中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十五排列组合(原卷版+解析)

专题四十五排列组合思维导图知识要点知识要点1．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．当n＝m时，称为全排列；当m<n时，称为选排列．(2)排列的特征：无重复性、有序性(缺一不可)．(3)排列数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m，n∈N*，m≤n)．(4)全排列公式：＝n！＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1叫做n的阶乘。规定0！＝1.2．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合的特征：无重复性、无序性(缺一不可)．(3)组合数公式：＝(m，n∈N*，且m≤n)．(4)组合的性质：①.规定：②3．排列与组合的基本方法(1)特殊元素(位置)：优先法；(2)正难则反：排除法；(3)相邻问题：捆绑法；(4)不都相邻问题：总数－相邻排列数；(5)都不相邻问题：插空法；(6)禁位排列问题：枚举法；(7)多排问题：单排法；(8)平均分组、分堆：固定法、公式法(平均分成2组除以2！，平均分成三组除以3！)；(9)可重复排列：住店法(求幂法)．4．解决排列问题的基本方法(1)元素分析法：即对有限定条件的某些排列问题，考虑“特殊元素先定位，其他元素再补充”的方法；(2)位置分析法：即对有限定条件的某些排列问题，考虑“特殊位置先定位，其他位置再补充”的方法；(3)捆绑法：相邻排列问题常采用“捆绑法”，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列；(4)插空法：对于元素不相邻排列问题常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中；(5)排除法：即从正面难以考虑时，要从它的反面去考虑；(6)枚举法：即将所有排列按照一定的规律列举出来的方法．【例1】计算：(1)；(2)(3)；(4)求中的x.【变式训练1】计算．(1)(2)【例2】3男3女共6名同学排成一行．若女生都排在一起，则有多少种排法？若女生与男生相间，则有多少种排法？若任何两个男生都不相邻，则有多少种排法？若3名男生不排在一起，则有多少种排法？若男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，则有几种排法？【变式训练2】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列．求：甲不在首位的排法有多少种？甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？【例3】有10个三好学生的名额，分配到高三年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？【变式训练3】有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．(1)每个人得到2本，有多少种不同的分法？(2)分给甲1本，乙2本，丙3本，有多少种不同的分法？(3)一人分得1本，一人分得2本，一人分得3本，有多少种不同的分法？【例4】从8个男同学，4个女同学中选出5名学生参加数学竞赛，按下列条件各有多少种选法．(1)至少有一位女同学参赛；(2)至多有2位女同学参赛．【变式训练4】要从12人中选出5人去参加一项活动．(1)若A，B，C三人至少一人入选，则有多少种不同选法？(2)若A，B，C三人至多两人入选，则有多少种不同选法？【例5】3个人，坐在一排的8个座位上，若每人两边都有空座位，则有多少种不同的坐法？【变式训练5】乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．【例6】从－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3这9个数中任取三个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数．问：(1)可以组成多少个不同的二次函数？(2)可以组成多少个开口向下的二次函数？【变式训练6】从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．高考链接高考链接1．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是()A．72B．120C．144D．2882．某班的6位同学与数学老师共7人站成一排照相，如果老师站在正中间，且甲同学与老师相邻，那么不同的排法共有()A．240种B．120种C．360种D．720种3．某校开设6门课程供学生选修，其中A，B两门课由于上课时间相同，至少选修1门，学校规定，每位同学要选修3门，共有________种不同选修方案．4．某校电子商务班有男生16人，女生10人，若要选男、女各1人作为学生代表参加学校的拔河比赛，共有________种不同选法．同步精练同步精练【选择题】1．从1，2，3，4，5中任取两个数字，组成无重复数字的两位偶数的个数为(D)A．20个B．12个C．10个D．8个2．某班组织班会活动，要从甲、乙等7名干部中选出4名同学发言，要求甲、乙两名同学中至少有一人必须参加发言，则不同的发言顺序种数是()A．360B．520C．600D．7203．从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有()A．