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第第页第三章勾股定理(压轴题专练)一、利用勾股定理证明平方关系1.如图,和都是等腰直角三角形,,,的顶点A在的斜边上,连接.(1)求证:;(2)探究、、的数量关系,并证明;(3)若,求两个三角形重叠部分的面积.【答案】(1)见详解;(2);(3).【详解】解:(1)∵和都是等腰直角三角形,∴,∴,∴,∴,∵,,∴;(2)由(1),∴,BD=AE,∵,∴,∴,∴△ABD是直角三角形,∴,∴;(3)设AB与CD相交于点O,作OM⊥AD,ON⊥BD,如图,∵BD=AE,,∴,∵OD平分∠ADB,OM⊥AD,ON⊥BD,∴OM=ON,∴,∵,∴,∴,∵,∴.2.如图1,在中,,,过点A作交于点D.AIAI(1)填空:______°;(2)求的值;(3)①说法1:如图2,在AB上截取,将线段绕点M顺时针旋转90°得到,连接交于点E,探究之间的数量关系,并证明.②说法2:如图2,若平分交于点E,探究之间的数量关系,并证明.(4)说法3:若平分交于点E,探究三条线段之间的数量关系,并证明.【答案】(1)(2)(3)①,②(4)【详解】(1)解:∵,∴.∴(2)解:如图,过点A作,垂足为H,设,中,,∴.中,,∴.∴.中,.∴.∴,解得.∴.∴.AI(3)解:①如图,中,.∴.过点E作,垂足为F,则.由旋转知,为等腰直角三角形,∴.设,中,,,∴.如(2),令,则,解得,∴,.∴.∵,,,∴,,.∴.AI②如图,若平分交于点E,则.同①过点E作,垂足为F,则.同法可得:.AI(4)解:如上图,同(3)①,求得,,,∴而,∴.3.在中,,是的中点,以为腰向外作等腰直角,,连接,交于点,交于点.
(1)若,求的度数;(2)求证:;(3)求证:.【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【详解】(1)解:是等腰直角三角形,,,,,,,,,,;(2)证明:,是的中点,,在和中,,,,由(1)得,,;(3)证明:由(2)得:,,,,,,在中,,是等腰直角三角形,,,,.4.如图,在中,,点是的中点,点在上,,,垂足分别为,连接.
(1)求证:;(2)求证:是等腰直角三角形;(3)试判断线段之间有何数量关系?直接写出你的结论.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【详解】(1)证明:,,,,,,,又,,;(2)证明:,,,,点是中点,,,,在和中,,,,,,,,即,为等腰直角三角形;(3)解:,理由如下:设与交于点,连接,
,,,又,,,,,,,即,是等腰直角三角形,,,,在中,由勾股定理得:,,.二、全等等腰勾股综合5.如图,在中,,,于点D,,E为边上一点(不与A,C重合),连接,作,垂足为F,交于点G,连接.分别记,,为,,.
(1)求的长.(2)当时,求的周长.(3)当时,求的长.【答案】(1)(2)4(3)【详解】(1)解:∵,,∴是等腰直角三角形,∵于点D,,∴,∴在中,由勾股定理得:;(2)解:∵,垂足为F,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴平分.∵在和中,∴,∴,,∴所在直线是线段的垂直平分线,∴,∵是等腰直角三角形,∴,∵,∴,∴的周长;(3)解:如图所示,作交的延长线于H点,
∵,,∴,,∴,∴在和中,∴,∴,,∵,∴,∵,,∴,∴在和中,∴,∴,又∵∴.6.如图,在四边形中,,,,且,则长为.
【答案】5【详解】以为边向上作等边,连接,如图,
在等边中,,,∵,∴是等边三角形,∴在等边中,,∴,∴,∵,,∴,∴,,∵,∴,∴,∵,
∴,∴,∵,,∴,,∴在中,,∴,故答案为:5.7.如图,在中,,,为边上一动点,且不与点、点重合,连接并延长,在延长线上取一点,使,连接.过点A作于点,的延长线与的延长线交于点H,已知,,则.
【答案】【详解】解:如图,过点作于,
∵,,,,,,,,,,,,,又,,,,,,,,,,,又,,,,在中,,,,∵,,∴;故答案为:.8.如图,在中,,,点D为延长线上一点,延长至点B,使,连接、.过点F作的垂线,过点G作的垂线交于点C,交于点H,两条垂线相交于点A,连接、、.下列结论中正确的是.(请填写序号)①;②当时,;③;④;⑤若,,,则.
