第三章 勾股定理（全等轴对称勾股综合以及最值问题压轴）-苏科版八年级《数学》上学期单元精讲速记巧练（解析版）

第第页第三章勾股定理（压轴题专练）一、利用勾股定理证明平方关系1．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．（1）求证：；（2）探究、、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．【答案】（1）见详解；（2）；（3）．【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；（2）由（1），∴，BD=AE，∵，∴，∴，∴△ABD是直角三角形，∴，∴；（3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图，∵BD=AE，，∴，∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD，∴OM=ON，∴，∵，∴，∴，∵，∴．2．如图1，在中，，，过点A作交于点D．AIAI(1)填空：______°；(2)求的值；(3)①说法１：如图2，在AB上截取，将线段绕点M顺时针旋转90°得到，连接交于点E，探究之间的数量关系，并证明．②说法2：如图2，若平分交于点E，探究之间的数量关系，并证明．(4)说法3：若平分交于点E，探究三条线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)(2)(3)①，②(4)【详解】（1）解：∵，∴．∴（2）解：如图，过点A作，垂足为H，设，中，,∴．中，，∴．∴．中，．∴．∴，解得．∴．∴．AI（3）解：①如图，中，．∴．过点E作，垂足为F，则．由旋转知，为等腰直角三角形，∴．设，中，，，∴．如（2），令，则，解得，∴，．∴．∵，，，∴，，．∴．AI②如图，若平分交于点E，则．同①过点E作，垂足为F，则．同法可得：．AI（4）解：如上图，同（3）①，求得，，，∴而,∴．3．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．

(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)求证：．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，；（2）证明：，是的中点，，在和中，，，，由（1）得，，；（3）证明：由（2）得：，，，，，，在中，，是等腰直角三角形，，，，．4．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，垂足分别为，连接．

(1)求证：；(2)求证：是等腰直角三角形；(3)试判断线段之间有何数量关系？直接写出你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】（1）证明：，，，，，，，又，，；（2）证明：，，，，点是中点，，，，在和中，，，，，，，，即，为等腰直角三角形；（3）解：，理由如下：设与交于点，连接，

，，，又，，，，，，，即，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得：，，．二、全等等腰勾股综合5．如图，在中，，，于点D，，E为边上一点（不与A，C重合），连接，作，垂足为F，交于点G，连接．分别记，，为，，．

(1)求的长．(2)当时，求的周长．(3)当时，求的长．【答案】(1)(2)4(3)【详解】（1）解：∵，，∴是等腰直角三角形，∵于点D，，∴，∴在中，由勾股定理得：；（2）解：∵，垂足为F，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴平分．∵在和中，∴，∴，，∴所在直线是线段的垂直平分线，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴的周长；（3）解：如图所示，作交的延长线于H点，

∵，，∴，，∴，∴在和中，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴在和中，∴，∴，又∵∴．6．如图，在四边形中，，，，且，则长为．

【答案】5【详解】以为边向上作等边，连接，如图，

在等边中，，，∵，∴是等边三角形，∴在等边中，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，

∴，∴，∵，，∴，，∴在中，，∴，故答案为：5．7．如图，在中，，，为边上一动点，且不与点、点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．过点A作于点，的延长线与的延长线交于点H，已知，，则．

【答案】【详解】解：如图，过点作于，

∵，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，在中，，，，∵，，∴；故答案为：．8．如图，在中，，，点D为延长线上一点，延长至点B，使，连接、．过点F作的垂线，过点G作的垂线交于点C，交于点H，两条垂线相交于点A，连接、、．下列结论中正确的是．（请填写序号）①；②当时，；③；④；⑤若，，，则．

【答案】①②④【详解】∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故①正确；∵，，∴，∵，∴，故②正确；∵，∴，即，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，故③错误；∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故④正确；∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故⑤错误；故答案为：①②④．三、用勾股定理构造图形解决问题9．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．【知识迁移】借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）200；（知识迁移）15【详解】解：（小试牛刀）；；，满足的关系式为：．（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：由题意可得：，，则的最小值，即为的最小值，由三角形三边关系可得：，当三点共线时，∴的最小值为，作交延长线于点F，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴米，故答案为：；（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，设，则，∴，由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，作交延长线于点F，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴．∴代数式的最小值为15．10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：（1）【提出问题】已知，求的最小值（2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】

①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________；②在（1）的条件下，已知，求的最小值；（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展]【详解】[解决问题]①解：由题意得，，故答案为：、；

②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，

此时，最小，即和最小，由题意得：，，则，即的最小值为：；

[应用拓展]如图，在矩形的基础上，构建，连接、，设，，，，

则，，当、、共线时，最大，即最大，且的最大值，即的最大值为：．11．已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为．【答案】【详解】构造两直角三角形如图，

，，，，点为上一个动点，，，则：，，，由图可知：，∴的最小值为线段的长，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，∴的最小值为，故答案为：．四、最值问题12．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：

由平移性质得到，，作关于的对称点，连接，如图所示：

由对称性得到，，由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长，，，在长方形中，，，由矩形性质可得，，是的中点，，与关于的对称，，在长方形中，，在中，，，，由勾股定理得到，的最小值，故选：C．13．如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．8 D．13【答案】C【详解】解：如图，取中点，连接．，点在以点为圆心，长为直径的圆周上运动，且，当、、在同一直线上时，最短，此时为最短．在中，，，则，，即的最小值是8．故选：．14．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm？【答案】15cm【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示则DB=AD=4cm由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm∴DE=DH－EH=12－4=8(cm)∴BE=DE+DB=8+4=12(cm)在Rt△BEC中，由勾股定理得：即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm15．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是．【答案】52cm【详解】

由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为，则易拉罐底面周长是12，高是20∴解得：∴彩带最短是52cm故答案为：52cm．16．如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是．【答案】【详解】如图，作N关于的对称点E，连接在中，，，，是的平分线，与关于轴对称，当时最小，由即解得故答案为：．17．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是cm．【答案】10【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案为：10．18．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．【答案】17【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：，解得．故答案为：17．19．棱长分别为的两