江苏省无锡市南菁高级中学2025届九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

江苏省无锡市南菁高级中学2025届九年级数学第一学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45° B．15° C．10° D．125°2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，C(m，﹣3)是图象上的一点，且AC⊥BC，则a的值为（）A．2 B． C．3 D．3．在平面直角坐标系中，的直径为10，若圆心为坐标原点，则点与的位置关系是（）A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定4．已知方程的两根为，则的值是（）A．1 B．2 C．-2 D．45．如图，点C、D在圆O上，AB是直径，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（）A．70° B．60° C．50° D．40°6．为了估计抛掷某枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为次，凸面向下的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（）A． B． C． D．7．已知xy=1A．32 B．13 C．28．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1m，则旗杆PA的高度为()A．m B．m C．m D．m9．附城二中到联安镇为5公里，某同学骑车到达，那么时间t与速度(平均速度)v之间的函数关系式是()A．v＝5t B．v＝t＋5 C．v＝ D．v＝10．下列运算正确的是()A． B． C． D．11．-2019的相反数是（）A．2019 B．-2019 C． D．12．二次函数y＝x2﹣2x+2的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________．14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，CD⊥BD，如果CD＝3，BC＝5，那么AB＝_____．15．______．16．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为．把缩小，则点的对应点的坐标分别是_____，_____．17．如图，点，，都在上，连接，，，，，，则的大小是______．18．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的关系式是h＝30t﹣5t2，小球运动中的最大高度是_____米．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．20．（8分）已知：在Rt△ABC中，AB=BC,在Rt△ADE中，AD=DE；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，求证：BM=DM且BM⊥DM；（2）如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．21．（8分）如图，矩形ABCD的四个顶点在正三角形EFG的边上.已知△EFG的边长为2，设边长AB为x，矩形ABCD的面积为S.求：(1)S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.(2)S的最大值及此时x的值.22．（10分）如图，正方形ABCD的过长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连接AE．（1）求证：AQ⊥DP；（2）求证：AO2＝OD•OP；（3）当BP＝1时，求QO的长度．23．（10分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B,（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．24．（10分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x＜1.6a1.6≤x＜2.0122.0≤x＜2.4b2.4≤x＜2.810请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：（1）表中a=，b=，样本成绩的中位数落在范围内；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有多少人？25．（12分）如图，是的直径，且，点为外一点，且，分别切于点、两点．与的延长线交于点．（1）求证：；（2）填空：①当__________时，四边形是正方形．②当____________时，为等边三角形．26．从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者．求下列事件的概率：（1）抽取1名，恰好是甲；（2）抽取2名，甲在其中．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.【详解】是等边三角形，，，四边形是正方形，，，，，，.

