交OF于点G.若FG=6,EG=2,则线段AG的长为4也.

（第17题图）

18.如图，已知点力在△48C的BC边上，Z）E〃4C交AB于点E,。A8交4c于

点F.

（1）求证：AE=DF.

（2）若A力平分/BAC,试判断四边形4切尸的形状，并说明理由.

A

(第18题图)

解：⑴证明:'：DE//AC,

：.NADE=ZDAF.

同理ND4E=NFD4.

又•.[£>=D4,

△ACE丝△ZMF(ASA),

：.AE=DF.

(2)若A。平分N84C,四边形AECF是菱形，理由如下:

".,DE//AC,DF//AB,

四边形AED尸是平行四边形，

平分/54C,

NEAD=NDAF.

又；

NDAF=ZFDA.：.AF=DF.

二平行四边形AEDF为菱形.

19.如图，过/AOB平分线上一点C作CO〃O8交。4于点O,E是线段0C的中点，

请过点E画直线分别交射线CD,OB于点M,N,探究线段OD,ON,DM之间的数量关

系，并证明你的结论.

(第19题图)

解：线段0。，ON,0M之间的数量关系是：0D=DM+0N.

证明：；0C是NA0B的平分线，

ND0C=NC0B.

又,：CD//OB,：.NQC0=ACOB,

：.ND0C=NDC0,

：.0D=CD=DM+CM.

'：E是线段0C的中点，ACE=OE.

,:CD〃OB,：.端=腺,

：.CM=ON.

大*：0D=DM+CM,

：.0D=DM+0N.

20.如图，在四边形ABC。中，点E在A。上，其中/BAE=/BCE=NAC£)=90°,

且BC=CE,求证：△ABCW/XDEC.

D

（第20题图）

解：VZBCE=ZACD=90°,

・•・Z3+Z4=Z4+Z5,

・•・Z3=Z5.

在△AC。中，VZAC£>=90°,

AZ2+ZD=90°.

VZBAE=Z1+Z2=9O°,

・・・N1=ND

在△ABC和△£)£(7中，

Z1=Z£>,

,.♦(Z3=Z5,

[BC=CE,

：.AABC^ADEC(AAS).

专题练习：三角形

基础训练

1.下列长短的三条线段，不能组成三角形的是（A）

A.3,8,4B.4,9,6

C.15,20,8D.9,15,8

2.如图，△ABC是锐角三角形，过点C作CZ）J_AB,垂足为。，则点C到直线48的

距离是（B）

A.线段CA的长

B.线段CD的长

C.线段AO的长

D.线段AB的长

A

,D

-----------------'B

（第2题图）

3.如图，NE。尸内有一定点P,过点P的一条直线分别交射线0E于点4,交射线。尸

于点区当满足下列哪个条件时，XAOB的面积一定最小（D）

A.OA=OB

B.OP为△A08的角平分线

C.0P为△408的高

D.0P为/XA0B的中线

（第3题图）

4.已知，如图，在△ABC中，0B和0C分别平分NABC和NACB,过。作。E〃8C,

分别交A8,4c于点。，E.若DE=8,则线段8O+CE的长为（D）

A.5B.6

C.7D.8

5.若a,b,c为三角形的三边，且a,6满足后与+侬-2）2=0,则第三边c的取值

范围是l〈cV5.

6.如图，已知△4BC的周长为27cm,4c=9cm,BC边上中线43=6cm,△ABO周

长为19cm,AB—8cm.

（第6题图）

7.若△ABC的高AQ长为3,且BQ=6,CD=2,则△ABC的面积是12或6.

8.如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点A,B,将△A0B沿直线AB翻折,

得aACB.若点。咳，坐），则该一次函数的表达式为y=—Sx+S.

9.在平面直角坐标系中,

(第9题图)

解：：点A(3,4),B(4,1),

AABO的面积为4X4-1x4X3-1x1X3一;X1X4=6.5.

拓展提高

10.如图，在钝角△ABC中，分别以A8和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角

形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分NAEB交A8于点取BC中点，4c中点N,

连结。N,DE,OF.下列结论：①EM=DN；②SACZW=；S四边彩AB/W;③DE=DF；®DELDF.

