人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题08函数的性质：单调性、奇偶性、最大(小)值(原卷版+解析)

专题08函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值考点预测：1.单调性与最大（小）值（1）增函数设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）减函数设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（3）单调性、单调区间、单调函数如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：=1\*GB3①设值：设，且；=2\*GB3②作差：；=3\*GB3③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；=4\*GB3④判断符号，得出函数的单调性.（5）函数的最大值与最小值=1\*GB3①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称M是函数的最大值.=2\*GB3②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称是函数的最小值.2.奇偶性（1）偶函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：=1\*GB3①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；=2\*GB3②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；=3\*GB3③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.（2）奇函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：=1\*GB3①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；=2\*GB3②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；=3\*GB3③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；=4\*GB3④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.【典型例题】例1．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）例2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．例3．(2023·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．例4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，．(1)求的值：(2)证明在R上为增函数；(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是单调递减的，那么在上是（

）A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增3．(2023·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（

）A．－506 B．506 C．2022 D．20248．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D．若的定义域为，则的定义域为10．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，则（

）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数为奇函数D．是函数图象的对称轴11．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则在上单调递减 B．若，无最大值，也无最小值C．若，则 D．若，则12．(2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．为奇函数C．在区间上有最大值D．的解集为三、填空题13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．14．(2023·全国·高一专题练习）对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如，．如果，则的取值范围是_________.15．(2023·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．16．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．四、解答题17．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数.(1)若，判断的奇偶性并加以证明.(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.18．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.20．(2023·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a的取值范围．21．(2023·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；(2)请利用函数的对称性的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）22．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．(1)若，试比较与的大小．(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．专题08函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值考点预测：1.单调性与最大（小）值（1）增函数设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）减函数设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（3）单调性、单调区间、单调函数如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：=1\*GB3①设值：设，且；=2\*GB3②作差：；=3\*GB3③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；=4\*GB3④判断符号，得出函数的单调性.（5）函数的最大值与最小值=1\*GB3①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称M是函数的最大值.=2\*GB3②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称是函数的最小值.2.奇偶性（1）偶函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：=1\*GB3①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；=2\*GB3②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；=3\*GB3③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.（2）奇函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：=1\*GB3①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；=2\*GB3②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；=3\*GB3③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；=4\*GB3④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.【典型例题】例1．(2023·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）【解析】（1）因为在上是奇函数，所以恒成立，即恒成立.所以恒成立，所以.（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上的值得范围为，其中时，，函数在上单调递增，所以函数在上的值域为，其中当时，；所以当时，，当时，.（3）因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，当时，当时，令，可得因为当，时，函数既有最大值又有最小值，所以.例2．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，故，故当x＞0时，．（2）由，得，故或．如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，故不等式的解集为．例3．(2023·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．【解析】（1）取，得，所以．取，，得，于是，所以函数是奇函数，所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（0，1）．（2）设，则，故，而，所以在R上是增函数，由，得，解得或．所以不等式的解集为．例4．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.（3）因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集为.例5．(2023·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，．(1)求的值：(2)证明在R上为增函数；(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．【解析】（1）令，则，所以；（2）令，，且，则，所以，故，所以在R上是增函数；（3）因为在上为增函数，所以在上为增函数，故，，所以，因为，，所以，又因为，所以上述等号不成立，故．【过关测试】一、单选题1．(2023·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意，在上单调递减.则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：B.2．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是单调递减的，那么在上是（

）A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增答案：A【解析】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，可知在上单调递增，又，即2为函数的一个周期，故在上单调递增，故选：A3．(2023·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为函数是奇函数，所以，因为，所以，当时，；因为当时，，所以所以.故选：D.4．(2023·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得函数图象的对称轴是直线，又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，则，解得．故选：B.5．(2023·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】当a=0时，，不符合题意.当a>0时，设，则函数，因为在区间上单调递减，要使函数在上单调递减，则，解得.当a<0时，在区间上为增函数，要使函数在上单调递减，则，解得a<0.综上，a的取值范围为.故B，C，D错误.故选：A.7．(2023·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（

）A．－506 B．506 C．2022 D．2024答案：B【解析】函数，令，因为，所以为奇函数，又在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，所以的最大值为，最小值为，所以，则t＝506．故选：B8．(2023·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】，在上单调递减，又为偶函数，，，，解得：或，的解集为.故选：D.二、多选题9．(2023·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D．若的定义域为，则的定义域为答案：ABC【解析】函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；当是奇函数时，可能无意义，比如，故B不正确；因为是增函数，所以，解得，故C不正确；因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故D正确.故选：ABC.10．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，则（

）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数为奇函数D．是函数图象的对称轴答案：ACD【解析】.对A，若，则，故A正确；对B，若，无奇偶性，故B错误；对C，若，则，故C正确；对D，若，所以，得，故正确.故选：ACD11．(2023·浙江·永嘉中学高一竞赛）设函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则在上单调递减 B．若，无最大值，也无最小值C．若，则 D．若，则答案：ABC【解析】若，则且，，，则，故在上单调递减，故A正确；若，则当且趋于时，趋于；当且趋于时，趋于，故无最大值，也无最小值，故B正确；若，则当时，，故，即，故C正确；若，举反例：，则，故.事实上，当时，，故D错误.故选：ABC12．(2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．为奇函数C．在区间上有最大值D．的解集为答案：ABD【解析】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取，x2∈R，且，则，，所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确.故选：ABD．三、填空题13．(2023·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．答案：【解析】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．故答案为：.14．(2023·全国·高一专题练习）对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如，．如果，则的取值范围是_________.答案：．【解析】由题意，如果，可得不等式组，解得，即实数的取值范围是．故答案为：．15．(2023·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．答案：【解析】，，令，，依题意，，，而函数是二次项系数为正的二次函数，因此有，即，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：16．(2023·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．答案：【解析】由题意，的定义域为，所以的定义域为，则，解得．又是上的减函数，所以奇函数在上单调递减．由，得，所以，即，解得．综上，．故答案为：．四、解答题17．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数.(1)若，判断的奇偶性并加以证明.(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1），当时，，定义域为R，此时，所以为奇函数，当时，定义域为，且，所以为奇函数，综上：为奇函数.（2）,即，在上恒成立，整理为在上恒成立，令，当时，，所以，故实数的取值范围为.18．(2023·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.【解析】（1）因为对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），所以令a=b=0，得f（0）=0.（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（x-x）=f（x）+f（-x）.即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），即函数y=f（x）是奇函数.（3）设x1>x2，则x1-x2>0，f（x1-x2）<0而f（a+b）=f（a）+f（b），∴f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）<f（x2），∴函数y=f（x）是R上的减函数.19．(2023·全国·高一单元测试）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.【解析】（1）因为，所以，所以.（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增.20．(2023·全国·高一