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文档简介
【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1.常考点:复数、向量的模及夹角.主要考查复数的概念及运算,向量的模及夹角的运算,难度较小.2.轮考点:向量的线性运算及数量积.数量积侧重数量积的运算和其几何意义的理解;线性运算侧重于共线向量的应用.第1课时平面向量的概念及线性运算[考试要求]1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算,并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小称为向量的长度(或称模).(2)零向量:长度为0的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.规定:0与任意向量平行.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法三角形法则平行四边形法则交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法几何意义a-b=a+(-b)数乘|λa|=|λ||a|;当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb提醒:λ,μ为实数.3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.提醒:当a≠0时,定理中的实数λ才唯一.[常用结论]1.P为线段AB的中点,O为平面内任意一点⇔OP=12(2.若OP=vOA+μOB(μ,v为常数),O不在直线AB上,则P,A,B三点共线的充要条件是μ+v=1.3.若G为△ABC的重心,则有(1)GA+GB+GC=0;(2)AG4.对于任意两个向量a,b,都有(1)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|(向量三角不等式);(2)|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).一、易错易混辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)|a|与|b|是否相等,与a,b的方向无关. ()(2)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反. ()(3)若a∥b,b∥c,则a∥c. ()(4)若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上. ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1.(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是()A.AB+ACB.AB−ADC.AB+D.AM+MB[答案]D2.(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量,AB=3e,CD=-3e,|AD|=3,则四边形ABCD是()A.梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形B[∵AB=3e,CD=-3e,∴AB=-CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵|AD|=3,∴四边形ABCD是菱形,故选B.]3.(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a,b不共线,向量λa+b与a+2b共线,则实数λ=________.12[∵λa+b与a+2b∴存在实数μ,使得λa+b=μ(a+2b),∴λ=μ,4.(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的最大值为________,最小值为________.82[|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,当且仅当a,b同向时取等号,所以|a+b|max=8.又|a+b|≥||a|-|b||=|3-5|=2,当且仅当a,b反向时取等号,所以|a+b|min=2.]考点一平面向量的概念[典例1](1)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是()A.单位向量都相等B.平行向量不一定是共线向量C.对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|D.若a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b(2)(多选)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论正确的是()A.EF=CDB.AB与DE共线C.BD与CD是相反向量D.AE=12|AC(1)C(2)ABC[(1)对于A,单位向量的模都相等,方向不一定相同,故错误;对于B,平行向量就是共线向量,故错误;对于C,若a,b同向共线,|a+b|=|a|+|b|,若a,b反向共线,|a+b|<|a|+|b|,若a,b不共线,根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边,知|a+b|<|a|+|b|.综上可知,对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|,故正确;对于D,两个向量不能比较大小,故错误.故选C.