第5章 第1课时　平面向量的概念及线性运算-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

【教师备选资源】新高考卷三年考情图解高考命题规律把握1．常考点：复数、向量的模及夹角．主要考查复数的概念及运算，向量的模及夹角的运算，难度较小．2．轮考点：向量的线性运算及数量积．数量积侧重数量积的运算和其几何意义的理解；线性运算侧重于共线向量的应用．第1课时平面向量的概念及线性运算[考试要求]1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：0与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法几何意义a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|；当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb提醒：λ，μ为实数．3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．[常用结论]1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔OP＝12(2．若OP＝vOA＋μOB(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1．3．若G为△ABC的重心，则有(1)GA+GB+GC＝0；(2)AG4．对于任意两个向量a，b，都有(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)；(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关． ()(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． ()(3)若a∥b，b∥c，则a∥c． ()(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． ()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是()A．AB+ACB．AB−ADC．AB+D．AM+MB[答案]D2．(人教A版必修第二册P23习题6.2T13改编)设e是单位向量，AB＝3e，CD＝－3e，|AD|＝3，则四边形ABCD是()A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形B[∵AB＝3e，CD＝－3e，∴AB＝－CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵|AD|＝3，∴四边形ABCD是菱形，故选B.]3．(人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________．12[∵λa＋b与a＋2b∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b),∴λ=μ，4．(人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．82[|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2．]考点一平面向量的概念[典例1](1)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是()A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b(2)(多选)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论正确的是()A．EF＝CDB．AB与DE共线C．BD与CD是相反向量D．AE＝12|AC(1)C(2)ABC[(1)对于A，单位向量的模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边，知|a＋b|<|a|＋|b|.综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误．故选C.(2)AE＝12AC向量有关概念的四个关注点(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的．(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)aa是与非零向量a[跟进训练]1．(2024·北京大兴模拟)设a，b是非零向量，“aa＝bb”是“a＝bA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由aa＝bb表示单位向量相等，得a，b同向，但不能确定它们的模是否相等，即不能推出a＝由a＝b表示a，b同向且模相等，则aa＝b所以“aa＝bb”是“a＝b故选B.]【教师备选资源】(2023·湖南雅礼中学一模)下列说法正确的是()A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反B．若a，b为非零向量，且aa＝bb，则a与C．若a∥b，则存在唯一的实数λ使得a＝λbD．若e1，e2是两个单位向量，且e1−e2B[对于A，当a＝0时，a与b的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；对于B，a，b为非零向量，aa表示与a方向相同的单位向量，bb表示与b方向相同的单位向量，因为aa＝bb，所以对于C，当b＝0，a为非零向量时，λ不存在，所以该选项错误；对于D，由e1−e2＝1，得1+1−2e1·e2考点二平面向量的线性运算向量的线性运算[典例2](1)如图，O是▱ABCD两条对角线的交点，则下列等式成立的是()A．OA+OB＝AB B．OAC．AO−OB＝AB D．OA(2)在△ABC中，BD＝13BC，若AB＝a，AC＝b，则ADA．23a＋13b B．13aC．13a－23b D．23a(1)D(2)A[(1)由向量减法的运算可得OA−OB＝BA，又因为四边形ABCD为平行四边形，所以BA＝(2)法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD＝AE+AF，因为BD＝13BC，所以AE＝23AB，AF＝13AC，所以法二：AD＝AB+BD＝AB+13BC＝AB+13法三：由BD＝13BC，得AD−AB＝13(AC−AB)，所以AD＝AB根据向量的线性运算求参数[典例3](2024·山西大同模拟)在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，BM＝mAB＋nAC，则m＋n＝()A．－12 B．1C．1 D．－1A[因为D是BC的中点，所以BD＝12BC＝12又因为M是AD的中点，所以BM＝12BA+12又BM＝mAB＋nAC，所以m＝－34，n＝1所以m＋n＝－12平面向量线性运算的求解策略(1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值．[跟进训练]2．(1)已知单位向量e1，e2，…，e2024，则|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是________．(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，则x－y＝________．(1)20240(2)2[(1)当单位向量e1，e2，…，e2024方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；当单位向量e1，e2，…，e2024满足e1＋e2＋…＋e2024＝0时，|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值为0.