第1节随机抽样、统计图表-高考一轮复习人教A版(适用于新高考新教材)

第1节随机抽样、统计图表高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025领航备考路径新课标核心考点2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.随机抽样、统计图表

第9题

第19题

第3题,第19题2.用样本估计总体

第9题第9题

第19题第9题

3.成对数据的统计分析第19题第19题

第20题

优化备考策略考情分析:从题型和题量上看,高考对本章一般命制1个题目,有时候是2个,并且多与概率知识综合.既有选择或填空题,也有解答题.从考查内容上看,主要考查统计图表信息题,尤其是对频率分布直方图的理解与应用,以及样本的数字特征和成对数据的统计分析.对数学建模、数据分析和数学运算的素养有一定的要求.复习策略:1.要重视百分位数、分层随机抽样中的样本数字特征等.在理解的基础上能熟练运用相关公式计算.2.要加强阅读理解的训练,本部分知识与实际联系密切,一般阅读量较大,需要平时多加训练,抓住材料本质,提炼关键内容,通过数学建模达到处理题目信息的目的.3.重视对统计图表信息题的训练,此类问题常通过真实的统计图表,以选择题尤其是多选题的形式考查读图能力和数据分析的核心素养,是高考命题的热点.课标解读1.了解简单随机抽样的含义,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法.了解样本与总体的关系.2.了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.3.能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.4.能根据实际问题的特点,选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述,体会合理使用统计图表的重要性.1强基础固本增分2研考点精准突破目录索引

1强基础固本增分知识梳理1.简单随机抽样(1)定义:一般地,设一个总体含有

个体,从中

抽取n(1≤n<N)个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率

,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样;如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.

(2)常用方法:

法和

法.

N(N为正整数)个

逐个

都相等

抽签随机数2.分层随机抽样一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个

,每个个体属于且

一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的

合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为

.

分成的各层互不重叠

子总体仅属于样本层微点拨1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.分层随机抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.微思考简单随机抽样与分层随机抽样有什么共同点和联系?提示

两种抽样方法的共同点、联系及适用范围:类别简单随机抽样分层随机抽样共同点(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等(2)每次抽出个体后不再放回,即不放回抽样联系最基本的抽样方法各层抽样时,采用简单随机抽样适用范围总体个数较少总体由差异明显的几部分组成3.频率分布直方图为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来,常画出频率分布直方图.画图时,应以横轴表示分组、纵轴表示各组频率与组距的比值,以各个组距为底,以各频率除以组距的商为高,画成小长方形,这样得到的直方图就是频率分布直方图.每个小长方形的面积表示样本落在该组内的频率

微点拨1.极差为一组数据中最大值与最小值的差.2.所有小长方形的面积和等于1.误区警示频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距,不要和条形图混淆.常用结论在分层随机抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为x;第二层的样本量为n,平均值为y,则样本的平均值为.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关,第一次被抽到的可能性最大.(

)2.分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(

)3.在分层随机抽样的过程中,哪一层的样本越多,该层中个体抽取到的可能性越大.(

)4.在频率分布直方图中,小长方形的面积越大,表示样本数据落在该区间的频率越大.(

)×××√题组二回源教材5.(人教A版必修第二册9.2.1节例1改编)(多选题)空气质量的指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数的值越小,表明空气质量越好.AQI指数不超过50,空气质量为“优”;AQI指数大于50且不超过100,空气质量为“良”;AQI指数大于100,空气质量为“污染”.下图是某市2020年空气质量指数(AQI)的月折线图.下列关于该市2020年空气质量的叙述中一定正确的是(

)某市2020年空气质量指数(AQI)月折线图

A.全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良B.每月都至少有一天空气质量为优C.2月,8月,9月和12月均出现污染天气D.空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份答案

ABC解析

每月的平均AQI指数都不超过100,故全年的平均AQI指数也不超过100,对应的空气质量为优或良,故选项A正确;每月的AQI指数的最小值均不超过50,故每月都至少有一天空气质量为优,选项B正确;2月,8月,9月和12月的AQI指数的最大值均大于100,故至少有一天出现了污染天气,故选项C正确;2月,8月,9月,12月中空气质量为“污染”的天数不确定,故选项D不一定正确.6.(人教A版必修第二册习题5.1第5题)一支田径队有男运动员56人,女运动员42人,按性别进行分层,用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,如果样本按比例分配,那么男、女运动员应各抽取多少名?解

运动员一共有98人,设男运动员应抽x人,所以

,解得x=16,则女运动员应抽取98-16=82(名).题组三连线高考7.(2023·新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生,则不同的抽样结果有(

)D8.(2022·天津,4)将1916年到2015年的全球年平均气温(单位:℃)共100个数据,分成6组:[13.55,13.75),[13.75,13.95),[13.95,14.15),[14.15,14.35),[14.35,14.55),[14.55,14.75],并整理得到如下的频率分布直方图,则全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有(

)A.22年

B.23年

C.25年

D.35年

B解析

依题意,全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的频率是0.2×0.5+0.2×0.65=0.23,故全球年平均气温在区间[14.35,14.75]内的有100×0.23=23年.故选B.2研考点精准突破考点一抽样方法(多考向探究预测)考向1简单随机抽样例1利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次C

考向2分层随机抽样例2(1)(2024·陕西咸阳模拟)为庆祝中国共产党二十大胜利召开,某学校团委举办了党史知识竞赛(满分100分),其中高一、高二、高三年级参赛选手的人数分别为1200,900,900.现用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取样本,经计算可得高一、高二年级参赛选手成绩的样本平均数分别为85,90,全校参赛选手成绩的样本平均数为88,则高三年级参赛选手成绩的样本平均数为(

