人教A版普通高中数学一轮复习第2章第3节第1课时函数的奇偶性、周期性、对称性课件

第二章

函数第三节函数的奇偶性、周期性、对称性第1课时函数的奇偶性、周期性、对称性·考试要求·1．结合具体函数，了解奇函数、偶函数的概念和几何意义．2．结合具体函数，了解函数周期性的概念和几何意义．知识点一函数的奇偶性1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(

)(2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(

)(3)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(

)必备知识落实“四基”××√

√√√1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且

，那么函数f(x)就叫做偶函数关于

对称奇函数设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且

，那么函数f(x)就叫做奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点

√

函数的周期性周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

的正数，那么这个

就叫做f(x)的最小正周期f(x＋T)＝f(x)最小最小正数知识点三函数的对称性1．函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象(

)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称A

解析：由y＝log0.5x，得y＝－log2x，所以函数y＝log0.5x与y＝log2x的图象关于x轴对称．√2．若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(

)A．直线x＝0对称

B．直线y＝0对称C．直线x＝1对称

D．直线y＝1对称C

解析：函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的．因为f(x)与f(－x)的图象关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝

f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C.√1．(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．2．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．

3．函数对称性的3个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)或f(3a－x)＝f(x－a)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．应用1已知函数f(x)＝x3＋x＋m是定义在区间[－2－n，2n]上的奇函数，则m＋n＝(

)A．0 B．1C．2 D．4C

解析：由已知得－2－n＋2n＝0且f(0)＝0，所以n＝2，m＝0，此时f(x)＝x3＋x，x∈[－4，4]是奇函数，满足题意．故m＋n＝2.√

√

核心考点提升“四能”√√

√

√√√

反思感悟判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法，即根据奇函数、偶函数的定义来判断．(2)图象法，即利用奇函数、偶函数图象的对称性来判断．(3)性质法，即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断．

√(2)已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝(

)A．4 B．3C．2 D．1C

解析：由f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，得f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2.由函数的奇偶性得f(x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2.√

(4)(2024·哈尔滨模拟)若函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为__________．2

解析：依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0.而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.反思感悟应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式，先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求函数解析式中参数的值，利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得到关于参数的方程(组)，进而得出参数的值．

√

√

√反思感悟函数周期性问题的求解策略(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．1．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为(

)A．2 B．1C．－1 D．－2A

解析：因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)．又f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0，故f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.故选A.√2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为__________．5

解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)＝0，所以函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，则f(0)＝0.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.当x5＝4时，f(4)＝f(0)＝0，也符合要求．

函数图象的对称性【例4】(2024·日照期末)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(

)A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1A

解析：因为函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，所以f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．取x＝1，得f(1)＝2－f(1)，所以f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1.取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1.故选A.√反思感悟求解与函数图象的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数图象的对称轴或对称中心，大多是结合图象