2023春步步高数学人教A版必修第二册第六章平面向量的概念

第六章平面向量及其应用

§6.1平面向量的概念

【学习目标】1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别2

会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、

平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.

【导语】

请同学们阅读课本第6页阅读与思考(大约3分钟)，同学们，从向量的发展史来看，向量的

出现对解决平面几何问题有重大的意义，尤其到现在在数学、物理、计算机科学等方面的应

用非常广泛，对于我们数学来说，主要是作为一种工具，用来解决平面几何和空间几何问题,

物理中我们也了解了矢量与标量之分，大家知道在计算机科学方面有哪些应用吗？比如说对

于大家手机中的任意一款APP,打开后，所显示的内容稍有不同，这是因为大家兴趣、爱好

等方面的不同，后台会有不同的推送，更是向量在大数据中的应用.

一、向量的概念及几何表示

【知识梳理】

1.向量的概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量.

2.向量的表示

(1)有向线段

具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素：起点、左向、长度.

以A为起点、8为终点的有向线段记作电，线段A8的长度叫做有向线段B的长度，记作所］.

(2)向量的表示

①几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向

表示向量的方向，向量B的大小称为向量Q的长度(或称模),记作仄瓦

②字母表示：向量可以用字母公仇c,…表示(印刷用黑体a,b,c,书写时用工，~b,7).

注意点：

(1)书写向量时带箭头.

(2)向量强调长度和方向两个元素.

(3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段

对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段.

（4）向量不能比较大小，它的模可以比较大小.

例1某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B,然后改变方向朝西北方走6个单位长

度到达点C,最后又向东走4个单位长度到达点。.试分别作出向量初，诙和比.

解根据题意，在平面内任取一点为A,按照题意要求方向，作线段A8=4,BC=6,CD=4,

则向量虎和⑦如图所示.

反思感悟作向量的方法

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向

量的终点.

跟踪训练1在如图所示的坐标纸中（每个小正方形的边长均为1）,用直尺和圆规画出下列向

量.

（1）|后|=3，点A在点。北偏西45。方向；

（2）|狗|=2/，点2在点。正南方向.

解（1）：|苏|=3,点A在点。北偏西45。方向，.•.以。为圆心，3为半径作圆与图中正方

形对角线0P的交点即为A点.

⑵,•,同=2吸=山2+22,点8在点。正南方向，.•.以。为圆心，图中。Q为半径作圆,

圆弧与OR的交点即为8点.

o

二、零向量和单位向量

【知识梳理】

1可量名称定义

零向量长度为。的向量，记作0

单位向量长度等于1个单位长度的向量

注意点：零向量不能说没有方向，它的方向是任意的.

例2（多选）下列说法正确的是（）

A.向最通与向量成的长度相等

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量的长度都为0

D.两个单位向量的长度相等

答案ACD

解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；

零向量的模都是0;单位向量的长度都是1个单位长度，故A,C,D正确.

反思感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.

跟踪训练2下列说法中正确的是（）

A.向量的模都是正实数

B.单位向量只有一个

C.向量的大小与方向无关

D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

答案C

解析零向量的模为0,故A不正确；单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；向量的

大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何,

它们都不能比较大小，故D不正确.

三、相等向量与共线向量

【知识梳理】

平行向量方向相同或相反的非零向量;向量。与方平行，记作规

（共线向量）定：零向量与任意向量平行

相等向量长度相等且方向相同的向量:向量。与分相等，记作

注意点：在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性.

例3如图所示，△ABC的三边均不相等，E,F,。分别是AC,AB,8c的中点.

(1)写出与时共线的向量；

(2)写出模与译的模相等的向量；

(3)写出与译相等的向量.

解(1)因为E,F分别是AC,A2的中点，

所以EF〃BC,EF=^BC.

又因为。是8c的中点，

所以与球共线的向量有沌，BD,DB,DC,CD,BC,CB.

(2)模与译的模相等的向量有元，BD,DB,DC,CD.

(3)与用'相等的向量有加，CD.

反思感悟相等向量与共线向量的探求方法

(1)相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.

(2)共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量,

注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.

跟踪训练3如图所示，四边形A8CQ和A8CE都是平行四边形.

(1)与向量访相等的向量为

(2)若|前|=3,贝”比|=.

答案⑴矗，DC(2)6

解析⑴在。ABCD和。ABCE中，

'：AB=ED,AB=DC,

：.ED=DC.

（2）由（1）知，ED=DC,

：.E,D,C三点共线，|的=|应）|+|的=2|矗|=6.

■课堂小结

1.知识清单：

（1）向量的概念及表示.

（2）向量的相关概念：零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）.

2.方法归纳：数形结合法.

3.常见误区：零向量和单位向量的方向容易混淆.

N随堂演练

1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的

图形是（）

A.单位圆B.一段弧

C.线段D.直线

答案A

2.若函=而，则四边形A8C。的形状为（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

答案A

解析因为函=而，

所以BA=C。且

所以四边形ABC。为平行四边形.

3.（多选）下列说法错误的为（）

A.共线的两个单位向量相等

B.相等向量的起点相同

C.若赢〃而，则一定有直线4B〃C。

D.若向量场，病共线，则点A,B,C必在同一直线上

答案ABC

解析A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不

相同；C错，直线AB与C。可能重合；D正确，AB与平行且有公共点B,则A,B,C

三点共线.