)A.87 B.89

C.90

D.91C解析

由分层随机抽样定义可知,高一、高二、高三年级参赛选手的样本数之比为1

200∶900∶900=4∶3∶3,设高三年级参赛选手成绩的样本平均数为x,则

=88,解得x=90,故高三年级参赛选手成绩的样本平均数为90.(2)(2024·河北秦皇岛一中模拟)为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用按比例分配的分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是3∶1,被抽到的参与环保调研的村民中,甲村的人数比乙村多8人,则参加调研的总人数是(

)A.16 B.24

C.32

D.40A解析

设被抽取参与调研的乙村村民有x人,则甲村被抽取参与调研的有3x人,所以3x-x=8,解得x=4,所以参加调研的总人数为x+3x=16.[对点训练1](1)(多选题)在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.方法1:采用简单随机抽样的方法,将零件编号00,01,02,…,99,用抽签法抽取20个.方法2:采用分层随机抽样的方法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个.对于上述问题,下列说法正确的有(

)A.不论采用哪种抽样方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都B.采用不同的方法,这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同

C.在上述两种抽样方法中,方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征D.在上述抽样方法中,方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征答案

AC解析

对于A,B,根据两种抽样的特点知,不论哪种抽样,总体中每个个体被抽取的可能性都相等,都是

,故A正确,B错误;对于C,D,由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品),故方法2抽到的样本更有代表性,C正确,D错误.(2)(2024·山东潍坊模拟)某高中学校共有学生3600人,为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况,采用分层随机抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列,则该学校高三年级的学生人数为

人.

1500

解析

设从高二抽取的人数为x,则高一抽取的人数为x-4,高三抽取的人数为x+4.所以3x=48,解得x=16,所以高三年级抽取了20人,由分层随机抽样的概念可知高三年级的学生人数为3

600=1

500.考点二统计图表及应用(多考向探究预测)考向1扇形图例3(多选题)(2024·广东梅州模拟)某公司经营五种产业,为应对市场变化,在五年前进行了产业结构调整,优化后的产业结构使公司总利润不断增长,今年总利润比五年前增加了一倍,调整前后的各产业利润与总利润的占比如图所示,则下列结论错误的是(

)调整前

调整后

A.调整后传媒的利润增量小于杂志B.调整后房地产的利润有所下降C.调整后试卷的利润增加不到一倍D.调整后图书的利润增长了一倍以上答案

ABC解析

设调整前的各产业利润的总和为a,则调整后的各产业利润的总和为2a.对于选项A,调整前传媒的利润为0.1a,杂志的利润为0.05a,调整后传媒的利润为0.24a,杂志的利润为0.16a,则调整后传媒的利润增量为0.14a,杂志的利润增量为0.11a,故选项A错误;对于选项B,调整前房地产的利润为0.45a,调整后房地产的利润为0.5a,故选项B错误;对于选项C,调整前试卷的利润为0.15a,调整后试卷的利润为0.46a,且

>3,故选项C错误;对于选项D,调整前图书的利润为0.25a,调整后图书的利润为0.64a,且

>2,故选项D正确.故选ABC.[对点训练2](多选题)(2024·广东中山模拟)航海模型项目在我国已开展四十余年,深受青少年的喜爱.该项目整合国防、科技、工程、艺术、物理、数学等知识,主要通过让参赛选手制作、遥控各类船只、舰艇等模型航行,普及船艇知识,探究海洋奥秘,助力培养未来海洋强国的建设者.某学校为了解学生对航海模型项目的喜爱程度,用比例分配的分层随机抽样法从某校高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查.已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示,若抽取的样本中高三年级学生有32人,则下列说法正确的是(

)A.该校高一学生人数是2000B.样本中高二学生人数是28C.样本中高三学生人数比高一学生人数多12D.该校学生总人数是8000BC解析

由图可知高三年级学生人数占总人数的40%,因为抽取的样本中高三年级学生有32人,则抽取的学生总人数为

=80,则样本中高一学生人数为80×25%=20,样本中高二学生人数为80×35%=28,从而所抽取的样本中高三学生人数比高一学生人数多32-20=12.因为从该校所有学生中抽取的学生总人数是80,但抽取的比例不知道,所以该校高一学生人数和该校学生总人数不能确定,所以AD错误,BC正确.故选BC.考向2条形图、折线图例4(多选题)(2024·江苏南京、盐城模拟)新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于21世纪初,近年来发展迅速,连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况,则下列叙述正确的是(

)2017~2022年我国新能源汽车年产量(单位:万辆)2017~2022年我国新能源汽车占比(单位:%)A.2017~2022年我国新能源汽车年产量逐年增加B.2017~2022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆D.2019年我国汽车年总产量不低于2018年我国汽车年总产量答案

BC[对点训练3](1)(多选题)(2024·浙江宁波模拟)根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位:℃)绘制如下折线图,那么下列叙述正确的是(

)A.5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B.9号的最高气温与最低气温的差值最大C.最高气温的众数为27℃D.5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大AC解析

由5号到11号的最低气温的散点分布是从左下到右上可知:最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关,故A正确;由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大,故B错误;最高气温27

℃出现了两次,其他数据均出现1次,故27

℃是最高气温的众数,故C正确;5号到15号的最低气温的极差小于15-3=12,5号到15号的最高气温的极差等于27-15=12,故D错误.故选AC.(2)(2024·四川南充模拟)一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查,制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形图(如图),根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递

万件.

菜鸟驿站站点

个数情况图

菜鸟驿站各站点年收

发量平均数情况图1400

解析

由图可知,三年共收发快递20×30+30×45+25×90=4

200万件,所以这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递

=1

400(万件).考向3频率分布直方图例5(2021·全国甲,文2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是(

)A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间C解析

该地农户家庭年收入低于4.5万