高中数学选择性必修一课件：1 3 1 空间直角坐标系(人教A版)

1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系课标要求素养要求1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.通过空间直角坐标系的建立及空间向量的坐标表示，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养.新知探究某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市动物园往南500米，再往东400米处的某大厦12楼.行动小组迅速赶到市动物园，然后按标识顺利到达目的地，完成解救“人质”的任务，从标识中可以看出：确定市动物园的位置后，大厦的位置就随之确定，“人质”的隐藏地由“南500米”“东400米”“12楼”这三个量确定.这与空间向量的坐标表示不谋而合.问题把向南看作x轴的正方向，把向东看作y轴的正方向，向上的竖直方向看作z轴的正方向，那么人质的隐藏地的坐标是什么？提示(500，400，12)1.空间直角坐标系坐标向量i，j，k满足：①|i|＝|j|＝|k|＝1，②i·j＝i·k＝j·k＝0(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个_____________基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为__________、以它们的长为______________建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做________，i，j，k都叫做____________.(2)通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.单位正交正方向单位长度原点坐标向量2.空间直角坐标系的画法 (1)空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝______________，∠yOz＝________. (2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_______的正方向，食指指向_______的正方向，如果中指指向_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.135°(或45°)90°x轴y轴z轴3.空间向量的坐标

A(x，y，z)(x，y，z)a＝(x，y，z)拓展深化[微判断]1.若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z).()

提示只有{e1，e2，e3}是单位正交基底时，向量a的坐标才是(x，y，z).×√×√答案DA.(－1，1，－1) B.(－e1，e2，－e3)C.(1，－1，－1) D.不确定答案DA.(－1，1，－1) B.(－e1，e2，－e3)C.(1，－1，－1) D.不确定2.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________.解析∵i，j，k是单位正交基底，故根据空间向量坐标的概念知a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2).答案

(3，2，－1)，(－2，4，2)[微思考]1.对于空间的一个向量a，其坐标表示a＝(x，y，z)是唯一确定的吗？

提示由空间向量基本定理可知，向量a的坐标表示是唯一确定的.2.建立了空间直角坐标系后，空间中的点与有序实数组(x，y，z)是一一对应的吗？

提示是.题型一求点的坐标【例1】

(1)(多填题)点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的坐标是________，关于坐标平面xOy的对称点的坐标是________.解析在空间直角坐标系中，点P(－2，1，3)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即(－2，－1，－3)；点P(－2，1，3)关于坐标平面xOy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即(－2，1，－3).答案

(－2，－1，－3)

(－2，1，－3)(2)如图所示，四棱锥D－OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标.解法一点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1).＝2i＋3j＋k＝(2，3，1).【训练1】如图所示的空间直角坐标系中，ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为________.＝－2i－j－4k，规律方法用坐标表示空间向量的步骤题型三向量的坐标表示的综合应用【例3】

(多填题)定义向量p在基底{a，b，c}下的坐标如下：若p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫做p在基底{a，b，c}下的坐标.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________.解析由条件知p＝2a＋b－c.设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a，b，c不共面，同理可求得p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1).规律方法解答此类问题的关键是用所给的基底表示向量，根据新定义的向量的坐标求解.其实质仍然是空间向量基本定理的应用.解析∵点M在OA上，OM＝2MA，一、素养落地1.利用空间向量基本定理和单位正交基底定义空间向量的坐标，培养数学抽象素养.通过根据具体的条件建立空间直角坐标系并写出空间向量的坐标，提升直观想象素养.2.向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示.在用坐标表示向量时，要结合图形的几何性质，选定单位正交基底，充分利用向量的线性运算，用单位正交基底表示向量即可得到向量的坐标.二、素养训练1.已知点A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(

) A.(－3，－2，3) B.(－3，2，－3) C.(－3，2，3) D.(－3，－2，－3)解析由对称定义知选项C正确.答案

C2.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(

)答案D3.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________.解析由空间向量坐标概念知a＝(2，－4，5)，b＝(1，2，－3).答案

(2，－4，5)，(1，2，－3)4.若{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋j－5k，b＝2j＋2k，则向量a＋b的坐标是________.解析a＋b＝3i＋3j－3k＝(3，3，－3).答案(3，3，－3)备用工具&资料4.若{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋j－5k，b＝2j＋2k，则向量a＋b的坐标是________.解析a＋b＝3i＋3j－3k＝(3，3，－3).答案(3，3，－3)2.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(

)答案D2.空间直角坐标系的画法 (1)空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝______________，∠yOz＝________. (2)右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_______的正方向，食指指向_______的正方向，如果中指指向_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.135°(或45°)90°x轴y轴z轴拓展深化[微判断]1.若向量a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z).()

提示只有{e1，e2，e3}是单位正交基底时，向量a的坐标才是(x，y，z).×√×√1.空间直角坐标系坐标向量i，j，k满足：①|i|＝|j|＝|k|＝1，②i·j＝i·k＝j·k＝0(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个_____________基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为__________、以它们的长为______________建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建