2025届新高考数学冲刺突破复习 直线、平面平行的判定与性质

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直线、平面平行的判定与性质题型1判定或证明直线与平面平行的方法题型2判定或证明平面与平面平行的方法考点直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定与性质

判定定理性质定理图形

条件b⊂α,a⊄α,a∥ba∥α,a⊂β,α∩β=b结论a∥αa∥b2.面面平行的判定与性质

判定定理性质定理图形

条件a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b结论α∥βa∥b即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.

(

)(2)如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

(

)(3)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.

(

)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.

(

)2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为

.××√√平行题型1

判定或证明直线与平面平行的方法1.利用线面平行的判定定理(a∥b,a⊄α,b⊂α⇒a∥α);2.利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);3.利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,M为PC的

中点.(1)求证:PA∥平面MBD;(2)若AB=AD=PA=2,∠BAD=120°,求二面角B-AM-D的正弦值.

解析

(1)证明:连接AC交BD于点O,可知O为AC的中点,连接OM,又M为PC的中点,所以OM∥PA,又OM⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,所以PA∥平面MBD.(2)由题意可得平行四边形ABCD为菱形,且OM,OB,OC两两垂直.建立如图所示的空间

直角坐标系,

在菱形ABCD中,因为AB=AD=2,∠BAD=120°,所以AC=2,OB=

,所以B(

,0,0),C(0,1,0),D(-

,0,0),A(0,-1,0),M(0,0,1),所以

=(-

,-1,0),

=(-

,0,1),

=(

,-1,0),

=(

,0,1),设平面MBA的法向量为m=(x,y,z),则

即

令x=1,则m=(1,-

,

),设平面MDA的法向量为n=(a,b,c),则

即

令a=1,则n=(1,

,-

),所以cos<m,n>=

=

=-

,因为二面角的范围是[0,π],所以sin<m,n>=

,故二面角B-AM-D的正弦值为

.即练即清1.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试判断l与m的位置关系,并证明

你的结论.

解析

(1)证明:如图,记AC与BD的交点为O,连接OE.因为O,M分别为AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,

所以AM∥OE.

(4分)又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(线面平行的判定定理)(6分)(2)l∥m.证明如下:由(1)知AM∥平面BDE,

(7分)又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,(线面平行的性质定理)(9分)又AM∥平面BDE,AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.(基

本事实4)(12分)题型2判定或证明平面与平面平行的方法1.利用面面平行的判定定理(a∥α,b∥α,a∩b=P,a⊂β,b⊂β⇒α∥β);2.利用面面平行的判定定理的推论(a∥c,b∥d,a∩b=A,c∩d=B,a⊂α,b⊂α,c⊂β,d⊂β⇒

α∥β);3.利用平面平行的传递性(α∥γ,β∥γ⇒α∥β);4.利用平行与垂直的关系(a⊥α,a⊥β⇒α∥β).例2

(2023贵州毕节二模,19)正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点O,点E,F分别为

AA1,CC1的中点.(1)求证:平面B1D1F∥平面BEO;(2)若正方体的棱长为2,求三棱锥F-BEO的体积.

解析

(1)证明:连接A1C1交B1D1于M,连接A1C,MF,

∵在△A1AC中,O为AC的中点,E为AA1的中点,∴EO∥A1C,(利用三角形中位线定理证

明线线平行)同理,MF∥A1C,∴MF∥EO,∵EO⊂平面BEO,MF⊄平面BEO,∴MF∥平面BEO,(利用线面平行的判定定理证线面

平行)∵B1D1∥BD,而BD⊂平面BEO,B1D1⊄平面BEO,∴B1D1∥平面BEO,∵B1D1∩MF=M,B1D1,MF⊂平面B1D1F,∴平面B1D1F∥平面BEO.(利用面面平行的判定定理证面面平行)(2)∵BO⊥AC,BO⊥C1C,AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面OEF,∴BO⊥平面OEF.∵S△OEF=

×2

×1=

,∴VF-BEO=VB-OEF=

S△OEF·BO=

×

×

=

.(利用等体积法求解)方法总结解决面面平行问题的关键点在解决面面平行的判定时,一般遵循从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平

行”,而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具

体条件而定,绝不可过于“模式化”.即练即清2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为对角线BD,CD1上的点,且

=

=

.(1)求证:PQ∥平面A1D1DA;(2)已知R是AB上的点,当

的值为多少时,能使平面PQR∥平面A1D1DA?请给出证明.

解析

(1)证明:连接CP并延长,与DA的延长线交于M点,如图,连接MD1,因为四边形

ABCD为正方形,所以BC∥AD,

(2分)

故△PBC∽△PDM,所以

=

=

,又因为

=

=

,所以

=

=

,所以PQ∥MD1.又MD1⊂平面A1D1DA,PQ⊄平面A1D1DA,所以PQ∥平面A1D1DA.

(6分)(2)当

的值为

时,能使平面PQR∥平面A1D1DA.证明如下:如图.因为

=

,即

=

,故