2024年高考数学第一轮复习讲义第六章6.2　等差数列(学生版+解析)

§6.2等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母______表示，定义表达式为________________________．(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，且有A＝________.2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝________________.(2)前n项和公式：Sn＝__________________或Sn＝________________________.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋____________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．常用结论1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.()(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．()教材改编题1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于()A．－2B．－1C．1D．22．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于()A．12B．8C．20D．163．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于()A．10B．11C．12D．13听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)()A．一尺五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．四尺五寸(2)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,an＋1)))是等差数列，且a1＝1，a3＝－eq\f(1,3)，那么a2024＝________.题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{eq\r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．跟踪训练2已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)若aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且log2(2a1·2a2·…·2a11)＝22，则S13等于()A．40B．65C．80D．40＋log25(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b2024的值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)相结合．跟踪训练3(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足eq\f(a8,a5)＝－2，则下列结论一定成立的是()A.eq\f(a9,a4)＝－1 B.eq\f(a8,a3)＝－1C.eq\f(a9,a3)＝－1 D.eq\f(a10,a4)＝－1命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a2,b3＋b13)＋eq\f(a14,b5＋b11)的值为()A.eq\f(29,45)B.eq\f(13,29)C.eq\f(9,19)D.eq\f(19,30)听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为()A．30 B．29C．28 D．27听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练4(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于()A．6B．10C．20D．40(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，则S2023等于()A．2023 B．－2023C．4046 D．－4046§6.2等差数列考试要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)．(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq\f(a＋b,2).2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．常用结论1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．4．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(3)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.(×)(4)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．(√)教材改编题1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于()A．－2B．－1C．1D．2答案C解析设等差数列{an}的公差为d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝19，,d＝－2.))∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于()A．12B．8C．20D．16答案D解析等差数列{an}中，S4，S8－S4，S12－S8仍为等差数列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12为等差数列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝10，S4＝28，则Sn的最大值为________．答案30解析由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－n2＋11n.当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a3a6，若该数列的前n项和Sn＝0，则n等于()A．10B．11C．12D．13答案D解析由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋eq\f(nn－1,2)＝0，解得a1＝－6，n＝13.(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块答案C解析设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq\f(27×26,2)×9＝3402(块)．思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.跟踪训练1(1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸答案B解析由题意知，从冬至日起，依次为小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列{an}，设公差为d，∵冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝315，,S9＝9a1＋\f(9×8,2)d＝855，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝135，,d＝－10，))∴芒种日影长为a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸．(2)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,an＋1)))是等差数列，且a1＝1，a3＝－eq\f(1,3)，那么a2024＝________.答案－eq\f(1011,1012)解析设等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,an＋1)))的公差为d，因为a1＝1，a3＝－eq\f(1,3)，所以eq\f(2,a1＋1)＝1，eq\f(2,a3＋1)＝3.所以3＝1＋2d，解得d＝1.所以eq\f(2,an＋1)＝1＋n－1＝n，所以an＝eq\f(2,n)－1.所以a2024＝eq\f(2,2024)－1＝－eq\f(2022,2024)＝－eq\f(1011,1012).题型二等差数列的判定与证明例2(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{an}是等差数列；②数列{eq\r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解①③⇒②.已知{an}是等差数列，a2＝3a1.设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n2a1.因为数列{an}的各项均为正数，所以eq\r(Sn)＝neq\r(a1)，所以eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝(n＋1)eq\r(a1)－neq\r(a1)＝eq\r(a1)(常数)，所以数列{eq\r(Sn)}是等差数列．①②⇒③.已知{an}是等差数列，{eq\r(Sn)}是等差数列．设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(1,2)n2d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.因为数列{eq\r(Sn)}是等差数列，所以数列{eq\r(Sn)}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－eq\f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{eq\r(Sn)}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{eq\r(Sn)}的公差为d，d>0，则eq\r(S2)－eq\r(S1)＝eq\r(4a1)－eq\r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一次函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列．思维升华判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n项和公式法．跟踪训练2已知数列{an}的各项都是正数，n∈N*.(1)若{an}是等差数列，公差为d，且bn是an和an＋1的等比中项，设cn＝beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；(2)若aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)，Sn为数列{an}的前n项和，求数列{an}的通项公式．(1)证明由题意得beq\o\al(2,n)＝anan＋1，则cn＝beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常数)，∴{cn}是等差数列．