81种B．64种C．24种D．4种4．用5部机床加工4个不同的零件，其不同的安排方法有()A．54种B．55种C．44种D．45种5．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位偶数的个数是()A．12B．24C．36D．486．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有()A．1050种B．700种C．350种D．200种【填空题】7．若，则x＝________.8．计算：101－lg2＋90.5－3！＋＋sin5π＋＝________.9．＝________.10．某公园现有甲、乙、丙三只小船，甲船可乘3人，乙船可乘2人，丙船可乘1人，今有3个成人和2个儿童分乘这些船只(每船必须坐人)，为安全起见，儿童必须由成人陪同方可乘船，则分乘这些船只的方法有________种(用数字作答)．11．每周星期一到星期四的晚自习内容要安排语文、数学、英语和专业共4门课程，要求每天安排一门课程，若数学不排星期一，则可以排出不同的晚自习安排表有_____种．【解答题】12．为加强精准扶贫工作，某市计划从8名科级干部(包括甲、乙、丙三位同志)中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人，问：(1)甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？(2)甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？(3)甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？13．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生．14．(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．15．100件产品中有3件次品，任取5件，下列取法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有2件次品；(3)至少有2件次品．专题四十五排列组合思维导图知识要点知识要点1．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．当n＝m时，称为全排列；当m<n时，称为选排列．(2)排列的特征：无重复性、有序性(缺一不可)．(3)排列数公式＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m，n∈N*，m≤n)．(4)全排列公式：＝n！＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1叫做n的阶乘。规定0！＝1.2．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合的特征：无重复性、无序性(缺一不可)．(3)组合数公式：＝(m，n∈N*，且m≤n)．(4)组合的性质：①.规定：②3．排列与组合的基本方法(1)特殊元素(位置)：优先法；(2)正难则反：排除法；(3)相邻问题：捆绑法；(4)不都相邻问题：总数－相邻排列数；(5)都不相邻问题：插空法；(6)禁位排列问题：枚举法；(7)多排问题：单排法；(8)平均分组、分堆：固定法、公式法(平均分成2组除以2！，平均分成三组除以3！)；(9)可重复排列：住店法(求幂法)．4．解决排列问题的基本方法(1)元素分析法：即对有限定条件的某些排列问题，考虑“特殊元素先定位，其他元素再补充”的方法；(2)位置分析法：即对有限定条件的某些排列问题，考虑“特殊位置先定位，其他位置再补充”的方法；(3)捆绑法：相邻排列问题常采用“捆绑法”，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素的排列；(4)插空法：对于元素不相邻排列问题常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中；(5)排除法：即从正面难以考虑时，要从它的反面去考虑；(6)枚举法：即将所有排列按照一定的规律列举出来的方法．典例解析典例解析【例1】计算：(1)；(2)(3)；(4)求中的x.答案：解：(1)－7×6×5＝210－210＝0.【思路点拨】运用排列数和组合数公式求解，其中排列数的第一个公式＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．组合数的公式常用于n，m为具体自然数的题目，一般偏向于具体组合数的计算．答案：(2)原式＝【思路点拨】运用排列数和组合数公式求解，其中排列数的第一个公式＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．组合数的公式常用于n，m为具体自然数的题目，一般偏向于具体组合数的计算．答案：(3)＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72.【思路点拨】运用排列数和组合数公式求解，其中排列数的第一个公式＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．组合数的公式常用于n，m为具体自然数的题目，一般偏向于具体组合数的计算．答案：(4)原方程可化为＝即＝，化简得－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.由题意知解得x≤8，则x＝6.