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文档简介
课时质量评价(二十八)1.已知向量e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ等于()A.2 B.-2C.-12 D.C解析:因为a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,所以存在实数k(k≠0),使得ka=b,所以k(2e1-e2)=e1+λe2.因为向量e1,e2是两个不共线的向量,所以2k=1,-k=λ,解得λ2.(多选题)(2024·济宁模拟)已知A,B,C是三个不同的点,OA=a-b,OB=2a-3b,OC=3a-5b,则下列结论正确的是()A.AC=2AB B.AB=C.AC=3BC D.A,B,C三点共线ABD解析:由题可得AB=OB-OA=a-2b,AC=OC-OA=2a-4b,BC=OC-OB=a-2bAB=BC,故B正确;AC=2BC,故C错误;由AC=2AB可得AC∥AB.又A为公共点,所以A,B,C三点共线,故D正确.3.若向量OA=3OB-2OC(O,A,B,C互不重合),则ACBCA.2 B.2C.32 D解析:由已知可得OA-OB=2(OB-OC),即因为CA=CB+BA,所以CA=3CB,则4.已知平面内一点P及△ABC,若PA+PB+PC=AB,则点PA.点P在线段AB上B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上D.点P在△ABC外部C解析:由PA+PB+PC=AB,得PA+PB+PC=PB-PA,5.(2024·山西大学附中诊断)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设xAB=AM,yAC=AN,则1xA.3 B.4C.5 D.6A解析:延长AG交BC于点H(图略),则H为BC的中点.因为G为△ABC的重心,所以AG=23AH=23×12(AB+AC)=13(AB因为M,G,N三点共线,所以13x+13y=1,即1x6.已知A,B,C三点共线,且AC=3BC,若AB=λCB,则λ=.-2解析:已知点A,B,C三点共线,且AC=3BC,所以BC-BA=3BC,即-BA=2BC,故AB=-2CB,所以7.设向量a,b不平行,向量ta+b与a+3b平行,则实数t的值为.13解析:因为向量ta+b与a+3b所以存在实数k使得ta+b=k(a+3b).因为向量a,b不平行,所以t=k,1=3k,解得t=k8.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足AM=35AB+25AC,则△ABM与△2∶5解析:因为AM=35AB+所以AM-AB=25(即BM=25所以点M在边BC上,且|BM|=25|BC故S△ABMS△ABC=BM所以△ABM与△ABC的面积之比为2∶5.9.已知O,A,B是不共线的三点,且OP=mOA+nOB(m,n∈(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.证明:(1)若m+n=1,则OP=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB所以OP-OB=m(OA即BP=mBA,所以BP与BA共线.又因为BP与BA有公共点B,则A,P,B三点共线.(2)若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使得BP=λBA,所以OP-OB=λ(OA所以OP=λOA+(1-λ)OB①.又OP=mOA+nOB所以由①②得λOA+(1-λ)OB=mOA+因为OA,所以λ=m,1-λ=n,所以m10.(多选题)(2024·石家庄模拟)下列说法,正确的为()A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,若2OA+OB+3OC=0,则S△AOC∶S△ABC=1C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向D.若a∥b,则存在唯一实数λ使得a=λbBC解析:对于A,若a∥b,b∥c,则a∥c不成立,比如b=0,a,c可以不共线,故错误;对于B,若2OA+OB+3OC=0,延长OA到A′,使得OA′=2OA,延长OC到C′,使得OC′=3OC,可得O为△BA′设△AOC,△BOA,△BOC的面积分别为x,y,z,则△A′OB的面积为2y,△C′OB的面积为3z,△A′OC′的面积为6x.由三角形的重心的性质可得2y=3z=6x.则S△AOC∶S△ABC=x∶(x+y+z)=1∶6,正确;对于C,两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则|a-b|2=(|a|+|b|)2,|a|2+|b|2-2|a|·|b|cos〈a,b〉=|a|2+|b|2+2|a||b|,整理得cos〈a,b〉=-1,所以a与b共线且反向,正确;对于D,若a∥b,则存在唯一实数λ使得a=λb,不正确,比如a≠0,b=0,不存在实数λ.11.(数学与生活)图1是世界最高桥--贵州北盘江斜拉桥,图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算,侧视图与实物有区别).在侧视图中,斜拉杆PA,PB,PC,PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上,另一端A,B,C,D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知AB=8m,BO=16m,PO=12m,PB⊥PC.根据物理学知识得12(PA+PB)+12(PC+PDA.28m B.20mC.31m D.22mD解析:因为PB⊥PC,又PO⊥BC,所以PO2=BO·OC.因为BO=16m,PO=12m,所以OC=9m.设线段AB的中点为M,线段CD的中点为N.因为12(PA+PB)+12(所以PM+PN=2PO,所以O为线段因为AB=8m,所以MO=20m,即ON=20m,所以CD=22m.12.(多选题)(数学与文化)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设在△ABC中,点O,H,G分别是其外心、垂心、重心,则下列四个选项中结论正确的是()A.GH=2OGB.GA+C.设BC边的中点为D,则有AH=3ODD.OA=OB=OCAB解析:由题意作图,如图所示.对于A,根据欧拉线定理知,O,G,H三点共线,且GH=2OG,所以GH=2OG,故A正确.对于B,取BC的中点D,由题意得GB+GC=2GD=-所以GA+对于C,由题意知AG=2GD,又GH=2OG,∠AGH=∠DGO,所以△AGH∽△DGO,所以|AH|=2|OD|.因为OD⊥BC,AH⊥BC,所以AH∥OD.所以AH=2OD,故C错误.对于D,向量OA,13.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若BM=13BC,则AM=1B.若AM=2AC-3AB,则点M,B,C三点共线C.若点M是△ABC的重心,则MA+D.若AM=xAB+yAC且x+y=13,则△MBC的面积是△ACD解析:对于A,AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13(AC-对于B,假设点M,B,C三点共线,则MB=λBC,即AB-AM=λ(AC-AB),整理得AM=-λAC+(1+λ)·AB,当λ=-2时,AM=2AC-AB,与条件中的AM=2AC-3AB不一致,所以点对于C,如图,取BC中点H,连接AH,若点M是△ABC的重心,则点M在AH上,且MA=2MH,所以-2MH=MA.又MB+MC=2MH,所以对于D,由于AM=xAB+yAC,而x+y=13,所以3AM=3xAB+3yAC,其中3x+3y=1.不妨设AQ=3AM,则点Q在直线BC上.由于△MBC与△ABC同底,而高之比等于MQ与AQ的比,即比值为2∶3,所以△MBC的面积是△ABC14.如图,在▱ABCD中,BM=23BC,AN=14AB,(1)试用向量a,b来表示DN,(2)AM交DN于点O,若AO=λOM,求λ的值.解:(1)因为DN=AN-AD,所以DN=14AB-AD=1因为AM=AB+BM,所以AM=AB+23BC=a+2(2)因为D,O,N三点共线,所以存在实数k,使得DO=kDN=14ka-kb,所以AO=AD+DO=b+14ka-kb=14ka+(1-因为A,O,M三点共线,所以存在实数m,使得AO=mAM=ma+23mb②由①②得14k=m,1-k=2所以AO=314AM,AO=311OM15.经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP=mO
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