高中数学选择性必修一课件：3 2 1 双曲线及其标准方程(人教A版)

3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程课标要求素养要求1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.新知探究如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.问题在以上情境中，曲线上的点应满足怎样的几何条件？提示如题图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数.1.双曲线的定义当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在差的绝对值把平面内与两个定点F1，F2的距离的_____________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做________.这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________.双曲线焦点焦距2.双曲线的标准方程在双曲线中，a不一定大于b.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程____________________________________焦点F1(－c，0)，F2(c，0)___________，___________焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝___________(0，－c)(0，c)a2＋b2拓展深化[微判断]×1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(

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提示必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.2.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(

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提示平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.3.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

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提示因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.××[微训练]1.已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是________.解析由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.故|PF2|＝4或|PF2|＝16.答案

4或163.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.∴2m＝12，∴m＝6.答案

63.已知双曲线x2－y2＝m与椭圆2x2＋3y2＝72有相同的焦点，则m的值为________.∴2m＝12，∴m＝6.答案

6[微思考]1.双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？

提示不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.2.双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？

提示双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定.题型一双曲线定义的应用A.11 B.9 C.5 D.3解析(1)由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，答案(1)B

(2)C规律方法求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a). ∴b2＝c2－a2＝6，∴b2＝c2－a2＝6，题型二求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.法二设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵P，Q两点在双曲线上，∵双曲线经过点(－5，2)，规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.【训练2】分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；解(1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，又知焦点在x轴上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，

(2)因为焦点在x轴上，解得a2＝8，b2＝4，题型三双曲线中的焦点三角形问题将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得且0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝90°，规律方法在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，一、素养落地1.通过本节课的学习，提升逻辑推理素养及数学运算素养.2.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.3.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.4.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.二、素养训练1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是(

) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线解析因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.答案BA.±5 B.±3C.5 D.9解析由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.答案B3.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(

) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线答案C4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.解析b2＝c2－a2＝24.5.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.所以a2＝16，2a＝8.因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8.答案－8备用工具&资料4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________.解析b2＝c2－a2＝24.A.±5 B.±3C.5 D.9解析由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.答案B拓展深化[微判断]×1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(

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提示必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.2.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(

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提示平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.3.平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

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提示因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.××解析由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|－|PF1|＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.故|PF2|＝4或|PF2|＝16.答案

4或162.双曲线的标准方程在双曲线中，a不一定大于b.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程____________________________________焦点F1(－c，0)，F2(c，0)___________，___________焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c