【思路点拨】运用排列数和组合数公式求解，其中排列数的第一个公式＝n(n－1)…(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式．组合数的公式常用于n，m为具体自然数的题目，一般偏向于具体组合数的计算．【变式训练1】计算．(1)(2)解：(1)原式＝＝56＋4950＝5006.原式＝【例2】3男3女共6名同学排成一行．若女生都排在一起，则有多少种排法？若女生与男生相间，则有多少种排法？若任何两个男生都不相邻，则有多少种排法？若3名男生不排在一起，则有多少种排法？若男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，则有几种排法？答案：解：(1)将3名女生看作一个整体，就是4个元素的全排列，有种排法．3名女生内部可有种排法，∴共有＝144(种)．(2)男、女先各自排，然后相间插入(此时有2种插法)，∴女生与男生相间的排法共有＝72(种)．(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个排男生即可，∴任何两个男生都不相邻的排法共有＝144(4)直接分类较复杂，可用间接法．即从6个人的排列总数中，减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为＝576(种)．(5)若男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，则有几种排法？(5)先将2名女生排在男生甲、乙之间，有种排法．又甲、乙还有种排法，这样就有种排法，然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有种排法．最后，将余下的女生排在其间，有1种排法．故总排法为＝24(种)．【思路点拨】排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”．对于这类问题，在分析时，主要按照“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，对于“相邻”问题可用“捆绑法”，对于“不相邻”问题可用“插空法”．对于直接考虑较困难的问题，可以采用间接法【变式训练2】从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列．求：甲不在首位的排法有多少种？甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？(1)排法一：把元素作为研究对象．第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6个元素中取出5个放在5个位置上，有(种)．第二类，含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6个元素中选4个排在没有甲的位置上，有(种)排法．根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×(种)排法．由分类加法计数原理，共有＋4×＝2160(种)排法．排法二：把位置作为研究对象．第一步，从甲以外的6个元素中选1个排在首位，有(种)排法．第二步，从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位以外的其他4个位置上，有(种)排法由分步乘法计数原理，可得共有＝2160(种)排法．排法三：(间接法)：即先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有(种)；甲在首位的情况有=(种)，∴符合要求的有＝2160(种)排法．(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置．第一步，从甲以外的6个元素中选两个排在首末两个位置上，有(种)排法；第二步，从未排上的5个元素中选3个排在中间3个位置上，有(种)排法；根据分步乘法计数原理，有＝1800(种)排法．(3)把位置作为研究对象．第一步，从甲、乙以外的5个元素中选两个排在首末两个位置，有(种)排法．第二步，从未排上的5个元素中选出3个排在中间3个位置上，有(种)排法．根据分步乘法计数原理，共有＝1200(种)排法．(4)间接法．总的可能情况是种，减去甲在首位的种，再减去乙在末位的(种)．注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，∴还需加上一次(种)，∴共有＝1860(种)排法．【例3】有10个三好学生的名额，分配到高三年级6个班，每班至少一个名额，共有多少种不同的分配方案？答案：解：有＝126(种)分配方法．(分隔法)．【思路点拨】将10个名额用“1”表示，并成一排名额之间有9个空格，在9个空格上插入5个“0”，将10个“1”分成6份，每一种插入法表示一种分配方法．【变式训练3】有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．(1)每个人得到2本，有多少种不同的分法？(2)分给甲1本，乙2本，丙3本，有多少种不同的分法？(3)一人分得1本，一人分得2本，一人分得3本，有多少种不同的分法？解：(1)＝90(种)．(2)＝60(种)．(3)＝360(种)．【例4】从8个男同学，4个女同学中选出5名学生参加数学竞赛，按下列条件各有多少种选法．(1)至少有一位女同学参赛；(2)至多有2位女同学参赛．答案：解：(1)至少有一位女同学参赛，故参赛的女同学可分为一位、两位、三位、四位，故不同选法有＝736(种)．