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专题椭圆的常用二级结论椭圆的常用二级结论:1.焦点三角形问题:椭圆第一定义:。若点为椭圆:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别为左、右焦点,:(1)若F为椭圆的焦点,则且,焦点三角形周长为,面积。特别地当点P为短轴端点时,最大且也最大,.(2)且,(3)若点为椭圆上异于长轴端点的一点,,则离心率2.焦半径与焦点弦:椭圆第二定义:(为离心率)(1)通径:最短焦点弦(即垂直于长轴的焦点弦中最短的弦)且=eq\f(2b2,a).(2)焦半径坐标式:焦点在轴上,则;焦点在y轴上可以类比得出结果(口诀:”左加右减”,左右指左、右焦点;”上加下减”,上下指上、下焦点)(3)焦半径倾斜角式:①若F为椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点,为直线过焦点F的倾斜角且点A在轴上方,则,焦点弦长,(其中为通经)②若F为椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点,为直线过焦点F的倾斜角且点A在轴上方,则,焦点弦长,(其中为通经)③焦点弦长④过椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的焦点F作互相垂直的两条弦、,则。(3)以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.(4)以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.3.斜率之积:椭圆第三定义:(1)椭圆周角定理:直线过椭圆的对称中心且交椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)于两点(称为中心弦或椭圆直径),点为椭圆上异于的一点,则(其中均存在且不为0);(2)椭圆垂径定理:(即中点弦斜率)直线交椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)于两点,点为弦的中点,则。4.椭圆的切线问题(1)椭圆的切线方程:若点为椭圆:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上一点,则椭圆在点处的切线方程为;(2)椭圆的切点弦方程:若点为椭圆:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)外一点,过点作椭圆的两条切线交椭圆于两点,则切点弦的方程为。(3)若点为椭圆:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)内一点,过点作椭圆的弦(不过椭圆中心),分别过作椭圆的切线,则这两条切线的交点的轨迹方程为。(4)若是椭圆不垂直于对称轴的切线,为切点,则.(5)过椭圆:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)准线上一点作椭圆的两条切线,切点分别为,则切点弦必过相应的焦点且(6)若为椭圆的焦点弦,则过作椭圆的切线的交点必在相应的准线上;(7)椭圆的准线与长轴交于点,过作椭圆的两条切线,切点分别为,则切点弦就是椭圆的通经。(9)椭圆两焦点F1、F2分别到椭圆的任意一条切线的距离为且其乘积是定值,即;5.蒙日圆问题(1)若过椭圆C外一点作椭圆的两条切线互相垂直,则点的轨迹方程为即点P在蒙日圆上;(2)若点P为蒙日圆上任一点,过点P作椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两条切线交椭圆于两点,则,(垂径定理)(3)若点P为蒙日圆上任一点,过点P作椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两条切线交椭圆于两点,延长交圆于两点,则且平分切点弦6.椭圆光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后,反射光线
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