故选：.【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.2、D【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，即m2﹣m(x1+x2)+18+x1x2=0；然后根据根与系数的关系即可求得a的值．【详解】过点C作CD⊥AB于点D．∵AC⊥BC，∴AD2+DC2+CD2+BD2=AB2，设ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2(x1≤x2)，∴A(x1，0)，B(x2，0)．依题意有(x1﹣m)2+9+(x2﹣m)2+9=(x1﹣x2)2，化简得：m2﹣m(x1+x2)+9+x1x2=0，∴m2m+90，∴am2+bn+c=﹣9a．∵(m，﹣3)是图象上的一点，∴am2+bm+c=﹣3，∴﹣9a=﹣3，∴a．故选：D．【点睛】本题是二次函数的综合试题，考查了二次函数的性质和图象，解答本题的关键是注意数形结合思想．3、B【分析】求出P点到圆心的距离，即OP长，与半径长度5作比较即可作出判断.【详解】解：∵，∴OP=，∵的直径为10，∴r=5,∵OP>5,∴点P在外.故选：B.【点睛】本题考查点和直线的位置关系，当d>r时点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内,解题关键是根据点到圆心的距离和半径的关系判断.4、A【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得出x1+x2，x1•x2，代入求出即可．【详解】∵2x2﹣3x=1，∴2x2﹣3x﹣1=0，由根与系数的关系得：x1+x2，x1•x2，所以x1+x1x2+x2()=1．故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键．5、D【分析】根据平角的定义求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．【详解】∵∠BOC＝110°，∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠AOC＝70°∵AD∥OC，OD＝OA∴∠D＝∠A＝70°∴∠AOD＝180°−2∠A＝40°故选：D．【点睛】此题考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆的基本性质、平行线性质及三角形内角和定理的运用．6、D【分析】由向上和向下的次数可求出向下的频率，根据大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值即可得答案．【详解】∵凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，∴凸面向下的频率为580÷（420+580）=0.58，∵大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值，∴估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为0.58，故选：D．【点睛】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验下，随机事件发生的频率可以作为概率的估计值是解题关键．7、A【解析】由题干可得y＝2x，代入x+yy【详解】∵xy∴y＝2x，∴x+yy故选A．【点睛】本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若ab=cd，则8、A【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinα=，列出方程即可解决问题．【详解】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinα=，∴=sinα，∴x-1=xsinα，∴（1-sinα）x=1，∴x=．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．9、C【分析】根据速度＝路程÷时间即可写出时间t与速度(平均速度)v之间的函数关系式.【详解】∵速度＝路程÷时间，∴v＝.故选C.【点睛】此题主要考查反比例函数的定义，解题的关键是熟知速度路程的公式.10、D【分析】按照有理数、乘方、幂、二次根式的运算规律进行解答即可.【详解】解：A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项错误；D.，故D选项正确；故答案为D.【点睛】本题考查了有理数、乘方、幂、二次根式的运算法则，掌握响应的运算法则是解答本题的关键.11、A【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.【详解】解：-1的相反数是1．故选A．【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.12、A【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．【详解】解：的顶点横坐标是，纵坐标是，的顶点坐标是．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是二、填空题（每题4分，共24分）13、．【解析】∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===.故答案为:.14、【分析】过点A作AE⊥BD，由AAS得△AOE≌△COD，从而得CD＝AE＝3，由勾股定理得DB＝4，易证△ABE∽△BCD，得，进而即可求解．【详解】过点A作AE⊥BD，∵CD⊥BD，AE⊥BD，∴∠CDB＝∠AED＝90°，CO＝AO，∠COD＝∠AOE，∴△AOE≌△COD（AAS）∴CD＝AE＝3，∵∠CDB＝90°，BC＝5，CD＝3，∴DB＝＝4，∵∠ABC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EAB＝∠CBD，又∵∠CDB＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△BCD，∴，∴，∴AB＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．15、【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．16、(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，分别把A,B点的横纵坐标分别乘以或−即可得到点B′的坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴的对应点A′的坐标是(-1，2)或（1，-2），点B（−9，−3）的对应点B′的坐标是（−3，−1）或（3，1），故答案为：(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．17、【分析】根据题意可知△ABC是等腰三角形，∠BAO=20°，可得出∠AOB的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵AO=OB∴△AOB是等腰三角形∵∠BAO=20°∴∠OBA=20°，∠AOB=140°∵∠AOB=2∠ACB∴∠ACB=70°故答案为：70°【点睛】本题主要考查的是同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及圆的基本性质，掌握这两个知识点是解题的关键．18、1【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝30t﹣5t2的顶点坐标即可．【详解】解：h＝﹣5t2+30t＝﹣5（t2﹣6t+9）+1＝﹣5（t﹣3）2+1，∵a＝﹣5＜0，∴图象的开口向下，有最大值，当t＝3时，h最大值＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果．三、解答题（共78分）19、证明见解析.【分析】由AD•AC＝AE•AB，可得,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.【详解】试题分析：证明：∵AD•AC＝AE•AB，∴＝在△ABC与△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE20、（1）证明见解析（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线的性质得出BM=DM，然后根据四点共圆可以得出∠BMD=2∠ACB=90°，从而得出答案；(2)连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H，根据题意得出四边形CDEF为平行四边形，然后根据题意得出△ABD和△CBF全等，根据角度之间的关系得出∠DBF=∠ABC=90°．【详解】解：（1）在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，∴．在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，∴．∴BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．∴∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM．（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立．证明：连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．∵DM=MF，EM=MC，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF，ED=CF，∵ED=AD，∴AD=CF，∵DE∥CF，∴∠AHE=∠ACF．∵,，∴∠BAD=∠BCF，又∵AB=BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD=BF，∠ABD=∠CBF，∵∠ABD+∠DBC=∠CBF+∠DBC，∴∠DBF=∠ABC=90°．在Rt△中，由,，得BM=DM且BM⊥DM．【点睛】本题主要考查的是平行四边形的判定与性质、三角形全等、直角三角形的性质，综合性比较强．本题解题的关键是通过构建全等三角形来得出线段相等，然后根据线段相等得出所求的结论．21、(1)；(2)【分析】（1）根据矩形的性质得到，CD=AB，CD∥AB，由平行可以得到△CDE也为正三角形，所以DE=CD=x，DF=2-x.根据等边三角形的性质得到∠F=60°，得AD=，再根据矩形的面积公式即可得到结论；

（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD为矩形，∴CD=AB，CD∥AB，又△EFG为正三角形，∴△CDE也为正三角形.∴DE=CD=x，∴DF=2-x.又在正三角形EFG中，可得∠F=60°，∴AD==，∴S=AB·AD=x·=（2）由，∴当x=1时，S取得最大值，最大值为【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．22、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）QO＝．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP．（2）根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP（3根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，由△QOE∽△PAD，可得，解决问题．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP与△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP；（2）证明：∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2＝OD•OP．（3）解：∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵△PBE∽△PAD，∴，∴BE＝，∴QE＝，∵△QOE∽△PAD，∴=∴QO＝．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形或相似三角形的判定和性质是解题的关键．23、（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）4.【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可【详解】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°，又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△BDF∽△CED．∴．∵BD=CD，∴，即．又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF．∴△BDF∽△CED∽△DEF．（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=BC=1．在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣3，∴AD=2．∴S△ABC=•BC•AD=×3×2=42，S△DEF=S△ABC=×42=3．又∵•AD•BD=•AB•DH，∴．∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD．∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF．又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）．∴DH=DG=．∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=3，∴EF=4．【点睛】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．24、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．【解析】