高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题07函数的奇偶性与周期性(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练07函数的奇偶性与周期性练高考明方向1、【2022年新高考I卷第12题】2、【2022年新高考I卷8题】3、【2022年新高考I卷8题】4．(2023年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．5．(2023年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ()A． B． C． D．6、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减7、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A． B．C． D．8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为 ()A．B．C． D．10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．11．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．12、【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ()A． B．0 C．2 D．5014．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 ()A． B． C． D．15．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ()A． B． C． D．讲典例备高考函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性奇函数的定义偶函数的定义函数的对称性奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断周期性的应用类型一、奇函数、偶函数的判断基础知识：1、奇函数、偶函数的定义奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2、常用结论（1）①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)奇函数的特殊性质①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.基本题型：1．（利用定义判断函数奇偶性）下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（）A． B． C． D．2．（利用定义、图象判断函数奇偶性）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))3．（利用性质法判断奇偶性）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数4．（利用定义、性质判断函数奇偶性）(多选)设函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的有()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数基本方法：1、函数奇偶性的判定方法定义法图象法性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇类型二、奇函数、偶函数定义的应用1．（利用奇函数定义求值）函数为奇函数，则实数__________．2．（利用偶函数定义求值）若函数f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))为偶函数，则a＝________.3、（利用奇偶性求解析式）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（）A． B．C． D．4．（利用奇偶性求解析式）已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝()A．4 B．3C．2 D．15.（奇函数与单调性交汇）已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的的取值范围是__________.6．（奇函数与单调性交汇）定义在的函数满足下列两个条件：①任意的都有；②任意的，当，都有，则不等式的解集是（）A． B． C． D．7、（偶函数与单调性交汇）已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（）A． B．C． D．8．（偶函数与单调性交汇）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．类型三、函数的周期性基础知识：1、周期函数的定义：周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2、函数周期性的常用结论（1）若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期（2）函数周期性的判定：①：可得为周期函数，其周期②的周期③的周期④（为常数）的周期⑤（为常数）的周期基本题型：1、（函数周期性的判断）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数2．（函数周期性的判断）(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x－1)为奇函数D．函数f(x－3)为偶函数3．（利用周期性求值）设是定义在上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则（）A．0 B．1 C． D．24．（利用周期性求值）函数满足，且，则（）A． B． C． D．5．（利用周期性求解析式）设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为()A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1基本方法：1．函数周期性的判断方法判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．2．利用函数周期性求值的方法技巧根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．类型四、函数的对称性基础知识：1、（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）；（2）关于轴对称（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。（4）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．（5）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)图象关于直线x＝a对称．（6）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．2、对称性最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同基本题型：1．（函数对称性的判断）已知函数，则A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称2、（对称性与单调性交汇）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是A． B．C． D．3、（对称性、周期性与奇偶性交汇）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数4、（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（）A．0 B．1 C．2 D．45、（对称性、周期性与奇偶性交汇）（多选题）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数6.（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，，则=____________．新预测破高考1、（多选题）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）A． B． C． D．2．已知函数，则不等式的解集为（）A．B． C． D．