(2)AE=12AC向量有关概念的四个关注点(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量不可以比较大小,但向量的模可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.(4)aa是与非零向量a[跟进训练]1.(2024·北京大兴模拟)设a,b是非零向量,“aa=bb”是“a=bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B[由aa=bb表示单位向量相等,得a,b同向,但不能确定它们的模是否相等,即不能推出a=由a=b表示a,b同向且模相等,则aa=b所以“aa=bb”是“a=b故选B.]【教师备选资源】(2023·湖南雅礼中学一模)下列说法正确的是()A.若a∥b,则a与b的方向相同或相反B.若a,b为非零向量,且aa=bb,则a与C.若a∥b,则存在唯一的实数λ使得a=λbD.若e1,e2是两个单位向量,且e1−e2B[对于A,当a=0时,a与b的方向可以既不相同也不相反,所以该选项错误;对于B,a,b为非零向量,aa表示与a方向相同的单位向量,bb表示与b方向相同的单位向量,因为aa=bb,所以对于C,当b=0,a为非零向量时,λ不存在,所以该选项错误;对于D,由e1−e2=1,得1+1−2e1·e2考点二平面向量的线性运算向量的线性运算[典例2](1)如图,O是▱ABCD两条对角线的交点,则下列等式成立的是()A.OA+OB=AB B.OAC.AO−OB=AB D.OA(2)在△ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则ADA.23a+13b B.13aC.13a-23b D.23a(1)D(2)A[(1)由向量减法的运算可得OA−OB=BA,又因为四边形ABCD为平行四边形,所以BA=(2)法一:如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点E,F,则四边形AEDF为平行四边形,所以AD=AE+AF,因为BD=13BC,所以AE=23AB,AF=13AC,所以法二:AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13法三:由BD=13BC,得AD−AB=13(AC−AB),所以AD=AB根据向量的线性运算求参数[典例3](2024·山西大同模拟)在△ABC中,D为BC的中点,M为AD的中点,BM=mAB+nAC,则m+n=()A.-12 B.1C.1 D.-1A[因为D是BC的中点,所以BD=12BC=12又因为M是AD的中点,所以BM=12BA+12又BM=mAB+nAC,所以m=-34,n=1所以m+n=-12平面向量线性运算的求解策略(1)共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用向量减法的几何意义,求首尾相连向量的和用三角形法则.(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的线性运算将目标向量表示出来,再进行比较,求参数的值.[跟进训练]2.(1)已知单位向量e1,e2,…,e2024,则|e1+e2+…+e2024|的最大值是________,最小值是________.(2)在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若AB=xAE+yAF(x,y∈R),则x-y=________.(1)20240(2)2[(1)当单位向量e1,e2,…,e2024方向相同时,|e1+e2+…+e2024|取得最大值,|e1+e2+…+e2024|=|e1|+|e2|+…+|e2024|=2024;当单位向量e1,e2,…,e2024满足e1+e2+…+e2024=0时,|e1+e2+…+e2024|的最小值为0.(2)由题意得AE=AB+BE=AF=AD+DF=因为AB=xAE+yAF,所以AB=x+所以x+y2=1,x2考点三向量共线定理的应用[典例4](1)已知AB=a+5b,BC=-3a+6b,CD=4a-b,则()A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线(2)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与边AB,AC交于M,N两点,设AM=xAB,AN=yAC,则A.3 B.4C.5 D.6(1)A(2)A[(1)由题意得BD=BC+CD=a+5b=AB,又BD,AB有公共点B,所以A,(2)延长AG交BC于点H(图略),则H为BC的中点,∵G为△ABC的重心,∴AG=23AH=23×12(∵M,G,N三点共线,∴13x+13y=1,即利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据.(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔AB,[跟进训练]3.(1)(2023·广东广州二模)在△ABC中,M是AC边上一点,且AM=12MC,N是BM上一点,若AN=19AC+mBCA.-13 B.-1C.16 D.(2)设P是△ABC所在平面内的一点,且CP=2PA,则△PAB与△PBC的面积之比是()A.13 B.1C.23 D.(1)D(2)B[(1)由AM=12MC,得AC=3由AN=19AC+mBC,得AN=19AC+m(AC−AB)=19+m因为B,N,M三点共线,所以13+3m+(-m)=1,解得m(2)∵CP=2PA,∴P为边AC靠近A点的三等分点,∴△PAB与△PBC的面积之比为12课时分层作业(三十二)平面向量的概念及线性运算一、单项选择题1.下列命题正确的是()A.|a|=|b|⇒a=b B.a≠b⇒|a|≠|b|C.a∥b⇒a=b D.