(2)至多有两位女同学参赛，可分为没有、有一位、有两位女同学三类，所以不同的选法＝672(种)．【思路点拨】“至多”“至少”问题的分析解决问题的能力．【变式训练4】要从12人中选出5人去参加一项活动．(1)若A，B，C三人至少一人入选，则有多少种不同选法？(2)若A，B，C三人至多两人入选，则有多少种不同选法？解：(1)可用间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C都不入选的情况C，共有＝666(种)选法．(2)用间接法，从12人中选5人共有种，再减去A，B，C三人都入选的情况种，共有＝756(种)选法．【例5】3个人，坐在一排的8个座位上，若每人两边都有空座位，则有多少种不同的坐法？答案：解：4×＝24(种)．【思路点拨】本题考查插空，去掉两边的两个座位和中间六个中的三个座位，3个人在剩下的三个座位中选择．【变式训练5】乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有__252______种．【提示】三名主力队员排在第一、三、五位置有(种)排法，其余7名队员选2名排在第二、四位置有(种)排法，故共有＝252(种)出场安排．【例6】从－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3这9个数中任取三个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数．问：(1)可以组成多少个不同的二次函数？(2)可以组成多少个开口向下的二次函数？解：(1)＝8×8×7＝448(个)；(2)＝5×8×7＝280(个)【思路点拨】本题考查学生对问题的等价转化能力和运用组合知识分析解决问题的能力，根据二次函数对a，b，c的要求及题中限制条件，分析出a，b，c满足的条件，把求有多少个满足条件的二次函数转化为求从已知的9个数中选a，b，c有多少种不同的选取方法，思路清晰的等价转化是解决此题的关键，要解决计数类应用题，首先要将实际问题与排列组合知识相联系，转化成数学问题，再运用数学知识去分析、解决．【变式训练6】从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有_____30___条．【提示】易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有种而且其中没有相同的直线∴符合条件的直线条数为＝30(条)高考链接高考链接1．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是(D)A．72B．120C．144D．288【提示】根据分类计数原理分三类：第一类：选出的4个节目中没有语言类节目，有(种)；第二类：选出的4个节目中有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有(种)排法；第三类：选出的4个节目中有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有种排法；则N288(种)．2．某班的6位同学与数学老师共7人站成一排照相，如果老师站在正中间，且甲同学与老师相邻，那么不同的排法共有(A)A．240种B．120种C．360种D．720种【提示】分三步：第一步，老师有1种排法；第二步，排甲有2种排法；第三步，剩余同学全排列有＝120种排法，共有N＝1×2×120＝240种排法．3．某校开设6门课程供学生选修，其中A，B两门课由于上课时间相同，至少选修1门，学校规定，每位同学要选修3门，共有___12_____种不同选修方案．【提示】＝2×＝12种．4．某校电子商务班有男生16人，女生10人，若要选男、女各1人作为学生代表参加学校的拔河比赛，共有___160_____种不同选法．【提示】由题意知，从16名男生，10名女生中各选1人作为学生代表，不同的选派方法有＝160(种)．同步精练同步精练【选择题】1．从1，2，3，4，5中任取两个数字，组成无重复数字的两位偶数的个数为(D)A．20个B．12个C．10个D．8个2．某班组织班会活动，要从甲、乙等7名干部中选出4名同学发言，要求甲、乙两名同学中至少有一人必须参加发言，则不同的发言顺序种数是(D)A．360B．520C．600D．720【提示】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲、乙其中一人参加，有＝480(种)情况；若甲、乙两人都参加，有＝240(种)情况，则不同的发言顺序种数为480＋240＝720(种)．3．从4种花卉中任选3种，分别种在不同形状的3个花盆中，不同的种植方法有(C)A．81种B．64种C．24种D．4种4．用5部机床加工4个不同的零件，其不同的安排方法有(A)A．54种B．55种C．44种D．45种5．由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位偶数的个数是(D)A．12B．24C．36D．48【提示】从2，4中取一个数作为个位数字，有2种取法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有(种)取法，由分步乘法计数原理知组成无重复数字的四位偶数的个数为2×＝48.6．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有(C)A．1050种B．700种C．350种D．200种【提示】分两类：从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．∴有＝350(种)不同的选购方法．【填空题】7