备考2025届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合

突破2概率与统计的综合1.[命题点1]某科技公司开发出一款生态环保产品.已知该环保产品每售出1件预料利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元.依据市场调研，该环保产品的市场月需求量x（单位：件）在[155，205]内取值，将月需求量区间平均分成5组，以各组区间的中点值代表该组的月需求量，得到如图所示的频率分布折线图.（1）请依据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差；（2）以频率分布折线图的频率估计概率，若该公司支配环保产品的月产量n∈[180，190]，n∈N*（单位：件），求月利润Y（单位：万元）的数学期望的最大值.参考数据：∑i=15xi2pi＝32850，xi是各组区间中点值，pi是各组月需求量对应的频率，i＝1，2解析（1）由题意，得该环保产品的市场月需求量的平均值x＝160×0.05＋170×0.2＋180×0.4＋190×0.3＋200×0.05＝181（件）.解法一该环保产品的市场月需求量的方差s2＝∑i=15xi2pi－x2解法二s2＝∑i（2）设市场月需求量为M件，由题意知，M的全部可能值为160，170，180，190，200，则M的分布列为M160170180190200P0.050.20.40.30.05当180≤n≤190，n∈N*时，若市场月需求量为160，则Y＝96－0.2n；若市场月需求量为170，则Y＝102－0.2n；若市场月需求量为180，则Y＝108－0.2n；若市场月需求量为190或200，则Y＝0.4n.故E（Y）＝（96－0.2n）×0.05＋（102－0.2n）×0.2＋（108－0.2n）×0.4＋0.4n×0.35＝68.4＋0.01n.又n∈[180，190]，故当n＝190时，月利润Y的数学期望取得最大值，为70.3万元.2.[命题点2/多选/2024沈阳市三检]下列命题中正确的是（ABD）A.已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50％分位数是7.5B.已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，则P（1＜X＜2）＝0.2C.已知随机变量Y～B（10，12），则E（Y）＝D.已知阅历回来方程y^＝－2x＋3，则y与x解析数据6，6，7，8，10，12的50％分位数，即中位数，为7+82＝7.5，所以选项A正确；因为随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，所以P（2＜X＜3）＝P（X＞2）－P（X＞3）＝0.5－0.3＝0.2，则P（1＜X＜2）＝P（2＜X＜3）＝0.2，所以选项B正确；因为随机变量Y～B（10，12），所以E（Y）＝10×12＝5，所以选项C错误；因为阅历回来方程y^＝－2x＋3中，x的系数为负，所以y与x具有负线性相关关系，所以选项D3.[命题点3/2024平许济洛第一次质检]“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一.每年农历正月十三为书会正日，届时来自各地的说书艺人负鼓携琴，汇合于此，说书亮艺，河南坠子、道情、琴书等曲种无奇不有，规模壮丽.为了解人们对该活动的宠爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：单位：人不宠爱宠爱合计男性90120女性25合计200（1）完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，推断人们对该活动的宠爱程度是否与性别有关联.（2）为宣扬曲艺文化学问，当地文化局在书会上组织了戏曲学问竞赛活动.活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答.假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是34，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；②设随机变量X表示戏迷乙正确完成题的个数，求X的分布列及数学期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解析（1）补全的2×2列联表如下：单位：人不宠爱宠爱合计男性3090120女性255580合计55145200零假设为H0：人们对该活动的宠爱程度与性别无关.依据表中数据，计算得到χ2＝200×（30依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此我们可以认为H0成立，即认为人们对该活动的宠爱程度与性别无关.（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事务A，则P（A）＝C43（34）314＋C44（