【答案】①②④【详解】∵在中,,,∴,,∵,,∴,,∴,∴,∵,,∴,∴,故①正确;∵,,∴,∵,∴,故②正确;∵,∴,即,∵,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,∵在中,,∴,∵,∴,故③错误;∵,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,故④正确;∵,,,∴,,∴,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∴,故⑤错误;故答案为:①②④.三、用勾股定理构造图形解决问题9.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,向常春在1994年构造发现了一个新的证法.如图.【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为,,.显然,,.请用,,分别表示出梯形,四边形,的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:__________,__________,__________,则它们满足的关系式为__________,经化简,可得到勾股定理.【知识运用】如图2,河道上,两点(看作直线上的两点)相距160米,,为两个菜园(看作两个点),,,垂足分别为,,米,米,现在菜农要在上确定一个抽水点,使得抽水点到两个菜园,的距离和最短,则该最短距离为__________米.【知识迁移】借助上面的思考过程,画图说明并求代数式的最小值.【答案】(小试牛刀),,,;(知识运用)200;(知识迁移)15【详解】解:(小试牛刀);;,满足的关系式为:.(知识运用)作点关于的对称点,连接,如下图:由题意可得:,,则的最小值,即为的最小值,由三角形三边关系可得:,当三点共线时,∴的最小值为,作交延长线于点F,∵,∴四边形是矩形,∴,,∴米,故答案为:;(知识迁移)如下图,,,、,点为线段上一点,设,则,∴,由上可得当三点共线时,距离最小,最小为,作交延长线于点F,∵,∴四边形是矩形,∴,,∴.∴代数式的最小值为15.10.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.某校数学兴趣小组,在学习完勾股定理和实数后,进行了如下的问题探索与分析:(1)【提出问题】已知,求的最小值(2)【分析问题】由勾股定理,可以通过构造直角三角形的方法,来分别表示长度为和的线段,将代数求和转化为线段求和问题.【解决问题】
①如图,我们可以构造边长为1的正方形,P为边上的动点.设,则.则线段__________线段__________;②在(1)的条件下,已知,求的最小值;(3)【应用拓展】应用数形结合思想,求的最大值.【答案】[解决问题]①、;②;[应用拓展]【详解】[解决问题]①解:由题意得,,故答案为:、;
②如图,作点A关于的对称点H,连接交于点P,
此时,最小,即和最小,由题意得:,,则,即的最小值为:;
[应用拓展]如图,在矩形的基础上,构建,连接、,设,,,,
则,,当、、共线时,最大,即最大,且的最大值,即的最大值为:.11.已知,从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、,计算结果为斜边,同理计算可以看成直角边分别为、,结果为斜边长度,利用此原理并结合图形解决问题:已知,计算的最小值为.【答案】【详解】构造两直角三角形如图,
,,,,点为上一个动点,,,则:,,,由图可知:,∴的最小值为线段的长,过点作交的延长线于点,则四边形是矩形,∴,,∴,在中,由勾股定理得:,∴的最小值为,故答案为:.四、最值问题12.如图,长方形中,,,是的中点,线段在边上左右滑动,若,则的最小值为(
)
A. B. C. D.【答案】C【详解】解:将沿着向左平移使与重合,得到,如图所示:
由平移性质得到,,作关于的对称点,连接,如图所示:
由对称性得到,,由图可知,,此时,当三点共线时,有最小值,为线段长,,,在长方形中,,,由矩形性质可得,,是的中点,,与关于的对称,,在长方形中,,在中,,,,由勾股定理得到,的最小值,故选:C.13.如图,在中,,,,点是内的一点,连接,,,满足,则的最小值是(
)A.5 B.6 C.8 D.13【答案】C【详解】解:如图,取中点,连接.,点在以点为圆心,长为直径的圆周上运动,且,当、、在同一直线上时,最短,此时为最短.在中,,,则,,即的最小值是8.故选:.14.如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm?【答案】15cm【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内,得到一个矩形,作A点关于DF的对称点B,分别连接BD、BC,过点C作CE⊥DH于点E,如图所示则DB=AD=4cm由题意及辅助线作法知,M与N分别为GH与DF的中点,且四边形CMHE为长方形∴CE=MH=9cm,EH=CM=4cm∴DE=DH-EH=12-4=8(cm)∴BE=DE+DB=8+4=12(cm)在Rt△BEC中,由勾股定理得:即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm15.如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A点绕到正上方B点共四圈,已知易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带最短的是.【答案】52cm【详解】
由图可知,彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处,将易拉罐表面切开展开呈长方形,则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,设彩带最短长度为,则易拉罐底面周长是12,高是20∴解得:∴彩带最短是52cm故答案为:52cm.16.如图,在中,,,,是的平分线,若M、N分别是和上的动点,则的最小值是.【答案】【详解】如图,作N关于的对称点E,连接在中,,,,是的平分线,与关于轴对称,当时最小,由即解得故答案为:.17.如图,圆柱的高为6cm,底面周长为16cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行,从点A爬到点B的最短路程是cm.【答案】10【详解】解:如图所示:沿过A点和过B点的母线剪开,展成平面,连接AB,则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程,AD=×16=8(cm),∠D=90°,BD=6cm,由勾股定理得:(cm).故答案为:10.18.如图,三级台阶,每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm.【答案】17【详解】解:三级台阶平面展开图为长方形,长为8dm,宽为,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,由勾股定理得:,解得.故答案为:17.19.棱长分别为的两
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