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文档简介
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列说法中,不正确的是()A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心2.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作,其有题译文如下:“有一根竹竿在太阳下的影子长尺.同时立一根尺的小标杆,它的影长是尺。如图所示,则可求得这根竹竿的长度为()尺A. B. C. D.3.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=10,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是()A.3:5 B.9:25 C.5:3 D.25:94.如果、是一元二次方程的两根,则的值是()A.3 B.4 C.5 D.65.如图,是的直径,点是上两点,且,连接,过点作,交的延长线于点,垂足为,若,则的半径为()A. B. C. D.6.如图,正五边形内接于⊙,为上的一点(点不与点重合),则的度数为()A. B. C. D.7.下列事件中,是随机事件的是()A.任意画两个圆,这两个圆是等圆 B.⊙O的半径为5,OP=3,点P在⊙O外C.直径所对的圆周角为直角 D.不在同一条直线上的三个点确定一个圆8.如图.已知的半径为3,,点为上一动点.以为边作等边,则线段的长的最大值为()A.9 B.11 C.12 D.149.受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素,“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”,2018年我国快递业务量为600亿件,预计2020年快递量将达到950亿件,若设快递平均每年增长率为x,则下列方程中,正确的是()A.600(1+x)=950 B.600(1+2x)=950C.600(1+x)2=950 D.950(1﹣x)2=60010.在△ABC中,若tanA=1,sinB=,你认为最确切的判断是()A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是等腰直角三角形C.△ABC是直角三角形D.△ABC是等边三角形二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在M处,∠BEF=70°,则∠ABE=_____度.12.不透明袋子中装有11个球,其中有6个红球,3个黄球,2个绿球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是__________.13.如图,一个小球由地面沿着坡度i=1:2的坡面向上前进了10m,此时小球距离出发点的水平距离为__m.14.如图,斜坡长为100米,坡角,现因“改小坡度”工程的需要,将斜坡改造成坡度的斜坡(、、三点在地面的同一条垂线上),那么由点到点下降了_________米(结果保留根号)15.已知线段a=4cm,b=9cm,则线段a,b的比例中项为_________cm.16.如图,直线∥轴,分别交反比例函数和图象于、两点,若S△AOB=2,则的值为_______.17.已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1,则它的另一个根是_____.18.在一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的红球和白球,其中有3个红球,且从布袋中随机摸出1个球是红球的概率是三分之一,则白球的个数是______三、解答题(共66分)19.(10分)如图1,AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线,过点A作AE⊥AD,交BD的延长线于点E.(1)求证:∠E=∠C;(2)如图2,如果AE=AB,且BD:DE=2:3,求cos∠ABC的值;(3)如果∠ABC是锐角,且△ABC与△ADE相似,求∠ABC的度数.20.(6分)如图,在A港口的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A港口沿着北偏东60°方向巡逻,到达C处时接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶2小时到达港口B.求A,B两港之间的距离(结果保留根号).21.(6分)解方程:
22.(8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.23.(8分)如图,以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连结PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.(1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CE•CP的值.24.(8分)计算:(1);(2)先化简,再求值.,其中a=2020;25.(10分)某市2017年对市区绿化工程投入的资金是5000万元,为争创全国文明卫生城,加大对绿化工程的投入,2019年投入的资金是7200万元,且从2017年到2019年,两年间每年投入资金的年平均增长率相同.(1)求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率;(2)若投入资金的年平均增长率不变,那么该市在2020年预计需投入多少万元?26.(10分)抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的解析式;(2)已知点D在第四象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,问在x轴上是否存在点P,使,若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】圆有无数条对称轴,但圆的对称轴是直线,故C圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的【详解】本题不正确的选C,理由:圆有无数条对称轴,其对称轴都是直线,故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的,正确的说法应该是圆有无数条对称轴,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴故选C【点睛】此题主要考察对称轴图形和中心对称图形,难度不大2、B【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.【详解】设竹竿的长度为x尺,∵太阳光为平行光,∴,解得x=45(尺)..故选:B.