第1节平面向量的概念及线性运算-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第1节平面向量的概念及线性运算高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.平面向量的概念与线性运算

第3题

第3题

2.平面向量坐标运算

第10题

第4题第3题

3.平面向量的数量积第7题

第15题

第13题4.复数第2题第2题第2题第1题第2题第2题第2题第1题优化备考策略考情分析:平面向量和复数在高考中每年必考,一般情况下各命制一道客观题,复数多为选择题,且题号比较靠前,属于简单的保分题,主要考查复数的基本概念、四则运算.平面向量的考查则相对灵活,题型多变,难度不等.主要考点有平面向量的数量积及其应用、平面向量的坐标运算及线性运算等.平面向量有时也作为工具,与平面几何、解三角形、解析几何等知识综合呈现.复习策略:1.复数部分:本部分知识不用研究过难过深,能准确地进行复数的四则运算,并熟练记忆复数的模、共轭、实部、虚部、纯虚数等概念,明确复数的几何意义,还要关注一元二次方程复数根的问题.2.平面向量部分:(1)本部分知识较为琐碎,需要通过梳理分类,构建完整的知识体系,记忆相关的概念、公式和结论.(2)重视向量“数”“形”兼备的特点,解题时要注意数形结合思想和转化化归的数学思想.(3)重视向量的工具作用,复习时要了解并体会向量与其他知识交汇命题的特点.(4)向量数量积公式及其变形是本部分知识的重点,要理清各个知识点间的联系.掌握常用的解题技巧与规律.课标解读1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和相等向量的含义,理解向量的几何表示.2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解其几何意义.3.通过实例,掌握向量的数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.4.理解向量的线性运算性质及其几何意义.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.向量的有关概念

名称定义备注向量既有

又有

的量叫做向量;向量

的大小称为向量

的

(或称

)

记作||注意字母的前后顺序零向量长度为

的向量叫做零向量

记作0单位向量长度等于

的向量,叫做单位向量

一个与之同向,另一个反向,这两个单位向量互为相反向量与非零向量a共线的单位向量为±大小

方向长度模01个单位长度名称定义备注平行向量(共线向量)方向

或

的非零向量叫做平行向量(共线向量)

零向量与任意向量平行相等向量长度

且方向

的向量叫做相等向量

两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度

且方向

的向量叫做相反向量

零向量的相反向量仍是零向量相同相反相等相同相等相反微点拨1.注意0与0的区别,0是一个向量,0是一个实数,且|0|=0,一个向量是零向量的充要条件是其模等于0.2.单位向量有无数个,它们的模相等,都等于1,但方向不一定相同.3.零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性.4.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.微思考向量平行与直线平行有何不同?提示

向量平行与向量共线是完全相同的一个概念,指两个向量的方向相同或相反,亦即向量所在的直线可以平行,也可以重合;但直线平行不包含直线重合的情况.2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算,叫做向量的加法三角形法则适用于任意两个非零向量求和平行四边形法则只能用于两个不共线向量求和交换律:a+b=

结合律:(a+b)+c=

b+a

a+(b+c)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法三角形法则—数乘求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘|λa|=

;

当λ>0时,λa的方向与a的方向

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

;当λ=0时,λa=0

λ(μa)=

;

(λ+μ)a=

;

λ(a+b)=________

(λ,μ为实数)

|λ||a|相同

相反(λμ)a

λa+μaλa+λb微点拨1.两个向量的和仍然是一个向量.2.利用三角形法则时,两向量要首尾相连,利用平行四边形法则时,两向量要有相同的起点.3.当两个向量共线时,三角形法则仍然适用,而平行四边形法则不再适用.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得

.

不能漏掉这一条件

微思考共线向量定理中为什么规定a≠0?b=λa提示

(1)若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线;(2)当a=0时,若b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa,但此时向量a与b共线;(3)当a=0时,若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa,与有唯一一个实数λ矛盾.因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.微点拨三点共线的几个等价关系

A,P,B

三点共线⇔常用结论

自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.(

)2.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b.(

)3.起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.(

)√×√×题组二回源教材

6.(人教A版必修第二册6.2.3节例8改编)已知a,b是两个不共线的向量,若向量b-ta与

共线,则实数t=

.

题组三连线高考

CA.-3 B.-2 C.2

D.3C2研考点精准突破考点一平面向量的基本概念例1(1)(多选题)(2024·吉林实验繁荣学校模拟)下列命题正确的有(

)A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同D.“若A,B,C,D是不共线的四点,且”⇔“四边形ABCD是平行四边形”AD解析

对于A,方向相同或相反的两个非零向量为共线向量,故A正确;对于B,单位向量的模为1,但是方向不一定相同,故B错误;对于C,若两个向量相等,它们的起点不一定相同,终点也不一定相同,故C错误;对于D,若A,B,C,D是(2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使

成立的充分条件是(

)A.a=-b

B.a∥bC.a=2b

D.a∥b且|a|=|b|C解析

由

,知a与b方向相同.A选项中两向量是相反向量,错误;B选项中两向量可能同向,也可能反向,错误;C选项中两向量同向,正确;D选项中两向量可能同向也可能反向,错误.[对点训练1]给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②有向线段

表示相反向量;③两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命题的序号是

.

②

解析

①不正确.两个向量的模相等,方向可以是任意的;②正确.③不正确.终点相同,起点是任意的,不一定是平行向量;④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,真命题的序号是②.考点二平面向量的线性运算(多考向探究预测)考向1向量加、减法的几何意义

D考向2向量的线性运算

A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3nB考向3根据向量线性运算求参数

D[对点训练2](1)(2024·云南曲靖模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图,则c=(

)A.2a+b

B.2a-bC.-a+2b

D.a-2bC解析

如图,根据向量的线性运算的几何意义,可得c=-a+2b.B2r+3s=(

)A.1 B.2

C.3

D.4C考点三共线向量定理及其应用例5设两个非零向量a与b不共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.(2)解

由于a,b不共线,易知向量a+kb为非零向量.∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.∵a,b是不共线的两个非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.变式探究1故当m=7时,A,B,D三点共线.变式探究2(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解

由于a,b不共线,易知向量a+kb为非零向量.因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数λ(λ<0),使ka+b=λ(a+kb),所以

所以k=±1.又λ<0,k=λ,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.[对点训练3]设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=