4.如图所示，设。是正方形ABC。的中心，则下列结论正确的有.（填序号）

①公二沆；

②Ab〃危；

③赢与加共线；

@AO=BO.

答案①②③

解析布与沅方向相同，长度相等，，①正确;

VA,O,C三点在一条直线上，

：.AO//AC,②正确；

'：AB//DC,与而共线，③正确；

最）与反）方向不同，...二者不相等，④错误.

课时对点练

基础巩固

1.（多选）下列说法正确的是（）

A.若a=0,则同=0

B.零向量是没有方向的

C.零向量与任意向量平行

D.零向量的方向是任意的

答案ACD

解析零向量的长度为0,方向是任意的，它与任何向量都平行，所以ACD正确，B错误.

2.下列命题中正确的有（）

A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量

B.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同

C.向量Q与不共线，则。与》都是非零向量

D.若⑷>|例,则a>b

答案C

解析温度没有方向，所以不是向量，故A错；由共线向量的定义可知，共线的向量，起点

不同，终点可能相同，故B错；向量不可以比较大小，故D错；若a,b中有一个为零向量,

则a与6必共线，故若。与b不共线，则应均为非零向量，故C对.

3.如图所示，梯形ABCQ为等腰梯形，则两腰上的向量的与比的关系是（）

AL-----------

\AB=DCB.|AS|=|DC|

C.AB>DCD.AB<DC

答案B

解析|嘉|与|比|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.

4.（多选）下列能使a〃6成立的是（）

A.a=bB.\a\=\b\

C.a与〜方向相反D.回=0或|b|=0

答案ACD

5.设。是△ABC的外心，则Q,B0,a>是（）

A.相等向量B.模相等的向量

C.平行向量D.起点相同的向量

答案B

解析因为。是△ABC的外心，所以|命|=|防|=|历|.

6.（多选）如图，在菱形A8CQ中，ZBAD=120°,则以下说法正确的是（）

A.与初相等的向量只有1个（不含油）

B.与施的模相等的向量有9个（不含初）

C.丽的模恰为扇的模的小倍

口.为与亦不共线

答案ABC

解析由于矗=方已因此与赢相等的向量只有方己而与油的模相等的向量有51,DC,AC,

CB,AD,CD,CA,BC,BA,因此选项A,B正确；

而在RtAAOD中，

因为NA£»O=30。，所以|虎尸竽|反I，

i^\DB\=y[3\DA\,因此选项C正确；由于无=函，因此无与而是共线的，故选项D不正确.故

选ABC.

7.在四边形ABC£＞中，若矗=比且而|=以讥则四边形的形状为.

答案菱形

解析'：AB=DC,：.AB=DC,AB//DC,

：.四边形ABCD是平行四边形，

V|AB|=\AD\，，四边形ABCD是菱形.

8.已知A,B,C是不共线的三点，向量，”与向量油是平行向量，与座是共线向量，则

答案0

解析还与病不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同

时与两个不共线向量平行.

9.如图所示，。是正六边形ABCDEF的中心.

(1)与晶的模相等的向量有多少个？

(2)是否存在与晶长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？

(3)与后共线的向量有几个？

解(1)与晶的模相等的线段是六条边和六条半径(如0B),而每一条线段可以有两个向量，

所以这样的向量共有23个.

(2)存在.由正六边形的性质可知，BC//AO//EF,所以与晶长度相等、方向相反的向量有

OD,FE,BC,共4个.

(3)由(2)知，BC//OA//EF,线段与0A在同一条直线上，所以与原共线的向量有正,

CB,EF,FE,AO,OD,DO,AD,DA,共9个.

10.如图所示，在四边形ABCQ中，AB=DC,N,M分别是AQ,8c上的点，HCN=MA,

求证：DN=MB.

CM

证明'：AB=DC,.•.A8=£）C且AB〃DC,

四边形4BCD是平行四边形，

：.CB=DA,即CB=DA,

又无=而，：.CN=MA,CN//MA,

四边形CNAM是平行四边形，

：.Sl=NA,:.CM=NA,CM//NA.

"：CB=DA,CM=NA,:.MB=DN.

久DN//MB,.•.乐与而的模相等且方向相同,

：.DN=MB.

解综合运用

11.（多选）下列说法正确的有（）

A.若“〃方，b//c,则a〃c

B.若a=b,b=c,则a=c

C.若。〃4则。与b的方向相同或相反

D.若矗,反?共线，则A,B,。三点共线

答案BD

解析对于A选项，若b=0,。，。均为非零向量，贝U〃〃瓦力〃c成立，但。〃。不一定成

立，A错；

对于B选项，若〃=仇b=c,则a=c,B对；

对于C选项，若方=0,。#0,则》的方向任意，C错；

对于D选项，若赢,於共线且AB,BC共点、B,则A,B,C三点共线，D对.

12.在如图所示的半圆中，A8为直径，点。为圆心，C为半圆上一点，且/OC8=30。，\AB\

=2,则|启|等于（）

A.1B取C.小D.2

答案A

解析如图，连接4C,由|OC|=|OB|,得乙4BC=NOCB=30。，又/AC8=90。,

贝力历=3矗尸;X2=1.

13.（多选）在下列结论中，正确的结论为（）

A.且闷=|可是“=/＞的必要不充分条件

B.a〃〃且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件

C.“与5方向相同且⑷=|团是的充要条件

D.a与b方向相反或|