其中正确的结论的个数是(D)

(第10题图)

A.1个B.2个

C.3个D.4个

11.如图，AO是△4BC的角平分线，DE,。尸分别是△48。和△4CD的高，得到下列

四个结论：①04=00；©ADLEF-,③当/A=90°时，四边形4EDF是正方形；®AE+DF

=AF+QE.其中正确的是(D)

A.②③B.②④

C.①③④D.②③④

12.将一副直角三角尺如图放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角

尺的一条直角边重合，则N1的度数为(D)

(第12题图)

A.30°B.45°

C.60°D.75°

13.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2,宽为1,A,B两点在网格格点

上.若点C也在网格格点上，以A,B,C为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C个

数是（C）

^1

（第13题图）

A.2B.3

C.4D.5

14.如图，在.AABC中，AB=AC=5,BC=8,点尸是3c边上的动点，过点P作

PQ_LAB于点。，PE±AC于点E,则PO+PE的长是（A）

A.4.8B.4.8或3.8

C.3.8D.5

（第14题图）

15.如图，AB//CD,E,尸分别为AC,8。的中点.若AB=5,CD=3,则EF的长是

(D)

（第15题图）

A.4B.3C.2D.1

16.如图，在△ABC中，AB=BC,NABC=90°,是AC边的中线，点。，E分别

在边AC和8c上，DB=DE,E凡L4C于点凡以下结论：①NDBM=NCDE;②SABDE〈S

四边形8WFE；③CDEN=BNBD；④AC=2。冗其中正确结论的个数是（C）

A.1B.2

C.3D.4

（第16题图）

17.一副三角尺叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜

边AB上，BC与OE交于点M.如果乙4。尸=100°,那么NBMO为.85°

（第17题图）

18.已知点G是面积为27cn?的△ABC的重心，那么^AGC的面积等于9cn?.

19.如图，在△ABC中，点O,E,尸分别为BC,AD,CE的中点.若SABFC=1，则S

A4fiC~4

20.有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为

5和7.

(1)请写出其中一个三角形的第三边的长.

(2)设组中最多有〃个三角形，求”的值.

(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率.

解：(1)设三角形的第三边长为•每个三角形有两条边的长分别为5和7,：.l-5<x

<5+7,：.2<x<\2,.•.其中一个三角形的第三边的长可以为10(不唯一).

(2)V2<x<12,它们的边长均为整数,：.x=3,4,5,6,7,8,9,10,11,二组中最

多有9个三角形，：.n=9.

4

(3)・.•当x=4,6,8,10时，该三角形周长为偶数，...该三角形周长为偶数的率是1

21.如图，一艘轮船航行到8处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B

处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向.己知

在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险

(参考数据：于七1.732)?

(第21题图)

解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险.

理由如下：

由题意，得/ABO=30°,NAC£>=60°.

ZCAB=NABD,

.\AC=BC=200海里.

在RtAACD中，设CD=x海里，

则AC=2x,AD=7AC2—CD2=7⑵)2―/=小八

在RtAAfiD中，AB=2AD=2y[3x,

BD=y)AB2-AD2=yj(2^)2-(^3%)2=3x,

又•.,2Q=BC+CZ),

；.3x=200+x,

.,.x=100.

小x=10丽弋173.2,

V173.2海里>170海里，

二轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险.

专题练习：图形的轴对称

基础训练

I.下列交通标志图案是轴对称图形的是(C)

A企0

ABD

2.下列图形中，所有轴对称图形的对称轴条数之和为(B)

(第2题图)

A.13B.11

C.10D.8

3.民族图案是数学文化中的一块瑰宝.下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对

称图形的是(C)

4.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是

一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这

两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点

正方形的作法共有(C)

（第4题图）

A.2种B.3种

C.4种D.5种

5.如图，直线y=一雪'x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，把△AOB沿着直线48

翻折后得到△AO'B,则点。，的坐标是（A）

A.（小，3）B.（小，A/3）

C.（2,2小）D.（2小，4）

6.若点4.+2,3）与点仇一4,〃+5）关于y轴对称，则m+〃=0

（第7题图）

7.如图，在Rt^ABC中，/ACB=90°,点。在4B边上，将△CB。沿CZ）折叠，使

点B恰好落在AC边上的点E处.若NA=26°,则NC£>E=71°.

8.在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶

点均在格点上，点A的坐标是（一3,—1）.

（1）将aABC沿y轴正方向平移3个单位得到△4BiG，画出△ABCi，并写出点所坐

标.

（2）画出△AEG关于y轴对称的△42&C2，并写出点C2的坐标.

解：（1）如解图所示即为所求，点用的坐标为（-2,-1）.

（2）如解图所示，△4B2c2即为所求，点C2的坐标为（1,1）.

(第8题图解)

9.如图①，将矩形ABC。沿OE折叠，使顶点A落在OC上的点4处，然后将矩形展

平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕QE上的点G处.再将矩形ABCQ沿CE折叠，此时顶

点8恰好落在。E上的点，处，如图②.

(1)求证：EG=CH.

(2)已知求A£＞和AB的长.

(第9题图)

解：(1)证明：由折叠知4E=A£>=EG,BC=CH.

:四边形ABC。是矩形，

J.AD^BC,

：.EG=CH.

(2)VZAD£=45°,ZFGE=ZA=90°,AF=®

:.DG=FG=巾,DF=2,

.".AD=AF+DF=yf2+2.

