高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题25任意角与三角函数的定义(原卷版+解析)

微专题25任意角与三角函数的定义【方法技巧与总结】知识点一：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．知识点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【题型归纳目录】题型一：任意角弧度与角度题型二：扇形弧长与面积题型三：三角函数定义【典型例题】题型一：任意角弧度与角度例1．给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正确的命题有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为A． B． C． D．例3．如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么与之间的关系是A． B． C．， D．，变式1．已知为第二象限的角，则所在的象限是A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限变式2．已知是第二象限角，则与都不是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角变式3．下列终边相同的角是A．与， B．与， C．与， D．与，变式4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并在范围内找出与其终边相同的角，判断它是第几象限角．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．变式5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）．变式6．现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？变式7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．变式8．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）．题型二：扇形弧长与面积例4．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是A． B． C． D．例5．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形所在圆的半径为，此扇形的面积为．例6．已知扇形的周长为，当它的半径为和圆心角为弧度时，扇形的面积最大，这个最大面积是．变式9．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．变式10．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是，弧田的面积是．变式11．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该扇形面积为9该弧所对弦长为．变式12．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为，扇形面积为．变式13．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，（1）当圆心角为，矢为2时，求弧田（如图阴影部分所示）的面积；（2）已知该扇形圆心角是，半径为，扇形周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形面积最大？变式14．已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是．（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？题型三：三角函数定义例7．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为A． B． C． D．例8．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为A． B． C． D．例9．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则A．8 B． C． D．变式15．已知点在第二象限，则角的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式16．若三角方程与的解集分别为，，则A． B． C． D．变式17．已知角的终边经过点，且，则A． B． C． D．变式18．已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则可以是A． B． C． D．变式19．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在射线上，则的值为．变式20．已知点在第三象限，则角的终边在第二象限．变式21．若角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，且，求，，的值．变式22．对于①，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空：（1）角为第一象限角的充要条件是①③⑤；（2）角为第二象限角的充要条件是；（3）角为第三象限角的充要条件是；（4）角为第四象限角的充要条件是．微专题25任意角与三角函数的定义【方法技巧与总结】知识点一：三角函数定义设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：（1）做的正弦，记做，即；（2）叫做的余弦，记做，即；（3）叫做的正切，记做，即．知识点诠释：（1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，．（2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积．知识点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三、特殊角的三角函数值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【题型归纳目录】题型一：任意角弧度与角度题型二：扇形弧长与面积题型三：三角函数定义【典型例题】题型一：任意角弧度与角度例1．给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正确的命题有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】解：①是第三象限角，①不正确，②是第三象限角，②正确，③是第四象限角，③正确，④是第一象限角．正确，故选：．例2．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为A． B． C． D．【解析】解：钟表的时针按顺时针旋转，转过的弧度数为，故选：．例3．如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么与之间的关系是A． B． C．， D．，【解析】解：，整数故选：．变式1．已知为第二象限的角，则所在的象限是A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限【解析】解：因为为第二象限的角，所以为第一或第三象限的角，所以为第二或第四象限的角，所以为第二或第四象限的角．故选：．变式2．已知是第二象限角，则与都不是A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解析】解：是第二象限角，，，，，是第一象限或第三象限角，，是第一象限或第四象限角，与都不是第二象限角．故选：．变式3．下列终边相同的角是A．与， B．与， C．与， D．与，【解析】解：与都表示奇数，与，表示终边相同的角．故选：．变式4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并在范围内找出与其终边相同的角，判断它是第几象限角．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】解：在平面直角坐标系中：由图形可知：（4）是第三象限角，在范围内，是与其终边相同的角；（2）是第四象限角，在范围内，是与其终边相同的角；（3）是第一象限角，在范围内，是与其终边相同的角；（4）是第三象限角，在范围内，是与其终边相同的角；（5）是第二象限角，在范围内，是与其终边相同的角．变式5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）．【解析】解：（1）因为，所以在范围内，终边与相同的角是，它是第一象限角；（2）因为，所以在范围内，终边与相同的角是，它是第四象限角；（3）因为，所以在范围内，终边与相同的角是，它是第三象限角．变式6．现在是8点5分，经过2小时15分钟后，钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少？【解析】解：时针每小时转过了，即，则每分钟转过了，而分针每分钟转过了，即，故2小时15分钟后，时针转过了；分针转过了，2小时15分钟后为10点20分．此时如右图所示，分针指向4，时针则由10转过了．变式7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示）．【解析】解：（1）图（1）阴影部分内的角的集合为，（2）图（2）阴影部分内的角的集合为，变式8．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）．【解析】解：图1所表示的角的集合：，．图2终边落在阴影部分的角的集合．，或．题型二：扇形弧长与面积例4．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是A． B． C． D．【解析】解：内接正边形的边长为，故其周长为，外切正边形的边长为，故其周长为，两个周长的算术平均数为，故．故选：．例5．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形所在圆的半径为12，此扇形的面积为．【解析】解：设圆的半径为，扇形面积为，由弧长，扇形的圆心角为，得，则；．故答案为：12；．例6．已知扇形的周长为，当它的半径为和圆心角为弧度时，扇形的面积最大，这个最大面积是．【解析】解：扇形的周长为，，即，当半径时，扇形的面积最大为，此时，，故答案为：，2，变式9．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆．在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．【解析】解：如图所示：，设的中点为，两半圆交于点，连接，则，设扇形的半径为，，，，，两个圆的弧围成的阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，此点取自阴影部分的概率是．故答案为：．变式10．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧和其所对弦围成的图形，若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦长是，弧田的面积是．【解析】解：如图，弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为6，，可得，，，弧田的面积．故答案为：，．变式11．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该扇形面积为9该弧所对弦长为．【解析】解：扇形其弧长为6，半径为3，扇形所对的圆心角，扇形面积．由余弦定理可得该弧所对弦长为：．故答案为：9，．变式12．有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为，扇形面积为．【解析】解：扇形其弧长为6，半径为3，扇形所对的圆心角，由余弦定理可得该弧所对弦长为：．扇形面积．故答案为：，9．变式13．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，（1）当圆心角为，矢为2时，求弧田（如图阴影部分所示）的面积；（2）已知该扇形圆心角是，半径为，扇形周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形面积最大？【解析】解：（1）由题意，如下图所示，，令圆弧的半径为，为，，即，解得，弧田面积，，．（2）由题意知弧长为，即该扇形周长，扇形面积，，当且仅当，即时，等号成立，故为2弧度时，该扇形面积最大．变式14．已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是．（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】解：（1）设弧长为，弓形面积为，，，．．（2）扇形周长，，．当且仅当，即时，扇形面积最大．题型三：三角函数定义例7．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为A． B． C． D．【解析】解：点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以，所以，，所以．故选：．例8．点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为A． B． C． D．【解析】解：点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，所以，所以，，所以．故选：．例9．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则A．8 B． C． D．【解析】解：角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，，，，，故选：．变式15．已知点在第二象限，则角的终边在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解：已知点在第二象限，，，则角的终边在第三象限，故选：．变式16．若三角方程与的解集分别为，，则A． B． C． D．【解析】解：由题意，，由，得出，．故，，，可以得出，反之不成立，故是的真子集，符