江苏南京金陵中学2024年高一4月期中测试数学试题

·1· 1下列几何体中,棱数最多的为A.五棱锥B.三棱台C.三棱柱D.四棱锥 A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i 3△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=x,b=,A=,该三角形有两个解,则实数x的取值范围为A.,6B.2,2C.,D.,4已知=3,-1,单位向量与=2,1同向共线,则在方向上的投影向量为()A.-,B.,-C.-,D.,-·2· 1+tan22°1+tan23°,那么M,N,P之间的大小顺序为()A.M<N<PB.P<M<NC.N<M<PD.P<N<MA.B.C.D.A7十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方使得眼睛可以从A点观察，滑动横档CD使得A,C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D,DE的影子恰好是AAE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称为太阳高度角),BA,AC上.若△DEF为正三角形，则日·4· A.若1+iz=-i,则z=1B.若z的共轭复数z=--i,则z2=zC.i2024=1D.在复平面内,集合M=zz-2≤2所构成区域的面积为6πA.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形B.若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.求β的值.·8· 已知向量=2cosx,1,=-cosx+(2)记fx=⋅,x∈R.①求fx的单调增区间;②若任意x∈-,,均满足-2≤fx-m≤5,求实数m的取值范围.·9· 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sinC=sinBsinA-cosA.(1)若b=(2)若△ABC为锐角三角形,求证:tanA+tanB≥7+4;(1)为了找回小船，需要测量小船的漂移速度(请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h).(1)如图1,在湖岸设置一个观察点A,A点距离O点20m.当小船在漂移到B处时，测得(2)如图2,在岸边设置两个观察点A,B,且A,B之间的直线距离为20m,当小船在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=15°;经过20s,小船漂移到D处，测得∠BAD=75°(2)如图3,若小船从点O开始漂移的同时，在O点处的一名安全员沿河岸以4km/h开始2.2km/h,于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h的速度游泳沿直线追赶小船.问安全员是否能追上小船?请说明理由.参考数据,√2≈1414,v3≈1.732.·1· 1下列几何体中,棱数最多的为A.五棱锥B.三棱台C.三棱柱D.四棱锥 A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i 3△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=x,b=,A=,该三角形有两个解,则实数x的取值范围为A.,6B.2,2C.,D., 4已知=3,-1,单位向量与=2,1同向共线,则在方向上的投影向量为()A.-,B.,-C.-,D.,-·2·则在方向上的投影向量为==,-. 1+tan22°1+tan23°,那么M,N,P之间的大小顺序为()A.M<N<PB.P<M<NC.N<M<PD.P<N<M所以P<M<N. A.B.C.D.3-3-A.B.C.D.-3tan2θ=+ 5-122=1+,sin2θ=1-,所以tan2θ====5-127十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方使得眼睛可以从A点观察，滑动横档CD使得A,C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D,DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD(称为太阳高度角),若在一次测量中，AE=60,横档CD的长度为40,则太阳高度角的正弦值为()BA,AC上.若△DEF为正三角形，则日【答案】C·4· 从而△DEF的面积为S△DEF=DF2=2=. A.若1+iz=-i,则z=1B.若z的共轭复数z=--i,则z2=zC.i2024=1D.在复平面内,集合M=zz-2≤2所构成区域的面积为6π-2+-2=,-2+-2=,A错误;对于B:z=-+i,故z2=--i=z,故B正确;*A.若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形B.若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosC2<c2,所以C为锐角,但不能断定△AB对于D,由得所以sinAcosB+sinAcosC=sin(A+C)+sin(A+B)=sinAcosC+cosAsinC+sD.矩形ABCD的面积的最大值为正方法1:三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。可化为2b,根据基本不等式16=a²+c²+ac≥2ac+ac,可得·8· 已知向量=2cosx,1,=-cosx+(2)记fx=⋅,x∈R.①求fx的单调增区间;②若任意x∈-,,均满足-2≤fx-m≤5,求实数m的取值范围.-x+=cos-x,由于x∈0,,所以-x∈,,所以x=π-x+,则x=.-sinx=0,f(x)=-2cosx⋅cosx-sinx+=sin2x-cos2x=sin2x-,f(x)的单调增区间为kπ-,kπ+.(2)因为x∈-,,所以2x-∈-π,,所以当2x-=-,即x=-时,fxmin=-1；因为-2≤fx-m≤5恒成立,所以fx-5≤m≤fx+2恒成立,所以fxmax-5≤m≤fxmin+2,所以m的范围是-,1.·9· 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3sinC=sinBsinA-cosA.(1)若b=(2)若△ABC为锐角三角形,求证:tanA+tanB≥7+4;即3sinA+B=sinAsinB-cosAsinB,tanA+tanB+=7++.tanAtanB.tanAtanB.2A-cosAsinA=1-sin2A-cos2A=+1,1-sin2A-cos2A1-2sin2A+,(1)为了找回小船，需要测量小船的漂移速度(请使用km/h作为单位，精确到0.1km/h).(1)如图1,在湖岸设置一个观察点A,A点距离O点20m.当小船在漂移到B处时，测得(2)如图2,在岸边设置两个观察点A,B,且A,B之间的直线距离为20m,当小船在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=15°;经过20s,小船漂移到D处，测得∠BAD=75°2.2km/h,于是安全员在河岸上选择合适的地点A下水，以2km/h