高中数学选择性必修三课件：6 3 2 二项式系数的性质(人教A版)

第六章§6.3

二项式定理6.3.2二项式系数的性质学习目标XUEXIMUBIAO1.理解二项式系数的性质.2.会用赋值法求展开式系数的和.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“

”的两个二项式系数相等，即

＝____增减性与最大值增减性：当k<时，二项式系数是逐渐

；当k>时，二项式系数是逐渐

.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数____最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数______，_______相等，且同时取得最大值各二项式系数的和等距离增大的减小的2n2n－1思考若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？答案n＝7或8或9.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2.二项展开式中各项系数和等于二项式系数和.(

)4.二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(

)√×××2题型探究PARTTWO一、二项展开式的系数和问题例1已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.一、二项展开式的系数和问题例1已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；解令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.解由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，(3)a1＋a3＋a5.解因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.延伸探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；解因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；解因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.解因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.反思感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，跟踪训练1

已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；解∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.6(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值.解令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.解由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.二、二项式系数性质的应用例2

已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；解令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，(2)求展开式中系数最大的项.∵k∈N，∴k＝4，反思感悟(1)二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论.①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用跟踪训练2已知

(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去).即所求各项系数的和为1.(2)求展开式中含

的项；∴展开式中含

的项为(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.若第k＋1项的系数绝对值最大，故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即T6＝－1792 ，T7＝1792x－11.3随堂演练PARTTHREE123451.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为32，则n等于A.5 B.6 C.7 D.8√123452.(多选)

的展开式中二项式系数最大的项是A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项√√即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.123453.设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于A.4 B.－71 C.64 D.199解析∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.√123454.

的展开式的各项系数的和为____.0123455.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为____；各项的二项式系数的和为_____.164解析令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.1.知识清单：(1)二项式系数的性质.(2)赋值法求各项系数的和.2.方法归纳：一般与特殊、函数与方程.3.常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是A.第n－k项 B.第n－k－1项C.第n－k＋1项 D.第n－k＋2项基础巩固12345678910111213141516√故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同.2.已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为A.212 B.211 C.210 D.2912345678910111213141516解析∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，√123456789101112131415163.(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为A.2n＋1 B.2n－1C.2n＋1－1 D.2n＋1－2解析令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.√123456789101112131415164.(x－1)11的展开式中x的偶次项系数之和是A.－2048 B.－1023 C.1024 D.－1024√x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1024.123456789101112131415165.在

的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是A.330 B.462 C.682 D.792√解析∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1024，∴n＝11，123456789101112131415166.若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_____.5令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.123456789101112131415167.(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为_______.解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，123456789101112131415168.已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于_______.－256解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.123456789101112131415169.在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.12345678910111213141516(2)各项系数之和；解各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.12345678910111213141516(3)所有奇数项系数之和.解令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，12345678910111213141516(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；12345678910111213141516即n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，12345678910111213141516(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.12345678910111213141516解得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tk＋1项的系数最大，又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，综合运用1234567891011121314151611.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则含x4项的二项式系数为A.21 B.35 C.45 D.28√1234567891011121314151612.在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的A.第11项 B.第13项C.第18项 D.第20项√以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.1234567891011121314151613.(多选)设二项式

的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是A.第8项 B.第9项C.第10项 D.第11项√√所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项.故选CD.1234567891011121314151614.设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝____.6拓广探究1234567891011121314151615.(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为A.a＝1，b＝2，n＝5 B.a＝－2，b＝－1，n＝6C.a＝－1，b＝2，n＝6 D.a＝－1，b＝－2，n＝5√√12345678910111213141516解析只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.1234567891011121314151616.已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.(1)求m，n的值；解由题意可得2n＝256，解得n＝8，解得m＝2或m＝－2(舍去).故m