高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)09应用基本不等式求最值和证明不等式(原卷版+解析)

常考题型09应用基本不等式求最值和证明不等式1.如果a，b都是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。3.几个常用的重要结论(1)ba+ab≥2(a与b同号，当且仅当(2)a+1a≥2(a>0，当且仅当a=1时取等号)，a+1a≤-2(a(3)ab≤a+b22(a，b∈R，当且仅当a=b(4)(a，b>0，当且仅当a=b时取等号)。考法一：求最值1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值。2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：(1)加项变换；(2)拆项变换；(3)统一换元；(4)平方后利用基本不等式。3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。考法二：证明不等式1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。探究一：基本不等式求积的最大值已知，，，则的最大值为___________.思路分析：思路分析：由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可。【变式练习】1．已知，，，则的最大值为________．2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______．探究二：基本不等式求和的最小值已知，若，则的最小值为___________．思路分析：思路分析：根据条件，化简所给的等式，得到，然后根据积为常数，和有最小值，进行恒等变形，利用基本不等式求的最小值。【变式练习】1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值不等式的解集为，则的最大值为____________.思路分析：思路分析：分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值。【变式练习】1．是不同时为0的实数，则的最大值为________．2．已知，则的最大值为______________;探究四：利用基本不等式证明不等关系已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)．思路分析：思路分析：（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论。【变式练习】1．已知a，b，c均为正实数.(1)求证：.(2)若，求证：.2．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.(1)若，则；(2)若，则.一、单选题1．已知，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．62．若，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．负实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．4．设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（

）A．4 B． C．9 D．106．已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．37．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是A．周长的最大值为 B．周长的最小值为C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1二、多选题9．以下结论正确的是（

）A．函数的最小值是2；B．若且，则；C．的最小值是2；D．函数的最大值为0．10．下列说法正确的有（

）A．的最小值为2B．已知，则的最小值为C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3D．设x，y为实数，若，则的最大值为11．下列说法正确的有（

）A．若，则的最大值是-1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是12．下列命题中真命题有（

）A．若，则的最大值为2B．当，时，C．若，则的最大值为D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立三、填空题13．若实数满足，则的最大值为___________.14．若，，，则当______时，取得最小值．15．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.16．已知，，下面四个结论:①；②；③若，则；④若，则的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)四、解答题17．已知x，y都是正实数．(1)求证：；(2)若，求的最小值．18．已知，且满足．(1)若，求的值；(2)求：的最大值与最小值．19．已知，，且．(1)求的最小值；(2)是否存在，，使得的值为？并说明理由．20．（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．21．已知均为正实数，且满足证明：(1)；(2)．22．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；常考题型09应用基本不等式求最值和证明不等式1.如果a，b都是正数，那么a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立。我们称上述不等式为基本不等式，其中a+b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b2.利用基本不等式求最值时，等号必须取得才能求出最值，若由于定义域或题设的限制使等号不能成立，则要换另一种方法解答，如函数的单调性等。3.几个常用的重要结论(1)ba+ab≥2(a与b同号，当且仅当(2)a+1a≥2(a>0，当且仅当a=1时取等号)，a+1a≤-2(a(3)ab≤a+b22(a，b∈R，当且仅当a=b(4)(a，b>0，当且仅当a=b时取等号)。考法一：求最值1.直接法：利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等。(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值。2.配凑法：在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.常用方法有：(1)加项变换；(2)拆项变换；(3)统一换元；(4)平方后利用基本不等式。3.常数代换法：若不直接满足应用基本不等式的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，其中常数代换法应用比较广泛，如构造“1”的代换等。考法二：证明不等式1.两种常见类型：一是无附加条件的不等式证明；二是有附加条件的不等式证明。2.要先观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件。3.若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，常用常数代换.解题过程中要时刻注意等号能否取到。探究一：基本不等式求积的最大值已知，，，则的最大值为___________.思路分析：思路分析：由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可。【解析】解：，当时取等，所以，故令，则，所以，当时，等号成立.所以的最大值为故答案为：答案：【变式练习】1．已知，，，则的最大值为________．答案：【解析】解：，，即，当且仅当，即或时，等号成立，，，的最大值为．故答案为：．2．已知对任意，，恒有成立，则实数a的取值范围为______．答案：【解析】由，得．∵，，∴．∵，∴，当且仅当时，等号成立.∴，∴实数a的取值范围是．故答案为：.探究二：基本不等式求和的最小值已知，若，则的最小值为___________．思路分析：思路分析：根据条件，化简所给的等式，得到，然后根据积为常数，和有最小值，进行恒等变形，利用基本不等式求的最小值。【解析】因为，所以，整理可得，由已知，则，可得，即，所以，所以，所以，当且仅当是取到等号，又，所以取到最小值.故答案为：.答案：【变式练习】1．设关于x的一元二次方程的两个解分别为，则的最小值为___________．答案：【解析】解：因为关于x的一元二次方程的两个解分别为，所以，解得，，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故答案为：.2．已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．答案：17【解析】因为，当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：17探究三：二次与二次（或一次）的商式的最值不等式的解集为，则的最大值为____________.思路分析：思路分析：分、两种情况讨论，根据题意可得出、所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得的最大值。【解析】当时，即不等式的解集为，则，，要使得有意义，此时，则；当时，若不等式的解集为，则，即，所以，，因为，则，当时，则，此时；当时，则，令，则，当且仅当时，等号成立.综上所述，的最大值为.故答案为：.答案：【变式练习】1．是不同时为0的实数，则的最大值为________．答案：【解析】,，当且仅当时取等号，所以的最大值为．故答案为：．2．已知，则的最大值为______________;答案：【解析】当时，，，当且仅当即时等号成立.故答案为：.探究四：利用基本不等式证明不等关系已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)．思路分析：思路分析：（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论。【解析】（1）证明：左边，当且仅当时取“＝”．故．（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，所以，所以，所以，①同理，当且仅当时取取“＝”，②，当且仅当时取“＝”．③①+②+③，得，当且仅当时等号成立．【变式练习】1．已知a，b，c均为正实数.(1)求证：.(2)若，求证：.【解析】（1）因为a，b，c都是正数，所以，当且仅当时，等号成立，所以；（2），当且仅当时等号成立.∴.2．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.(1)若，则；(2)若，则.答案：(1)证明见解析，等号成立条件见解析；(2)证明见解析，等号成立条件见解析【解析】（1）因为，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立.（2）因为，当时，，当且仅当时等号成立.当时，，当且仅当时等号成立.综上，若，则成立，当且仅当时等号成立.一、单选题1．已知，则的最大值为（）A．2 B．4 C．5 D．6答案：A【解析】因为，所以可得，则，当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2．故选：A．2．若，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：A【解析】当时，，当且仅当，即时等号成立.故选：A.3．负实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．答案：A【解析】根据题意有，故，当且仅当，时取等号.故选：A4．设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为正实数、、满足，则，则，当且仅当时取等号.故的最大值为.故选：C.5．已知正实数a，b，c，d满足，则最小值为（