3、已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（）A．-15 B．-7 C．3 D．154、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x.设a＝f(logeq\f(1,2)3)，b＝f(log210)，c＝f(log2200)，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a5、若函数是奇函数，则使的的取值范围为（）A． B．C． D．6．（多选题）下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A． B．C． D．7．（多选题）已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（）A．y=gfx+1为偶函数 C．的图像关于直线对称 D．y=fgx+1为偶函数8．（多选题）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（）A． B． C． D．9、关于函数QUOTE𝑓(𝑥)=𝑥−sin𝑥f(x)=x−sinxA．QUOTE𝑓𝑥fx是奇函数 B．QUOTE𝑓𝑥fx在QUOTE−∞,+∞−∞,+∞上单调递增C．QUOTE𝑥=0x=0是QUOTE𝑓𝑥fx的唯一零点 D．QUOTE𝑓𝑥fx是周期函数10．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（）A． B． C． D．11．已知定义在上的函数满足，设，若的最大值和最小值分别为和，则（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．13．设函数是上的偶函数，且在上单调递减，则的最小值为（）A． B． C． D．14．已知当时，，则以下判断正确的是（）．A． B．C． D．与的大小关系不确定15．函数在区间上的最大值为10，则函数在区间上的最小值为16、已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．17、已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为18、已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________19．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________．20.已知函数若为奇函数，则_________.2023高考一轮复习讲与练07函数的奇偶性与周期性练高考明方向1、【2022年新高考I卷第12题】2、【2022年新高考I卷8题】3、【2022年新高考I卷8题】4．(2023年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．答案：B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B5．(2023年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 ()A． B． C． D．答案：D【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．，所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．6、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数，则f(x)A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减答案：D【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.7、【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是A． B．C． D．答案：D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或.解得或，所以满足的的取值范围是，8．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）答案：C【解析】是定义域为的偶函数，．，，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C．9．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为 ()A．B．C． D．答案：B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又，排除选项A、D，故选B．【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。10．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．答案：【解析】由题意知是奇函数，且当时，，又因为，，所以，两边取以为底数的对数，得，所以，即．11．【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．答案：【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.12、【2019年高考江苏】设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是▲.答案：【解析】作出函数，的图象，如图：由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，∵两点连线的斜率，∴，综上可知，满足在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为.13．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 ()A． B．0 C．2 D．50答案：C解析：因为是定义域为的奇函数，且满足，所以，即，所以，，因此是周期函数且．又，且，所以，所以，故选C．14．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是 ()A． B． C． D．答案：D【解析】因为为奇函数且在上单调递减,要使成立,则满足,所以由得,即使成立的满足,选D．【点评】奇偶性与单调性的综合问题,要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题,若在上为单调递增的奇函数,且,则,反之亦成立．15．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数满足，若函数与图像的交点为，则 ()A． B． C． D．答案：B【解析】的图像的对称中心为又函数满足，所以图像的对称中心为：所以，故选Ｂ讲典例备高考函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性奇函数的定义偶函数的定义函数的对称性奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断周期性的应用类型一、奇函数、偶函数的判断基础知识：1、奇函数、偶函数的定义奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2、常用结论（1）①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)奇函数的特殊性质①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0.②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c.基本题型：1．（利用定义判断函数奇偶性）下列函数中，是偶函数，且在上是增函数的是（）A． B． C． D．答案：B【详解】对于A中，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数在单调递减，则在区间单调递增，所以B是正确的；对于C中，函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，不符合题意；对于D中，由函数，可得函数在单调递减，不符合题意.2．（利用定义、图象判断函数奇偶性）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))【详解】(1)因为f(x)有意义，则满足eq\f(1－x,1＋x)≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．