(2)解当n＝1时，aeq\o\al(3,1)＝aeq\o\al(2,1)，∵a1>0，∴a1＝1.aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)，①当n≥2时，aeq\o\al(3,1)＋aeq\o\al(3,2)＋aeq\o\al(3,3)＋…＋aeq\o\al(3,n－1)＝Seq\o\al(2,n－1)，②①－②得，aeq\o\al(3,n)＝Seq\o\al(2,n)－Seq\o\al(2,n－1)＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．∵an>0，∴aeq\o\al(2,n)＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③∵a1＝1也符合上式，∴当n≥2时，aeq\o\al(2,n－1)＝2Sn－1－an－1，④③－④得aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1＝an＋an－1，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，可得an＝n.题型三等差数列的性质命题点1等差数列项的性质例3(1)已知在等差数列{an}中，若a8＝8且＝22，则S13等于()A．40B．65C．80D．40＋log25答案B解析a1＋a2＋…＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，则S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝eq\f(13a6＋a8,2)＝65.(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，则a2024－b2024的值为________．答案4051解析令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列．设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2.故a2024－b2024＝c2024＝5＋2023×2＝4051.思维升华等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)相结合．跟踪训练3(1)若等差数列{an}的前15项和S15＝30，则2a5－a6－a10＋a14等于()A．2B．3C．4D．5答案A解析∵S15＝30，∴eq\f(15,2)(a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{an}满足eq\f(a8,a5)＝－2，则下列结论一定成立的是()A.eq\f(a9,a4)＝－1 B.eq\f(a8,a3)＝－1C.eq\f(a9,a3)＝－1 D.eq\f(a10,a4)＝－1答案C解析由eq\f(a8,a5)＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因为a5≠0，a6＝0，所以a3≠0，eq\f(a9,a3)＝－1.命题点2等差数列前n项和的性质例4(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a2,b3＋b13)＋eq\f(a14,b5＋b11)的值为()A.eq\f(29,45)B.eq\f(13,29)C.eq\f(9,19)D.eq\f(19,30)答案C解析由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴eq\f(a2,b3＋b13)＋eq\f(a14,b5＋b11)＝eq\f(a2＋a14,2b8)＝eq\f(a8,b8)＝eq\f(S15,T15)＝eq\f(2×15－3,4×15－3)＝eq\f(27,57)＝eq\f(9,19).(2)已知等差数列{an}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为()A．30B．29C．28D．27答案B解析奇数项共有(n＋1)项，其和为eq\f(a1＋a2n＋1,2)·(n＋1)＝eq\f(2an＋1,2)·(n＋1)＝290，∴(n＋1)an＋1＝290.偶数项共有n项，其和为eq\f(a2＋a2n,2)·n＝eq\f(2an＋1,2)·n＝nan＋1＝261，∴an＋1＝290－261＝29.思维升华等差数列前n项和的常用的性质是：在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练4(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，则m等于()A．6B．10C．20D．40答案C解析由S4＝20，S5＝30，得a5＝S5－S4＝10，由等差数列的性质，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2020，eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6，则S2023等于()A．2023 B．－2023C．4046 D．－4046答案C解析∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，设公差为d′，则eq\f(S2020,2020)－eq\f(S2014,2014)＝6d′＝6，∴d′＝1，首项为eq\f(S1,1)＝－2020，∴eq\f(S2023,2023)＝－2020＋(2023－1)×1＝2，∴S2023＝2023×2＝4046，故选C.课时精练1．首项为－21的等差数列从第8项起为正数，则公差d的取值范围是()A．(3，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))答案D解析an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得3<d≤eq\f(7,2).2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S50－S47＝12，则S97等于()A．198B．388C．776D．2023答案B解析∵S50－S47＝a48＋a49＋a50＝12，∴a49＝4，∴S97＝eq\f(97×a1＋a97,2)＝97a49＝97×4＝388.3．已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为()A．28 B．29C．30 D．31答案B解析设等差数列{an}共有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，该数列的中间项为an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.4．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A．己丑年 B．己酉年C．丙寅年 D．甲寅年答案A解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3a5＝7a11，且a1>0.则使Sn<0的n的最小值为()A．30B．31C．32D．33答案B解析根据题意，设等差数列{an}的公差为d，若3a5＝7a11，且a1>0，则3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，变形可得4a1＋58d＝0，则a1＝－eq\f(29,2)d，所以Sn＝na1＋eq\f(nn－1d,2)＝－eq\f(29,2)nd＋eq\f(nn－1d,2)＝eq\f(d,2)(n2－30n)，因为a1＝－eq\f(29,2)d>0，所以d<0，若Sn<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，则n>30，故使Sn<0的n的最小值为31.6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差数列，则下列结论中一定成立的是()A．a，b，c依次成等差数列B.eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)依次成等差数列C．a2，b2，c2依次成等差数列D．a3，b3，c3依次成等差数列答案C解析在△ABC中，若eq\f(1,tanA)，eq\f(1,tanB)，eq\f(1,tanC)依次成等差数列，则eq\f(2,tanB)＝eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)，整理得eq\f(2cosB,sinB)＝eq\f(cosC,sinC)＋eq\f(cosA,sinA)，利用正弦定理和余弦定理得2·eq\f(a2＋c2－b2,2abc)＝eq\f(a2＋b2－c2,2abc)＋eq\f(b2＋c2－a2,2abc)，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形，故A，B，D不一定成立，C一定成立．7．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.答案2解析由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.答案200解析依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝eq\f(8,9)，因此S100＝10S10＋eq\f(10×9,2)d＝10×16＋eq\f(10×9,2)×eq\f(8,9)＝200.9．已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，________.若存在正整数n，使得Sn有最小值．(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn的最小值．从①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．解选择①作为补充条件：(1)因为a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－3，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(1,2)n(n－7)．因为n∈N*，所以当n＝3或4时，Sn取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值为－6.选择②作为补充条件：(1)因为a5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*)．(2)由(1)可知a1＝－7，所以Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n2－8n.所以当n＝4时，Sn取得最小值，且最小值为－16.故存在正整数n＝4，使得Sn有最小值，最小值为－16.不可以选择③作为补充条件．10．在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，∵a1＝8，a4＝2，∴d＝eq\f(a4－a1,4－1)＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，Sn＝8n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝9n－n2，n∈N*.由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；当n≤