专题05 集合的概念和元素的性质-【初升高衔接】新高一数学暑假衔接讲义（解析版）

第第页专题05集合的概念和元素的性质【考点清单】1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作5.集合的分类：根据集合中元素的个数，可以把集合分为有限集和无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.如要求集合中的元素，即又，这样的集合就是空集.6.数学上，数的集合简称数集。常用数集：符号含义实数集整数集自然数集非负整数集有理数集7.集合中元素的特点①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.8.集合的表示方法（1）列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.例如：，．（2）描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.形如，称为集合的特征性质，称为集合的代表元素．为的范围，有时也写为．例如：大于的所有整数用描述法表示为．方程的实根用描述法表示为．（3）图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.（韦恩图）（4）区间法：设，且，实数与都叫做相应区间的端点；“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”．实数集也可以用表示．定义名称符号数轴表示闭区间开区间左闭右开区间左开右闭区间一类特殊的区间【考向精析】考向一：集合的概念1．下列语句中，正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据集合的概念和性质判断即可.【详解】是自然数，故，（1）正确；是无理数，故，（2）错误；由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误；数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；方程的解为，可以构成集合，（5）正确；故选：A2．下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.考向二：元素与集合3．已知，，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答.【详解】因为，由，得或，又，且，即有且，因此，所以.故选：A4．已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】C【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素，所以，解得.故选：C5．由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，故，即，即a可取2，即A，B，C错误，D正确，故选：D6．若集合，则N中元素的个数为（

）A．3 B．6 C．9 D．10【答案】C【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解.【详解】由可知集合,故共有9个元素，故选：C考向三：元素的性质7．集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.【详解】根据集合中元素的互异性得，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.考向四：集合的表示8．集合用描述法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合中的元素特征即可求解.【详解】中的元素满足，所以，故选：D9．方程组的解集可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由方程组的求解可得的关系，即可求解.【详解】由得，将代入得，所以，故选：D10．一元二次方程的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分解因式可得答案.【详解】由得或.所以一元二次方程的解集为.故选：C.11．设集合，则的元素个数为（

）A．3 B．4 C．9 D．无穷多个【答案】A【分析】根据函数在上单调递增，及，即可得解.【详解】由函数在上单调递增，及，可得，则其元素个数为3，故选：A．12．设集合，且，则x的值可以为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】BC【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】∵，则有：若，则，此时，不符合题意，故舍去；若，则或，当时，，符合题意；当时，，符合题意；综上所述：或.故选：BC.13．下列语句中：（1）和表示同一集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为或；（3）方程的所有解组成的集合是；（4）区间是有限集，其中正确的是__________.（填入所有正确的语句序号）【答案】（2）（3）【分析】根据集合的相关概念即可结合选项逐一求解.【详解】对于（1），表示集合中只有这一个元素，而表示不等式的解，故不是同一集合；对于（2），集合中的元素满足无序性，所有由1，2，3组成的集合可表示为或；对于（3），方程的所有解组成的集合是；对于（4），区间中有无限多个元素，所以是无限集，故答案为：（2）（3）14．若，则a的值为______.【答案】【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答.【详解】因为，则当，即，此时，矛盾，若，解得，此时，，符合题意，即，而，即，所以a的值为.故答案为：15．方程的解集为______.【答案】【分析】将分解因式变形为，即可求得答案.【详解】方程即方程，在实数集内，故，即方程的解集为，故答案为：【巩固检测】1．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2022-2023学年度笫一学期全体高一学生C．高二年级视力比较好的同学D．与无理数相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B2.下面每一组的两个集合，相等的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由相等集合的概念一一分析每个选项中的集合，然后进行比较即可得出答案.【详解】A选项中，表示两个不同的点，∴，∴该选项不符合；B选项中集合M有两个元素1，2是实数，N有一个元素是点，∴，∴该选项不符合；C选项中集合M是空集，集合N是含有一个元素的集合，∴，∴该选项不符合；D选项中由得，∴，∴该选项符合.故选：D.【点睛】本题考查了相等集合的判断，属于基础题.3.方程组的解构成的集合是A． B． C． D．【答案】C【分析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来.【详解】∵∴∴方程组的解构成的集合是{（1，1）}故选C．【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写．4.下列命题中正确的（）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上语句都不对【答案】C【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C.5.已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据绝对值的定义分类讨论，按中正负数分类．【详解】当时，，当时，，因此，若都为正数，则；若两正一负，则；若一正两负，则；若都为负数，则.所以代数式表示的所有的值的集合是.故选：D．【点睛】本题考查绝对值的定义，对于含多个绝对值的式子，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得结论．6.集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．不在第一、第三象限内的所有点 D．第二象限和第四象限内的所有点【答案】C【分析】根据可得或，再分析点的集合即可.【详解】因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.故选：C【点睛】本题主要考查了集合中的元素的理解、象限的理解与辨析.属于基础题.7.如果，那么错误的结论是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合关系判断选项即可．【详解】解：，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：与是集合与集合关系，应是，故C错故选：C8.以下六个关系式：，，，，，是空集，错误的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案．【详解】根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确故选：D9.实数10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.【答案】【分析】由因数分解知：正因数的分解形式有，列举法写出正因数集合即可.【详解】∵对于正因数分解，有，∴其正因数组