【点睛】本题考查的是相似三角形的应用,熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.3、C【分析】相似三角形的周长比等于对应的中线的比.【详解】∵△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,AD=10,A'D'=6,∴△ABC与△A'B'C'的周长比=AD:A′D′=10:6=5:1.故选C.【点睛】本题考查相似三角形的性质,解题的关键是记住相似三角形的性质,灵活运用所学知识解决问题.4、B【解析】先求得函数的两根,再将两根带入后面的式子即可得出答案.【详解】由韦达定理可得α+β=-3,又=3--=)=1+3=4,所以答案选择B项.【点睛】本题考察了二次方程的求根以及根的意义和根与系数的关系,根据得到的等量关系是解决本题的关键.5、D【分析】根据已知条件可知、都是含角的直角三角形,先利用含角的直角三角形的性质求得,再结合勾股定理即可求得答案.【详解】解:连接、,如图:∵∴∴∴在中,∵是的直径∴∴在中,,即∴∴∴∴的半径为.故选:D【点睛】本题考查了圆的一些基本性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理,添加适当的辅助线可以更顺利地解决问题.6、B【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】连接CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为72°,即∠COD=72°,同一圆中,同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半,故∠CPD=,故选B.【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质,解题的关键是熟知圆周角定理的应用.7、A【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件,根据定义即可判断.【详解】A.任意画两个圆,这两个圆是等圆,属于随机事件,符合题意;B.⊙O的半径为5,OP=3,点P在⊙O外,属于不可能事件,不合题意;C.直径所对的圆周角为直角,属于必然事件,不合题意;D.不在同一条直线上的三个点确定一个圆,属于必然事件,不合题意;故选:A.【点睛】本题考查了随机事件的定义,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.8、B【分析】以OP为边向下作等边△POH,连接AH,根据等边三角形的性质通过“边角边”证明△HPA≌△OPM,则AH=OM,然后根据AH≤OH+AO即可得解.【详解】解:如图,以OP为边向下作等边△POH,连接AH,∵△POH,△PAM都是等边三角形,∴PH=PO,PA=PM,∠PHO=∠APM=60°,∴∠HPA=∠OPM,∴△HPA≌△OPM(SAS),∴AH=OM,∵AH≤OH+AO,即AH≤11,∴AH的最大值为11,则OM的最大值为11.故选B.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质等,解此题的关键在于熟练掌握其知识点,难点在于作辅助线构造等边三角形.9、C【分析】设快递量平均每年增长率为,根据我国2018年及2020年的快递业务量,即可得出关于的一元二次方程,此题得解.【详解】设快递量平均每年增长率为x,依题意,得:600(1+x)2=1.故选:C.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.10、B【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A,∠B的值,再根据三角形内角和定理求出∠C即可判断三角形的形状。【详解】∵tanA=1,sinB=,∴∠A=45°,∠B=45°.∴AC=BC又∵三角形内角和为180°,∴∠C=90°.∴△ABC是等腰直角三角形.故选:B.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值.需要注意等角对等边判定等腰三角形。二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】根据折叠的性质,得∠DEF=∠BEF=70°,结合平角的定义,得∠AEB=40°,由AD∥BC,即可求解.【详解】∵将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,∴∠DEF=∠BEF=70°,∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°,∴∠AEB=180°﹣2×70°=40°.∵AD∥BC,∴∠EBF=∠AEB=40°,∴∠ABE=90°﹣∠EBF=1°.故答案为:1.【点睛】本题主要考查折叠的性质,平角的定义以及平行线的性质定理,掌握折叠的性质,是解题的关键.12、【解析】分析:根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.详解:∵袋子中共有11个小球,其中红球有6个,∴摸出一个球是红球的概率是,故答案为:.点睛:此题主要考查了概率的求法,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.13、.【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长.【详解】如图,∵AB=10米,tanA==.∴设BC=x,AC=2x,由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,即100=x2+4x2,解得x=2,∴AC=4米.故答案为4.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键.14、【分析】根据直角三角形的性质求出AC,根据余弦的定义求出BC,根据坡度的概念求出CD,结合图形计算,得到答案.【详解】在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
∴AC=AB=50,BC=AB•cos∠ABC=50,
∵斜坡BD的坡度i=1:5,
∴DC:BC=1:5,
∴DC=10,
则AD=50-10,
