高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.5《平面向量》真题+模拟试卷(原卷版+解析)

专题6.5《平面向量》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．52.(2023·全国·高考真题（文））设非零向量，满足，则（

）A．⊥ B．C．∥ D．3．(2023·全国·高考真题（文））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（

）A． B． C． D．4.(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5.(2023·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（

）A． B． C． D．6．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°7．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．(2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·全国·高三专题练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．10．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（

）A．4 B．8 C．12 D．1611．(2023·江苏·模拟预测）已知向量，，，，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是12．(2023·福建·福州三中高三阶段练习）中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（

）A．满足条件的不可能是直角三角形B．面积的最大值为C．是中点，的最大值为3D．当时，的面积为第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；________.14．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．15．（2023·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．16．（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．(1)求的值；(2)求与的夹角．18．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．19．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．(2023·全国·高三专题练习）已知向量，其中.(1)若，，求；(2)若，函数的最小值为，求实数的值.21．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.22．（2023·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．专题6.5《平面向量》真题+模拟试卷第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】分析：先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D2.(2023·全国·高考真题（文））设非零向量，满足，则（

）A．⊥ B．C．∥ D．答案：A【解析】【详解】由平方得，即，则，故选A.3．(2023·全国·高考真题（文））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（

）A． B． C． D．答案：A【解析】【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.4.(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案：C【解析】分析：根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量均为单位向量所以所以“”是“”的充要条件故选：C5.(2023·山东潍坊·模拟预测）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：设，根据向量的线性运算，得到，结合，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.6．(2023·辽宁·大连市一0三中学模拟预测）已知单位向量，满足，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：C【解析】分析：根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；【详解】解：因为，为单位向量，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以，因为，所以；故选：C7．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由几何关系分解向量，根据数量积的定义与运算法则求解【详解】设为斜边上的高，则圆的半径，设为斜边的中点，，因为，，则，所以的最大值为故选：D8．(2023·全国·模拟预测）已知H为的垂心，若，则（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：，，利用、得，，解得，再利用平方共线可得答案.【详解】依题意，，同理．由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．(2023·全国·高三专题练习）已知为非零平面向量，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．答案：AB【解析】分析：A．利用平面向量的数量积运算判断；B.利用平面向量共线定理判断；C.利用平面向量数量积的运算律判断；D.利用平面向量的共线定理判断.【详解】A.因为，所以，则，故正确；B.若为非零平面向量，且，由共线向量定理知：，故正确；C.若，则，则，故错误；D.与共线，与共线，故错误；故选：AB10．(2023·辽宁实验中学模拟预测）已知平面向量，且，满足，若﹐则可能的取值为（

）A．4 B．8 C．12 D．16答案：CD【解析】分析：因为，且，所以不妨设，，然后设．由，得点位置（轨迹），分类讨论求出的范围，得出正确选项．【详解】因为，且，所以不妨设，，如图，设．因为，则点在轴负半轴或射线上（不含原点），，，显然当在在轴负半轴的点时，，不满足，因此满足的点在射线上（不含原点），由得，即，所以，，只有CD满足．故选：CD．11．(2023·江苏·模拟预测）已知向量，，，，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为D．若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是答案：ABC【解析】分析：利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A，利用向量坐标的表示可判断B，利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C，利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D.【详解】对于A，因为，，，所以，解得，所以A正确.对于B，由，得，则解得，故，所以B正确.对于C，因为，所以，则当时，取得最小值，为，所以C正确.对于D，因为，，向量与向量的夹角为锐角，所以，解得；当向量与向量共线时，，解得，所以的取值范围是，所以D不正确.故选：ABC.12．(2023·福建·福州三中高三阶段练习）中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（

）A．满足条件的不可能是直角三角形B．面积的最大值为C．是中点，的最大值为3D．当时，的面积为答案：BD【解析】分析：建立平面直角坐标系，由条件确定点的轨迹，由此判断各选项对错.【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，由，得，即，，化简得：，即点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点）.如图所示：对于：以为圆心，为半径作圆，记该圆与圆的交点为，则为直角三角形，错误；对于：由图得面积的最大值为正确；对于是中点，的值为在上的投影与的积，又点在以为圆心，以为半径的圆上（除去两点），故，错误；对于D：若，则，，正确.故选：BD第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________；________.答案：

0

3【解析】分析：根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3.14．（2023·全国·高考真题（理））已知向量．若，则________．答案：.【解析】分析：利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值【详解】,，解得,故答案为：.15．（2023·全国·高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．答案：【解析】分析：由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.【详解】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.16．（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．答案：

1

【解析】分析：设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．(1)求的值；(2)求与的夹角．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根据向量数量积运算法则得到，进而求出模长；（2）结合第一问，利用向量夹角坐标公式进行求解.(1)∵，，，∴，解得:..故；(2)设与的夹角，则，又∵，∴18．(2023·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．答案：(1)；(2)．【解析】分析：（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．(1)由于，，则．因为，由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．19．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．答案：（1）；（2）存在，且.【解析】分析：（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.【详解】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.20．(2023·全国·高三专题练习）已知向量，其中.(1)若，，求；(2)若，函数的最小值为，求实数的值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根据，得到，再利用平方关系求解；（2）由，，令，则，转化为，，根据的最小值为，利用二次函数的性质求解.(1)解：因为，所以，于是，因式分解得：，结合，解得，（舍），检验，，在满足，故.(2)，，设，则，因为函数的最小值为，所以，，的最小值为.根据对称轴所在范围讨论如下：①当对称轴在区间左侧，即时，在上单调递增，故，不满足的最小值为.②当对称轴在区间上，即时，故，即，解得或（舍）.③当对称轴在区间右侧，即时，在上单调递减，故，解得，不满足，综上，.21．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.答案：（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一