高考数学微专题集专题01同构法初探(原卷版+解析)

专题01同构法初探专题01同构法初探一、同构的前半生同构式源于指对跨阶的问题，如与属于跨阶函数，可通过指对跨阶函数进行同构，即，通常选取这三个函数为母函数，进行同构式的构造．下面借助一道例题来阐释如何以上述母函数构造同构式：【例1】已知，不等式对任意的实数恒成立，求实数a的最小值．【解析】观察不等式可知，原不等式中有类似于与的形式，属于跨阶函数，∴，同构，等价于，∵，在上单调递增，∴，∴．【点评】该题原不等式中既含有指数又含有对数，属于指对数混合型不等式．一般解法是求导根据函数单凋性求范围，但本解法将不等式变形，将形如“”的对数函数转化为形如“”的指数函数，使得不等式两边都为结构，构造新函数再根据的单调性求参数范围．二、同构的概念通过前面两个例题的同构过程，可得同构过程，先通过观察原不等式的结构，再对不等式进行变形转化，最后找到这个函数的模型，即找到不等式两边对应的同一个函数，将问题化繁为简．像这种找到函数模型的方法，我们就称为同构法．同构思路可表示为：若能等价变形为，然后判断的单调性，利用函数单调性去掉外函数f，转化为解不等式．简单地说：同构的两个特征：一个是，一个式子中出现两个变量；另一个是，适当变形后，两边式子结构相同．【例2】若，则（）A．B．C．D．【解析】原不等式等价变形为同构函数，可知在定义域上单调递增∴∴对于有正有负，所以C、D错误；∵，故A正确，B错误．【点评】该不等式两边都是含xy的指数，且两边底数不相同．符合同构法的特征，将不等式变形，使得两边各含一个变量，变形后发现，不等式两边的结构相同且都为“”的形式，因此找到这个函数的原型，同构函数，判断函数单调性，根据单调性判断出含x与y的大小关系．专题强化训练1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．2．完成下列各问（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；3．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.A． B． C． D．4．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．6．已知是函数的零点，则_______．7．已知方程有3个实数根，则实数a的取值范围是：______．8．已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．9．已知实数，满足，，则______.10．如果，那么的取值范围是_______．11．比较．12．已知函数,其中．求证：．13．证明：．14．设实数，若对任意的，关于x的不等式恒成立，证明的最小值为．15．若a是方程的根，证明：a也是方程的根．16．已知函数，，设，其中，若恒成立，求的取值范围．专题01同构法初探专题01同构法初探一、同构的前半生同构式源于指对跨阶的问题，如与属于跨阶函数，可通过指对跨阶函数进行同构，即，通常选取这三个函数为母函数，进行同构式的构造．下面借助一道例题来阐释如何以上述母函数构造同构式：【例1】已知，不等式对任意的实数恒成立，求实数a的最小值．【解析】观察不等式可知，原不等式中有类似于与的形式，属于跨阶函数，∴，同构，等价于，∵，在上单调递增，∴，∴．【点评】该题原不等式中既含有指数又含有对数，属于指对数混合型不等式．一般解法是求导根据函数单凋性求范围，但本解法将不等式变形，将形如“”的对数函数转化为形如“”的指数函数，使得不等式两边都为结构，构造新函数再根据的单调性求参数范围．二、同构的概念通过前面两个例题的同构过程，可得同构过程，先通过观察原不等式的结构，再对不等式进行变形转化，最后找到这个函数的模型，即找到不等式两边对应的同一个函数，将问题化繁为简．像这种找到函数模型的方法，我们就称为同构法．同构思路可表示为：若能等价变形为，然后判断的单调性，利用函数单调性去掉外函数f，转化为解不等式．简单地说：同构的两个特征：一个是，一个式子中出现两个变量；另一个是，适当变形后，两边式子结构相同．【例2】若，则（）A．B．C．D．【解析】原不等式等价变形为同构函数，可知在定义域上单调递增∴∴对于有正有负，所以C、D错误；∵，故A正确，B错误．【点评】该不等式两边都是含xy的指数，且两边底数不相同．符合同构法的特征，将不等式变形，使得两边各含一个变量，变形后发现，不等式两边的结构相同且都为“”的形式，因此找到这个函数的原型，同构函数，判断函数单调性，根据单调性判断出含x与y的大小关系．专题强化训练1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．2．完成下列各问（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；3．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.A． B． C． D．4．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．6．已知是函数的零点，则_______．7．已知方程有3个实数根，则实数a的取值范围是：______．8．已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．9．已知实数，满足，，则______.10．如果，那么的取值范围是_______．11．比较．12．已知函数,其中．求证：．13．证明：．14．设实数，若对任意的，关于x的不等式恒成立，证明的最小值为．15．若a是方程的根，证明：a也是方程的根．16．已知函数，，设，其中，若恒成立，求的取值范围．参考答案：1．(1)，.(2)，.(3)，.(4)，.(5)，.(6)，.(7)，.(8)，.分析：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.(1)显然，则，.(2)显然，则，.(3)显然，则，.(4)显然，则，.(5)，.(6)，，.(7)，.(8)，.2．