故答案为:50-10.【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键.15、6【分析】设比例中项为c,得到关于c的方程即可解答.【详解】设比例中项为c,由题意得:,∴,∴c1=6,c2=-6(不合题意,舍去)故填6.【点睛】此题考查线段成比例,理解比例中项的含义即可正确解答.16、1【分析】设A(a,b),B(c,d),代入双曲线得到k1=ab,k2=cd,根据三角形的面积公式求出cd-ab=1,即可得出答案.【详解】设A(a,b),B(c,d),代入得:k1=ab,k2=cd,∵S△AOB=2,∴,∴cd-ab=1,∴k2-k1=1,故答案为:1.【点睛】本题主要考查了对反比例函数系数的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积等知识点的理解和掌握,能求出cd-ab=1是解此题的关键.17、-1【解析】设另一根为,则1·=-1,解得,=-1,故答案为-1.18、6【分析】设白球的个数是x个,根据列出算式,求出x的值即可.【详解】解:设白球的个数是x个,根据题意得:解得:x=6.故答案为6.【点睛】本题考查了概率的知识.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.三、解答题(共66分)19、(1)证明见详解;(2);(3)30°或45°.【分析】(1)由题意:∠E=90°-∠ADE,证明∠ADE=90°-∠C即可解决问题.(2)延长AD交BC于点F.证明AE∥BC,可得∠AFB=∠EAD=90°,,由BD:DE=2:3,可得cos∠ABC=;(3)因为△ABC与△ADE相似,∠DAE=90°,所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角,推出∠ABC≠90°.接下来分两种情形分别求解即可.【详解】(1)证明:如图1中,∵AE⊥AD,∴∠DAE=90°,∠E=90°-∠ADE,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC,同理∠ABD=∠ABC,∵∠ADE=∠BAD+∠DBA,∠BAC+∠ABC=180°-∠C,∴∠ADE=(∠ABC+∠BAC)=90°-∠C,∴∠E=90°-(90°-∠C)=∠C.(2)解:延长AD交BC于点F.∵AB=AE,∴∠ABE=∠E,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,∴∠E=∠CBE,∴AE∥BC,∴∠AFB=∠EAD=90°,,∵BD:DE=2:3,∴cos∠ABC=;(3)∵△ABC与△ADE相似,∠DAE=90°,∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角,∴∠ABC≠90°.①当∠BAC=∠DAE=90°时,∵∠E=∠C,∴∠ABC=∠E=∠C,∵∠ABC+∠C=90°,∴∠ABC=30°;②当∠C=∠DAE=90°时,∠E=∠C=45°,∴∠EDA=45°,∵△ABC与△ADE相似,∴∠ABC=45°;综上所述,∠ABC=30°或45°.【点睛】本题属于相似形综合题,考查相似三角形的判定和性质,平行线的判定和性质,锐角三角函数等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.20、A,B间的距离为(20+20)海里.【分析】过点C作CD⊥AB于点D,根据题意可得,∠ACD=60°,∠BCD=45°,BC=20×2=40,然后根据锐角三角函数即可求出A,B间的距离.【详解】解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,根据题意可知:∠ACD=60°,∠BCD=45°,BC=20×2=40,∴在Rt△BCD中,CD=BD=BC=20,在Rt△ACD中,AD=CD•tan60°=20,∴AB=AD+BD=20+20(海里).答:A,B间的距离为(20+20)海里.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,解题的关键是掌握方向角的定义.21、x1=4,x2=-2【解析】试题分析:因式分解法解方程.试题解析:x2-2x-8=0(x-4)(x+2)=0x1=4,x2=-222、(1)见解析;(2)3【分析】(1)只要证明∠DBF=∠DAC,即可判断.(2)利用相似三角形的性质即可解决问题.【详解】(1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,∴∠DBF=∠DAC,∴△ACD∽△BFD.(2)∵tan∠ABD=1,∠ADB=90°∴=1,∴AD=BD,∵△ACD∽△BFD,∴,∴BF=AC=3【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定,同角的余角相等,直角三角形两锐角互余等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,利用新三角形的性质解决问题23、(1)PD是⊙O的切线.证明见解析.(2)1.【解析】试题分析:(1)连结OP,根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°,然后计算出∠PAD和∠D的度数,进而可得∠OPD=90°,从而证明PD是⊙O的切线;(2)连结BC,首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,然后可得AC长,再证明△CAE∽△CPA,进而可得,然后可得CE•CP的值.试题解析:(1)如图,PD是⊙O的切线.证明如下:连结OP,∵∠ACP=60°,∴∠AOP=120°,∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA=30°,∵PA=PD,∴∠PAO=∠D=30°,∴∠OPD=90°,∴PD是⊙O的切线.(2)连结BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵C为弧AB的中点,∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,∵AB=4,AC=Absin45°=.∵∠C=∠C,∠CAB=∠APC,∴△CAE∽△CPA,∴,∴CP•CE=CA2=()2=1.考点:相似三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系;直线与圆的位置关系;探究型.24、(1);(2),1.【分析】(1)把分式方程化为整式方程,即可求解;(2)根据分式的运算法则进行化简,再代入a即可求解.【详解】解:(1)去分母得:解得:检验:当时,∴是原分式方程的解;(2)=当时,原式=1.【点睛】此题主要考查分式方程与分式化简求值,解题的关键是熟知其运算法则.25、(1);(2)8640万元.【分析】(1)设平均增长率为x,根据题意可得2018年投入的资金是5000(1+x)万元,2019年投入的资金是5000(1+x)(1+x)万元,由2019年投入的资金是7200万元即可列出方程.,求解即可.(2)相当于数字7200增长了20%,列式计算.【详解】解:(1)设两年间每年投入资金的平均增长率为x,根据题意得,5000(1+x)2=7200解得,x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去)答:该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为20%;(2)根据题意得,7200(1+20%)=864
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