(2)法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．法二：图象法：作出f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．3．（利用性质法判断奇偶性）设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数答案：C【详解】是奇函数，是偶函数，，对于A，，故是奇函数，故A错误；对于B，，故是偶函数，故B错误；对于C，，故是奇函数，故C正确；对于D，，故是偶函数，故D错误.4．（利用定义、性质判断函数奇偶性）(多选)设函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，则下列结论正确的有()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案：ABC【详解】∵f(x)＝eq\f(ex－e－x,2)，定义域为R，则f(－x)＝eq\f(e－x－ex,2)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，∴|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)|f(x)|为奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．故选ABC.基本方法：1、函数奇偶性的判定方法定义法图象法性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇类型二、奇函数、偶函数定义的应用1．（利用奇函数定义求值）函数为奇函数，则实数__________．答案：【解析】函数为奇函数，，即，则，即，，则，，则.当时，，则的定义域为：且，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意；当时，，满足题意，.2．（利用偶函数定义求值）若函数f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))为偶函数，则a＝________.答案：或－1【解析】由题意，令u(x)＝1－eq\f(a2＋1,ex＋1)，根据函数f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))为偶函数，可得u(x)＝1－eq\f(a2＋1,ex＋1)为奇函数，所以u(0)＝1－eq\f(a2＋1,e0＋1)＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.3、（利用奇偶性求解析式）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（）A． B．C． D．答案：C【解析】时，.当时，，，由于函数是奇函数，，因此，当时，，故选C.4．（利用奇偶性求解析式）已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝()A．4 B．3C．2 D．1答案：C【解析】由题意f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，由函数的奇偶性得f(－x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.5.（奇函数与单调性交汇）已知定义在上的函数满足，且在单调递增，对任意的，恒有，则使不等式成立的的取值范围是__________.答案：分析：首先判断函数的奇偶性、单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，计算可得.【详解】因为定义在上的函数满足，故，所以为奇函数，又在单调递增，根据奇函数的对称性，可知在上单调递增，又对任意的，恒有，，解得，所以，即。6．（奇函数与单调性交汇）定义在的函数满足下列两个条件：①任意的都有；②任意的，当，都有，则不等式的解集是（）A． B． C． D．答案：D【详解】根据题意，由①知函数为奇函数，由②知函数在上为减函数，所以可得函数在是奇函数也是减函数，所以不等式，移项得，变形，所以，得.7、（偶函数与单调性交汇）已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（）A． B．C． D．答案：D【解析】因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，因此，由得，又在上单调递减，则在上单调递增，所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得，因此，的解集是.8．（偶函数与单调性交汇）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数.设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知在上是增函数，在上是减函数.因为，，，所以，故.故选：A类型三、函数的周期性基础知识：1、周期函数的定义：周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2、函数周期性的常用结论（1）若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期（2）函数周期性的判定：①：可得为周期函数，其周期②的周期③的周期④（为常数）的周期⑤（为常数）的周期基本题型：1、（函数周期性的判断）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数答案：A【解析】因为f(4＋x)为偶函数，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直线x＝2和x＝4是f(x)的两条对称轴．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函数．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)为偶函数，于是f(x)是偶函数，故选A.2．（函数周期性的判断）(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x－1)为奇函数D．函数f(x－3)为偶函数答案：BC【解析】对于选项A、B，∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，则f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可知选项A错误，选项B正确．对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)．在f(x)＋f(2＋x)＝0中，将x换为x－1，得f(x－1)＋f(1＋x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴F(－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，故选项C正确．对于选项D，由题意不妨取满足条件的函数f(x)＝coseq\f(π,2)x，则f(x－3)＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－3))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(3π,2)))＝－sineq\f(π,2)x为奇函数，故选项D错误．3．（利用周期性求值）设是定义在上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则（）A．0 B．1 C． D．2答案：D分析：根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得；【详解】由题意可得：，，则.故选：D.4．（利用周期性求值）函数满足，且，则（）A． B． C． D．答案：C分析：由题意，所以令，化简，得到，从而，联立两式求解出的周期为6，从而，即可求出.【详解】由题意，取，则，即①，所以②，联立①②得，，所以，所以函数的周期为，由，所以.故选：C5．（利用周期性求解析式）设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0)上的表达式为()A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1答案：B【解析】当x∈[－2,0)时，－x∈(0,2]，∴－x＋4∈(4,6]，又∵当x∈(4,6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1.∴当x∈[－2,0)时，f(x)＝－2－x＋4－1.