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.分析：（1）根据不等式的结构特征构造函数,转化成恒成立问题，利用参数分离进行求解.（2）（3）（4）（5）（9）利用，构造不等式形式，以及利用放缩法，采用参数分离的方式进行求解.（5）（6）（7）（8）分离参数后利用进行进行求解.【详解】解析：（1），．又，，令，得或，令，得，所以在，递减，在递增，所以，当时，，时，（2），当时，原不等式恒成立；当时，，由于，当且仅当等号成立，所以．（3），当时，原不等式恒成立；当时，，由（1）中可得，当时，等号成立，所以，当且仅当等号成立，所以．（4），由于，所以．（5）．由于，当且仅当等号成立，所以．（6），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．（7），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．（8），由于，两者都是当且仅当等号成立，所以，则，所以．（9），当且仅当，即时等号成立．由有解，，，易知在上递增，在递减，所以故答案为:；；；；；；；；【点睛】考查不等式恒成立问题的解法，运用导数求单调性以及最值，以及运用，这些常用不等式，适当放缩.考查运算能力和灵活构造处理函数以及不等式等做题能力.3．C分析：将不等式变形后，构造函数g(x)，结合选项对m讨论，利用导数分析函数的单调性及函数值的分布情况，对选项排除验证即可．【详解】原不等式转化为>0在上恒成立，记g(x)＝，由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，y=x+1与y=x-1分别为y=与y=的切线，即,(x=0时等号成立)，（x=1时等号成立），可得(x=0时等号成立)，∴m时，在上恒成立，又在上恒成立，∴在上恒成立，∴m时符合题意，排除A、B；当m>0时，验证C选项是否符合，只需代入m=3，此时g(x)＝，则，此时0，令)在上单调递增，且，∴在上恒成立，即在上单调递增，而0，∴在上恒成立，∴g(x)在上单调递增,又g(0)=0，∴g(x)在上恒成立，即m=3符合题意，排除D,故选C.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，注意小题小做的技巧，是一道综合题．4．C分析：先利用同构变形得到，构造函数，，结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.【详解】因为，所以，即，构造函数，所以，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，令，则，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.5．分析：由题意可得，，即，构造函数，由其在上为增函数，，则，再构造函数，利用导数求出其最大值即可【详解】因为，对恒成立，所以，，所以，所以，所以，令，则因为在上为增函数，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，即，所以，所以，所以a的取值范围是故答案为：6．2分析：根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得，整理可得，可得当，即成立，又，代入可得.故答案为：.7．分析：令，则由零点的个数可得导数有两个不同的零点，利用导数讨论导函数的单调性后可求参数的取值范围.【详解】令，，因为有三个不同的零点，故有两个不同的零点，，令，则，当时，；当时，；故在上为减函数，在上为增函数，故即.当，因为且，故在上有一个零点，而且，，而，故在为减函数，故，故在上有且只有一个零点，又时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，其中，而，故，而，因为，，所以，故，而，故在上有且只有一个零点，而，因为，故在上有且只有一个零点，结合可得当时，有三个不同的零点，故答案为：.【点睛】思路点睛：含参数的零点问题，注意利用导数讨论函数的单调性，同时要结合零点存在定理来判断函数值的符号.8．2分析：由，且a，b(0，2)，化简为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.【详解】由，化简为：，即，设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，且，所以，即.故答案为2【点睛】本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.9．分析：由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.【详解】实数，满足，，，，则，，所以在单调递增，而，.故答案为:.【点睛】本题考查函数单调性应用，换元法是解题的关键，构造函数是难点，属于中档题.10．分析：将不等式化简，构造函数根据单调性求解【详解】，即，令，在上单调递减，则可化为，解得．故答案为：11．分析：比较的两个数的结构为，同时取自然对数即比较，等价于比较，构造函数求解．【详解】解：令，则，当时，，所以在上单调递减，所以，即，得，所以．12．证明见解析分析：构造函数，换元后得到，，利用导函数求得单调性和极值，最值，证明出不等式.【详解】证明：，令，，则，因为，所以令得：，令得：，在上递减，在上递增，故在处取得极小值，也是最小值，易知，故．13．证明见解析分析：根据对数恒等式及不等式（取等号）进行放缩即可证明.【详解】设，则.令，即，解得，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取得极小值，也为最小值.，即（当时取等号），由，得，由（当时取等号），得所以（当时取等号）所以，即证．【点睛】解决此类问题的关键就是利用对数恒等式及不等式式（取等号）进行放缩即可.14．证明见解析分析：根据对数恒等式及函数的单调性得在上恒成立，利用分离参数法得在恒成立，再利用导数法求函数的最值即可求解.【详解】令，，，所以在上单调递增；，即令，，则当时，在上单调递减；当时，函数取的最大值为，即，即证，实数的最小值为．【点睛】解决此类问题运用同构原理，根据对数恒等式及单调性，再结合解决函数横成立的问题的方法即可.15．证明见解析分析：利用指数式与对数式的相互转化，使等式两边达