）A．4 B． C．9 D．10答案：C【解析】由，则，即当且仅当时，取得等号.当且仅当，即，也即时等号成立.所以当且仅当，，时，取得最小值9故选：C6．已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3答案：D【解析】解：因为为正实数且，所以，所以，因为，当且仅当时等号成立；所以，当且仅当时等号成立；故选：D7．若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．8．已知的斜边长为2.则下列关于的说法中，正确的是A．周长的最大值为 B．周长的最小值为C．面积的最大值为2 D．面积的最小值为1答案：A【解析】设为斜边，所以，由基本不等式的推论可得：，当且仅当时等号成立，据此可知，故△ABC的周长，周长的最大值为，选项A正确，B错误，由基本不等式可知当且仅当时取等号，由面积公式，故面积的最大值为1，所以C，D选项错误；故选：A.二、多选题9．以下结论正确的是（

）A．函数的最小值是2；B．若且，则；C．的最小值是2；D．函数的最大值为0．答案：BD【解析】对于A，当时，结论显然不成立，故错误；对于B，由知，根据均值不等式可得，故正确；对于C，令，则单调递增，故最小值为，故C错误；对于D，由可知，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BD10．下列说法正确的有（

）A．的最小值为2B．已知，则的最小值为C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3D．设x，y为实数，若，则的最大值为答案：BD【解析】对于A选项，当时，，故A选项错误，对于B选项，当时，，则，当且仅当时，等号成立，故B选项正确，对于C选项，若正数、满足，则，，当且仅当时，等号成立，故C选项错误，对于D选项，，所以,当且仅当时，等号成立，可得，时取最大值，故的最大值为，D选项正确．故选：BD．11．下列说法正确的有（

）A．若，则的最大值是-1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是答案：ABD【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为-1，故A正确；对于B，因为，，都是正数，且，所以，所以，当且仅当，即即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所以，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，，则，，因为，所以，同号，则，同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故D正确，故选：ABD．12．下列命题中真命题有（

）A．若，则的最大值为2B．当，时，C．若，则的最大值为D．当且仅当a，b均为正数时，恒成立答案：ABC【解析】A选项，，当且仅当时等号成立，A正确.B选项，，当且仅当时等号成立，B正确.C选项，则，，当且仅当时等号成立，C正确.D选项，当均为负数时，也成立，所以D选项错误.故选：ABC三、填空题13．若实数满足，则的最大值为___________.答案：【解析】令，则，即，所以，当时，；当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.所以的最大值为.故答案为：.14．若，，，则当______时，取得最小值．答案：【解析】解：因为，，所以，即．当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．综上所述，当时，取得最小值．故答案为：15．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________.答案：【解析】由题意，，，当且仅当时等号成立.∴此三角形面积的最大值为.故答案为：16．已知，，下面四个结论:①；②；③若，则；④若，则的最小值为；其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)答案：①③④【解析】因为，所以即所以，故①正确因为所以所以，故②错误因为，所以因为，所以，故③正确因为，当且仅当即时取得最小值因为，所以即，故④正确故答案为：①③④四、解答题17．已知x，y都是正实数．(1)求证：；(2)若，求的最小值．答案：(1)证明见解析；(2)9分析：(1)∵，，∴，，∴，又，∴