基本方法：1．函数周期性的判断方法判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．2．利用函数周期性求值的方法技巧根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．类型四、函数的对称性基础知识：1、（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）；（2）关于轴对称（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称。（4）若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．（5）若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)图象关于直线x＝a对称．（6）若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．2、对称性最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同基本题型：1．（函数对称性的判断）已知函数，则A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称答案：C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．【点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．2、（对称性与单调性交汇）已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是A． B．C． D．答案：C【解析】根据题意，的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，又由在区间上单调递增，可得，则，即，解得，即a的取值范围为.故选C．3、（对称性、周期性与奇偶性交汇）函数f(x)是定义在R上的非常数函数，满足f(2－x)＝f(2＋x)，且f(4＋x)为偶函数，则f(x)()A．是偶函数，也是周期函数B．是偶函数，但不是周期函数C．是奇函数，也是周期函数D．是奇函数，但不是周期函数答案：A【解析】因为f(4＋x)为偶函数，所以f(4＋x)＝f(4－x)．又f(2－x)＝f(2＋x)，故直线x＝2和x＝4是f(x)的两条对称轴．所以f(x)是周期T＝2|4－2|＝4的函数．所以f(x)＝f(x＋4)，而f(4＋x)为偶函数，于是f(x)是偶函数，故选A.【点评】双对称函数具有周期性；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)和(b,0)对称(b>a)，则2(b－a)是函数y＝f(x)的周期；若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a和点(b,0)对称(b>a)，则4(b－a)是函数y＝f(x)的周期．4、（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称.若当时，，则（）A．0 B．1 C．2 D．4答案：C【解析】是定义在上的奇函数，的图像关于直线对称，，，是周期为的周期函数，.5、（对称性、周期性与奇偶性交汇）（多选题）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数答案：ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.6.（对称性、周期性与奇偶性交汇）已知函数对满足，且，若的图象关于对称，，则=____________．答案：【解析】分析：先由对称性可得是偶函数，再利用赋值求得的值，从而可判断周期性，答案易得.【详解】因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，即是偶函数.对于，令，可得，又，所以，则.所以函数对满足.所以.所以，即是周期为的周期函数.所以，.所以.故答案为：.新预测破高考1、（多选题）下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）A． B． C． D．答案：AD【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.2．已知函数，则不等式的解集为（）A．B． C． D．答案：D【解析】分析：确定函数为奇函数和增函数，化简得到，解得答案.【详解】，，函数为奇函数，当时，，函数单调递增，函数连续，故在上单调递增.，故，即，解得.3、已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（）A．-15 B．-7 C．3 D．15答案：A【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称，则,解得，因为奇函数当时,，则。4、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x－1)＝f(x＋1)＝f(1－x)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝e－x.设a＝f(logeq\f(1,2)3)，b＝f(log210)，c＝f(log2200)，则()A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a答案：C【解析】∵f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)的周期为2.又∵f(x－1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数，∴a＝f(log23)＝f(log23－2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,4)))，b＝f(log210)＝f(log210－4)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(5,8)))，c＝f(log2200)＝f(log2200－8)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(25,32))).∵－1<log2eq\f(5,8)<log2eq\f(3,4)<log2eq\f(25,32)<0，且函数f(x)在[－1,0]上是减函数，∴b>a>c.5、若函数是奇函数，则使的的取值范围为（）A． B．C． D．答案：A【解析】根据题意，函数是奇函数，则，即，可得，则，有，解可得，即函数的定义域为，设，则，，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，若，即，解可得，则，即，解得，又由，则有，即的取值范围为；6．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A． B．C． D．答案：AB【详解】因为，定义域为，且，所以函数是奇函数，设，则，所以时，，又因为函数是奇函数，所以函数在上单调递减，故选项A正确；由函数的图像可知：函数关于原点对称且单调递减，故选项B正确；而选项中的函数是非奇非偶函数，故选项C错误；对于函数，定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数是奇函数，设，则，所以时，，所以函数在上单调递增，又因为函数是奇函数，，所以函数在上也单调递增，但是不满足题意.7．已知、都是定义在上的函数，且为奇函数，的图像关于直线对称，则下列说法中正确的有（）A．y=gfx+1为偶函数 C．的图像关于直线对称 D．y=fgx+1为偶函数答案：ACD【详解】因为为奇函数，所以，因为的图像关于直线对称，所以，A项：gf−x+1=g−fx+1=gfx+1，则函数y=gfx+1为偶函数，A正确；B项：gf−x=g−fx≠−g8．（多选题）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（）A． B． C． D．答案：AC【详解】对A，开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，在上是增函数，故A正确；对B，为奇函数，故B错误；对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；对D，令，为偶函数，当，为减函数，故D错误，9、关于函数QUOTE𝑓(𝑥)=𝑥−sin𝑥f(x)=x−sinxA．QUOTE𝑓𝑥fx是奇函数 B．QUOTE𝑓𝑥fx在QUOTE−∞,+∞−∞,+∞上单调递增C．QUOTE𝑥=0x=0是QUOTE𝑓𝑥fx的唯一零点 D．QUOTE𝑓𝑥