人教A版普通高中数学一轮复习28课时练习含答案

课时质量评价(二十八)1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于()A．2 B．－2C．－12 D．C解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在实数k(k≠0)，使得ka＝b，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，所以2k=1，-k=λ，解得λ2．(多选题)(2024·济宁模拟)已知A，B，C是三个不同的点，OA＝a－b，OB＝2a－3b，OC＝3a－5b，则下列结论正确的是()A．AC＝2AB B．AB＝C．AC＝3BC D．A，B，C三点共线ABD解析：由题可得AB＝OB-OA＝a－2b，AC＝OC-OA＝2a－4b，BC＝OC-OB＝a－2bAB＝BC，故B正确；AC＝2BC，故C错误；由AC＝2AB可得AC∥AB.又A为公共点，所以A，B，C三点共线，故D正确．3．若向量OA＝3OB－2OC(O，A，B，C互不重合)，则ACBCA．2 B．2C．32 D解析：由已知可得OA-OB＝2(OB-OC)，即因为CA＝CB+BA，所以CA＝3CB，则4．已知平面内一点P及△ABC，若PA+PB+PC＝AB，则点PA．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部C解析：由PA+PB+PC＝AB，得PA+PB+PC＝PB-PA，5．(2024·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设xAB＝AM，yAC＝AN，则1xA．3 B．4C．5 D．6A解析：延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点．因为G为△ABC的重心，所以AG＝23AH＝23×12(AB+AC)＝13(AB因为M，G，N三点共线，所以13x＋13y＝1，即1x6．已知A，B，C三点共线，且AC＝3BC，若AB＝λCB，则λ＝．－2解析：已知点A，B，C三点共线，且AC＝3BC，所以BC-BA＝3BC，即－BA＝2BC，故AB＝－2CB，所以7．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为．13解析：因为向量ta＋b与a＋3b所以存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)．因为向量a，b不平行，所以t=k，1=3k，解得t＝k8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM＝35AB＋25AC，则△ABM与△2∶5解析：因为AM＝35AB＋所以AM-AB＝25(即BM＝25所以点M在边BC上，且|BM|＝25|BC故S△ABMS△ABC＝BM所以△ABM与△ABC的面积之比为2∶5.9．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA+nOB(m，n∈(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA-OB所以OP-OB＝m(OA即BP＝mBA，所以BP与BA共线．又因为BP与BA有公共点B，则A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得BP＝λBA，所以OP-OB＝λ(OA所以OP＝λOA＋(1－λ)OB①.又OP＝mOA+nOB所以由①②得λOA＋(1－λ)OB＝mOA+因为OA，所以λ=m，1-λ=n，所以m10．(多选题)(2024·石家庄模拟)下列说法，正确的为()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，若2OA+OB＋3OC＝0，则S△AOC∶S△ABC＝1C.两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λbBC解析：对于A，若a∥b，b∥c，则a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共线，故错误；对于B，若2OA+OB＋3OC＝0，延长OA到A′，使得OA′＝2OA，延长OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O为△BA′设△AOC，△BOA，△BOC的面积分别为x，y，z，则△A′OB的面积为2y，△C′OB的面积为3z，△A′OC′的面积为6x.由三角形的重心的性质可得2y＝3z＝6x.则S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正确；对于C，两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则|a－b|2＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cos〈a，b〉＝－1，所以a与b共线且反向，正确；对于D，若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb，不正确，比如a≠0，b＝0，不存在实数λ.11．(数学与生活)图1是世界最高桥－－贵州北盘江斜拉桥，图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8m，BO＝16m，PO＝12m，PB⊥PC.根据物理学知识得12(PA+PB)＋12(PC+PDA．28m B．20mC．31m D．22mD解析：因为PB⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC.因为BO＝16m，PO＝12m，所以OC＝9m.设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N.因为12(PA+PB)＋12(所以PM+PN＝2PO，所以O为线段因为AB＝8m，所以MO＝20m，即ON＝20m，所以CD＝22m．12．(多选题)(数学与文化)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是()A．GH＝2OGB．GA+C．设BC边的中点为D，则有AH＝3ODD．OA＝OB＝OCAB解析：由题意作图，如图所示．对于A，根据欧拉线定理知，O，G，H三点共线，且GH＝2OG，所以GH＝2OG，故A正确．对于B，取BC的中点D，由题意得GB+GC＝2GD＝－所以GA+对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以|AH|＝2|OD|.因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD.所以AH＝2OD，故C错误．对于D，向量OA，13．(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若BM＝13BC，则AM＝1B．若AM＝2AC－3AB，则点M，B，C三点共线C．若点M是△ABC的重心，则MA+D．若AM＝xAB+yAC且x＋y＝13，则△MBC的面积是△ACD解析：对于A，AM＝AB+BM＝AB＋13BC＝AB＋13(AC-对于B，假设点M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB-AM＝λ(AC-AB)，整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)·AB，当λ＝－2时，AM＝2AC-AB，与条件中的AM＝2AC－3AB不一致，所以点对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，所以－2MH＝MA.又MB+MC＝2MH，所以对于D，由于AM＝xAB+yAC，而x＋y＝13，所以3AM＝3xAB＋3yAC，其中3x＋3y＝1.不妨设AQ＝3AM，则点Q在直线BC上．由于△MBC与△ABC同底，而高之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC14．如图，在▱ABCD中，BM＝23BC，AN＝14AB，(1)试用向量a，b来表示DN，(2)AM交DN于点O，若AO＝λOM，求λ的值．解：(1)因为DN＝AN-AD，所以DN＝14AB-AD＝1因为AM＝AB+BM，所以AM＝AB＋23BC＝a＋2(2)因为D，O，N三点共线，所以存在实数k，使得DO＝kDN＝14ka－kb，所以AO＝AD+DO＝b＋14ka－kb＝14ka＋(1－因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，使得AO＝mAM＝ma＋23mb②由①②得14k=m，1-k=2所以AO＝314AM，AO＝311OM15．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mO