(2)由题意得AE＝AB+BE＝AF＝AD+DF＝因为AB＝xAE＋yAF，所以AB＝x+所以x+y2=1，x2考点三向量共线定理的应用[典例4](1)已知AB＝a＋5b，BC＝－3a＋6b，CD＝4a－b，则()A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线(2)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设AM＝xAB，AN＝yAC，则A．3 B．4C．5 D．6(1)A(2)A[(1)由题意得BD＝BC+CD＝a＋5b＝AB，又BD，AB有公共点B，所以A，(2)延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，∵G为△ABC的重心，∴AG＝23AH＝23×12(∵M，G，N三点共线，∴13x+13y＝1，即利用向量共线定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据．(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔AB，[跟进训练]3．(1)(2023·广东广州二模)在△ABC中，M是AC边上一点，且AM＝12MC，N是BM上一点，若AN＝19AC＋mBCA．－13 B．－1C．16 D．(2)设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积之比是()A．13 B．1C．23 D．(1)D(2)B[(1)由AM＝12MC，得AC＝3由AN＝19AC＋mBC，得AN＝19AC＋m(AC−AB)＝19+m因为B，N，M三点共线，所以13+3m＋(－m)＝1，解得m(2)∵CP＝2PA，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积之比为12课时分层作业(三十二)平面向量的概念及线性运算一、单项选择题1．下列命题正确的是()A．|a|＝|b|⇒a＝b B．a≠b⇒|a|≠|b|C．a∥b⇒a＝b D．|a|＝0⇒a＝0D[对于A，两个向量的模相等，但方向不一定相同，所以错误；对于B，若两个向量是相反向量，则两个向量的模相等，所以错误；对于C，向量平行不能得到向量相等，所以错误；对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确．]2．(2024·北京朝阳模拟)在△ABC中，BD＝12DC，则A．14AB+34C．13AB+2B[∵BD＝12DC，∴AD−AB＝12(3．(2023·浙江湖州二模)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA＋2MB＋2MC+A．AB B．CDC．2AB D．1A[M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则MA＝－MC，MD＝－所以MA＋2MB＋2MC+MD＝MA+MC+MC+MB+4．已知a，b是两个不共线的平面向量，向量AB＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，若AB∥AC，则有()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1C[因为AB∥AC，所以存在实数k使AB＝kAC.因为AB＝λa＋b，AC＝a－μb(λ，μ∈R)，所以λa＋b＝k(a－μb)，可得λ=k，5．对于平面内n个起点相同的单位向量ai(i＝1，2，…，n，n＝2k，k∈N＊)，若每个向量与其相邻向量的夹角均为2πn，则a1与a2＋…＋anA．垂直 B．反向平行C．同向平行 D．无法确定B[根据题意可得a1＋a2＋…＋an＝0，所以a2＋…＋an＝－a1，所以a1与a2＋…＋an的位置关系为反向平行.故选B.]6．(2024·江苏南通模拟)若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是()A．a＝0B．存在实数λ，使得a＝λbC．存在实数m，n，使得ma＝nbD．|a－b|＝|a|－|b|C[当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝nm，其中m，n同号，即a＝nmb，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|7．P是△ABC所在平面上一点，满足PA+PB+PC＝2AB，△ABC的面积是S1，△PABA．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2B[∵PA+PB+PC＝2AB∴3AP＝BC，∴AP∥BC且方向相同，设AP与BC的距离为h，∵S△PAB＝12|AP|·h，S△ABC＝12|BC|·h，又∵|BC|＝3|AP|，∴S△PAB＝13S△ABC，S1＝3S8．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，且FC＝λFD＋μFE，则λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4D[∵FC＝FO+OC＝4FO＝4×12(FD+FE)＝2FD＋2FE，∴λ＝μ＝2，二、多项选择题9．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是()A．|MA|＝|MB|＝|MC|B．MA+MBC．BM＝2D．S△MBC＝13S△BD[如图，M为△ABC的重心，则MA+MB+BM＝BD+DM＝BD+13(由DM＝13AD得S△MBC＝13S△ABC10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若BM＝13BC，则AMB．若AM＝2AC－3AB，则M，B，C三点共线C．若AM＝λ(AB+AC)，BM＝(1－2μ)BC，λ，μ∈R，则λ＋μD．若AM＝xAB＋yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ABC面积的ACD[A选项，AM＝AB+BM＝AB+13BCB选项，假设M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB−AM＝λ(AC−AB)，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)AB，故当λ＝－2时，即AM＝2AC−AB，与条件中的AM＝2AC－3AB不一致，所以C选项，根据AM＝λ(AB+AC可知点M在直线AD上，又由BM＝(1－2μ)BC，可知点M在直线BC上，所以点M为边BC的中点，所以λ＝12，1－2μ＝12，即μ＝14，所以λ＋μD选项，因为AM＝xAB＋yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB＋3yAC，其中3x＋3y＝1，不妨设AQ＝3AM，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与AQ之比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的2三、填空题11．(2024·四川成都模拟)e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1−e－8[依题意得，BC＝−e1－3e2，于是BD＝BC+CD＝−e1−3e2+2e1−e2＝e1－4e2，由A，B，D三点共线可知，存在λ，使得AB＝λBD，即2e1＋ke2＝12．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋2[连接AO(图略)，则AO＝12(AB＋AC)＝m2AM＋n2AN，因为M，O，N三点共线，所以m2＋n13．在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为线段BE上任一点(不含端点)，若AP＝xAB＋yAC，则1xA．8 B．10C．13 D．16D[由题意，如图，AP＝λAB＋(1－λ)AE，且0<λ<1，又AC＝3AE，所以AP＝λAB+1−λ3AC，故x=λ，y=1−λ3，且0<λ<1，故1当且仅当1−λλ＝9λ1−λ，即λ＝所以1x+314．在平面上有△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，即称为经典的“奔驰定理