由折叠知NAEF=ZGEF,ZBEC=ZHEC,

...NGEF+/HEC=90°,ZA£F+ZBEC=90°,

VZAEF+ZAFE=90°,

NBEC=ZAFE.

在△A£F与△BCE中，

ZAFE=ZBEC,

'乙4=NB=90°,

AE=BC,

：./\AEF^△BCE(A4S),

：.AF=BE,

：.AB^AE+BE=2yf2+2.

拓展提高

10.如图，Z3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必

须保证N1的度数为(C)

A.30°B.450

C.60°D.75°

11.如图，四边形A8CQ中，AC垂直平分8D,垂足为点E,下列结论不一定成立的是

（C）

（第11题图）

A.AB=AD

B.AC平分NBCQ

C.AB=BD

D.△BE%△DEC

12.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内

空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有口_种.

（第12题图）

13.如图，RtzXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,将边AC沿CE翻折，使点A

落在A8上的点。处；再将边8c沿CF翻折，使点8落在CZ）的延长线上的点夕处，两条

折痕与斜边AB分别交于点E,F,

（第13题图）

14.如图，是半径为1的。0的直径，点4在。0上，NAMN=30°,点8为劣弧

4V的中点.点P是直径上一动点，则以+PB的最小值是啦.

B

（第14题图）

15.在口ABCQ中，ABV2C,已知N8=30°,AB=2小，将△ABC沿AC翻折至△ABC,

使点所落在。ABC。所在的平面内，连结夕D若△ABZ＞是直角三角形，则8C的长为4或

6.

16.如图，在矩形纸片A8CQ中，AB=6,8c=8.把△8CQ沿对角线8。折叠，使点C

落在。处，BC交AD于点G,点E,尸分别是C7）和上的点，线段EF交AO于点H,

把△网?后沿EF折叠，

(1)求证：AABG咨ACDG.

⑵求tan/ABG的值.

(3)求EF的长.

解：(1)证明：♦.•△8。(7由△8。(？翻折而成，

NC=NC=/BAG=90°,CD=AB=CD,NBGA=NDGC：

在△ABG与△CQG中，

NBAG=NC,

NAGB=NCGD,.•.△ABG丝△(7'DG.

_AB=C'D,

(2)解：•.•由(1)可知△ABG丝△C'£>G,；.GD=GB.

设AG=x,则G8=G£>=AQ-AG=8-x.

7AG

在RtZ\ABG中，'：AB2+AG2=BG2,即62+f=(8-x)2,解得》=彳，：.tan^ABG=^

7

=4=2_

=6=24,

(3)解：•••△AEF是△DEF翻折而成,

：.EF垂直平分AD,：.HD=^AD=4,

7

tanNABG=tanNADE=五.

777

/.EW=/7£)X—=4X—=~

Z4Z4o

垂直平分40,AB±AD,

:.HF建丛ABD的中位线.

HF—^AB=^X6=3.

725

EF=EH+，尸=7+3=7.

66

17.如图，已知在中，ZC=90°,翻折/C,使点C落在斜边AB上某一点。

处，折痕为EF（点E,F分别在边AC,BC±）.

（1）若△CEF与aABC相似.

①当AC=BC=2时，AD的长为：

②当AC=3,BC=4时，AD的长为1.8或2.5.

（2）当点。是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.

解：（1）若△（?£：尸与△ABC相似.

（第17题图解①）

①当AC=BC=2时，

△ABC为等腰直角三角形，如解图①，连结CD

此时点。为A5边中点，AD—^AC—yj2.

②当AC=3,8c=4时，有以下两种情况：

(第17题图解②)

(I)若CE：CF=3:4,如解图②所示.

"：CE：CF=AC：BC,

J.EF//BC.

由折叠性质可知，CD±EF,：.CD±AB,即此时CO为AB边上的高.

在Rt/XABC中,AC=3,BC=4,:.BC=5.

3

1•cosA=§

3

AD=ACcosA=3X-=1.8.

(第17题图解③)

(II)若CF：CE=3：4,如解图③所示，连结C£>,与EF交于点、Q.

,：/XCEF^/XCBA,

；.NCEF=NB.

由折叠性质可知，ZCEF+ZECD=90°,

又：NA+NB=90°.

AZA=ZECD,：.AD=CD.

同理可得/B=NFC£),CD=BD.

,此时AD—5=2.5.

综上所述，当AC=3,BC=4时，A。的长为1.8或2.5.

(2)当点。是AB的中点时，△CEF与△ABC相似.理由如下：

如解图③.

,.•C。是Rt/XABC的中线，:.CD=DB=AD.

：.ZDCB=ZB.

由折叠性质可知，ZCQF^ZDQF^90°,

：.ZDCB+ZCFE=90°.

ZB+ZA=90°,；.NCFE=NA.

又；NECF=NBCA,

:.IXCEFslxcBN.

专题练习：因式分解

一、选择题（每小题6