|a|=0⇒a=0D[对于A,两个向量的模相等,但方向不一定相同,所以错误;对于B,若两个向量是相反向量,则两个向量的模相等,所以错误;对于C,向量平行不能得到向量相等,所以错误;对于D,若一个向量的模等于0,则这个向量是0,所以正确.]2.(2024·北京朝阳模拟)在△ABC中,BD=12DC,则A.14AB+34C.13AB+2B[∵BD=12DC,∴AD−AB=12(3.(2023·浙江湖州二模)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则MA+2MB+2MC+A.AB B.CDC.2AB D.1A[M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则MA=-MC,MD=-所以MA+2MB+2MC+MD=MA+MC+MC+MB+4.已知a,b是两个不共线的平面向量,向量AB=λa+b,AC=a-μb(λ,μ∈R),若AB∥AC,则有()A.λ+μ=2 B.λ-μ=1C.λμ=-1 D.λμ=1C[因为AB∥AC,所以存在实数k使AB=kAC.因为AB=λa+b,AC=a-μb(λ,μ∈R),所以λa+b=k(a-μb),可得λ=k,5.对于平面内n个起点相同的单位向量ai(i=1,2,…,n,n=2k,k∈N*),若每个向量与其相邻向量的夹角均为2πn,则a1与a2+…+anA.垂直 B.反向平行C.同向平行 D.无法确定B[根据题意可得a1+a2+…+an=0,所以a2+…+an=-a1,所以a1与a2+…+an的位置关系为反向平行.故选B.]6.(2024·江苏南通模拟)若向量a,b满足|a+b|=|a|+|b|,则下列结论一定正确的是()A.a=0B.存在实数λ,使得a=λbC.存在实数m,n,使得ma=nbD.|a-b|=|a|-|b|C[当a≠0且b≠0时,由|a+b|=|a|+|b|,可知a,b共线,且同向,故存在实数λ,使得a=λb(λ>0),令λ=nm,其中m,n同号,即a=nmb,即ma=nb,则存在实数m,n,使得ma=nb,当a≠0,b=0时,选项A,B错误;当a=0,b≠0时,|a-b|≠|a|-|7.P是△ABC所在平面上一点,满足PA+PB+PC=2AB,△ABC的面积是S1,△PABA.S1=4S2 B.S1=3S2C.S1=2S2 D.S1=S2B[∵PA+PB+PC=2AB∴3AP=BC,∴AP∥BC且方向相同,设AP与BC的距离为h,∵S△PAB=12|AP|·h,S△ABC=12|BC|·h,又∵|BC|=3|AP|,∴S△PAB=13S△ABC,S1=3S8.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,BF=2FO,且FC=λFD+μFE,则λ+μ等于()A.1 B.2C.3 D.4D[∵FC=FO+OC=4FO=4×12(FD+FE)=2FD+2FE,∴λ=μ=2,二、多项选择题9.已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列等式成立的是()A.|MA|=|MB|=|MC|B.MA+MBC.BM=2D.S△MBC=13S△BD[如图,M为△ABC的重心,则MA+MB+BM=BD+DM=BD+13(由DM=13AD得S△MBC=13S△ABC10.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若BM=13BC,则AMB.若AM=2AC-3AB,则M,B,C三点共线C.若AM=λ(AB+AC),BM=(1-2μ)BC,λ,μ∈R,则λ+μD.若AM=xAB+yAC且x+y=13,则△MBC的面积是△ABC面积的ACD[A选项,AM=AB+BM=AB+13BCB选项,假设M,B,C三点共线,则MB=λBC,即AB−AM=λ(AC−AB),整理得AM=-λAC+(1+λ)AB,故当λ=-2时,即AM=2AC−AB,与条件中的AM=2AC-3AB不一致,所以C选项,根据AM=λ(AB+AC可知点M在直线AD上,又由BM=(1-2μ)BC,可知点M在直线BC上,所以点M为边BC的中点,所以λ=12,1-2μ=12,即μ=14,所以λ+μD选项,因为AM=xAB+yAC,而x+y=13,所以3AM=3xAB+3yAC,其中3x+3y=1,不妨设AQ=3AM,则Q点在直线BC上,由于△MBC与△ABC同底,而高线之比等于MQ与AQ之比,即比值为2∶3,所以△MBC的面积是△ABC面积的2三、填空题11.(2024·四川成都模拟)e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1−e-8[依题意得,BC=−e1-3e2,于是BD=BC+CD=−e1−3e2+2e1−e2=e1-4e2,由A,B,D三点共线可知,存在λ,使得AB=λBD,即2e1+ke2=12.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交AB,AC所在直线于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+2[连接AO(图略),则AO=12(AB+AC)=m2AM+n2AN,因为M,O,N三点共线,所以m2+n13.在△ABC中,E为AC上一点,AC=3AE,P为线段BE上任一点(不含端点),若AP=xAB+yAC,则1xA.8 B.10C.13 D.16D[由题意,如图,AP=λAB+(1-λ)AE,且0<λ<1,又AC=3AE,所以AP=λAB+1−λ3AC,故x=λ,y=1−λ3,且0<λ<1,故1当且仅当1−λλ=9λ1−λ,即λ=所以1x+314.在平面上有△ABC及内一点O满足关系式:S△OBC·OA+S△OAC·OB+S△OAB·OC=0,即称为经典的“奔驰定理
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