北师大版初中九年级数学上册第四章素养提优测试卷课件

第四章素养提优测试卷(时间：90分钟

满分：120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(2024陕西西安未央期末,1,★☆☆)已知

=

,则

=

()A.

B.

C.

D.

D解析

D∵

=

,∴

-1=

,∴

=

,故选D.2.[教材变式P79随堂练习T3](2023吉林北京师大长春附属学校期末,2,★☆☆)下列四组线段中,是成比例线段的一组是

()A.a=1,b=2,c=3,d=4

B.a=1,b=

,c=

,d=

C.a=5,b=6,c=7,d=8

D.a=4,b=6,c=6,d=8B解析

B

A.∵1×4≠2×3,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意;B.∵1×

=

×

,∴四条线段成比例,故本选项符合题意;C.∵5×8≠6×7,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意;D.∵4×8≠6×6,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意.故选B.3.[教材变式P84T1(1)](2023广东广州黄埔期末,7,★☆☆)如图所示的是某商店售卖的花架,其中AD∥BE∥CF,DE=24cm,EF=40cm,BC=50cm,则AB的长为

()A.

cm

B.

cm

C.50cm

D.30cm解析

D∵AD∥BE∥CF,∴

=

,即

=

,∴AB=30cm,∴AB的长是30cm.故选D.D4.(2022重庆中考A卷,5,★☆☆)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似

比为2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长为

()A.4

B.6

C.9

D.16B解析

B∵△ABC与△DEF位似,相似比为2∶3,∴C△ABC∶C△DEF=2∶3,∵△ABC的周长为4,∴△DEF的周长为6,故选B.5.(2024河北唐山乐亭期末,10,★★☆)如图,在三角形纸片ABC中,∠A=76°,∠B=

34°.将纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是

()A.①②

B.②④

C.①③

D.③④C解析

C题图①中,∠B=∠B,∠A=∠BDE=76°,所以阴影三角形和△ABC相似;题图②中,根据已知不能判定阴影三角形和△ABC相似;题图③中,∠C=∠C,∠B=∠CED=34°,所以阴影三角形和△CAB相似;题图④中,根据已知不能判定阴影三角形和△ABC相似.所以阴影三角形与原三角形相似的有①③,故选C.6.(2024上海虹口期末,6,★★☆)如图,四边形的顶点在方格纸的格点上,下列方

格纸中的四边形与已知四边形相似的是

()D解析

D设每个小正方形的边长为1,则已知四边形的四条边长分别为1,

,2,

.选项A中的四边形的四条边长分别为

,2,2,

,两个四边形的四条边不成比例,故选项A中的四边形与已知四边形不相似,不符合题意;选项B中的四边形

的四条边长分别为2,

,

,4,两个四边形的四条边不成比例,故选项B中的四边形与已知四边形不相似,不符合题意;选项C中的四边形的四条边长分别为2,

,

,4,两个四边形的四条边不成比例,故选项C中的四边形与已知四边形不相似,不符合题意.故选D.7.[学科素养几何直观](2024广东深圳外国语学校月考,6,★★☆)如图,已知矩形OABC∽矩形OA′B′C′,B′(10,5),AA′=1,则CC′的长是

()A.1

B.2

C.3

D.4B解析

B∵点B'的坐标为(10,5),∴B'C'=5,A'B'=10,∵四边形OABC和四边形OA'B'C'是矩形,∴AO=BC,A'O=B'C'=5,OC'=A'B'=10,∵AA'=1,∴AO=BC=A'O-AA'=4,∵矩形OABC∽矩形OA'B'C',∴

=

,即

=

,∴OC=8,∴CC'=OC'-OC=10-8=2,故选B.8.(2023山东济南历下期中,9,★★☆)图①是小玉制作的简易投石机的示意图,

GP是杠杆,点A为支点,AD=AC,支架AH垂直于地面BC,且AH=CD=2.如图②,当投

石机准备时,点G恰好与点B重合,此时AG和AC互相垂直,则线段AG=()BA.4

B.2

C.6

D.2

第8题图解析

B∵AD=AC,AH⊥CD,AH=CD=2,∴CH=

CD=

×2=1,∠AHC=90°,∴AC=

=

=

,在题图②中,∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠AHC,∵∠ACB=∠ACH,∴△ACH∽△BCA,∴

=

,即

=

,∴AB=2

,∴AG=2

,故选B.9.(2023山东济南中考,9,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为

圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于

BD的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是

()CA.∠BCE=36°

B.BC=AEC.

=

D.

=

解析

C由题意得,BC=DC,CE平分∠ACB.∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,

∴∠ABC=∠ACB=72°.∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=36°,故A正确.∵CE平分∠ACB,∠ACB=72°,∴∠ACE=36°=∠A,∴AE=CE.∵∠ABC=72°,∠BCE=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴CE=BC,∴BC=AE,故B正确.∵∠A=∠BCE,∠ABC=∠CBE,∴△ABC∽△CBE,∴

=

.设AB=1,BC=x,则BE=1-x,∴

=

,∴x2=1-x,解得x=

(负值舍去),∴BE=1-

=

,∴

=

,故C错误.如图,过点E作EG⊥BC于G,EH⊥AC于H.∵CE平分∠ACB,EG⊥BC,EH⊥AC,∴EG=EH,∴

=

=

=

,故D正确.10.(2022河南郑州外国语学校期中,10,★★★)如图,在矩

形ABCD中,AB=2,CB=4,连接AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ACC1B1,

使矩形ACC1B1∽矩形ADCB;再连接AC1,以对角线AC1为边,按逆时针方向作矩形

AC1C2B2,使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1;……,按照此规律作下去.若矩形ABCD的

面积记作S1,矩形ACC1B1的面积记作S2,矩形AC1C2B2的面积记作S3,……,则S2021的

值为()A.4×

B.8×

C.4×

D.8×

考向规律探究题D解析

D∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,∴AC=

=

=2

,∵按逆时针方向作矩形ACC1B1,且矩形ADCB∽矩形ACC1B1,∴矩形ACC1B1和矩

形ADCB的相似比为

∶2,∴矩形ACC1B1和矩形ADCB的面积比为5∶4,同理可得,矩形AC1C2B2和矩形ACC1B1的面积比为5∶4,……,∵S1=2×4=8,∴S2=8×

,S3=8×

,……,∴S2021=8×

.故选D.二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11.(2024陕西咸阳市实验中学期中,11,★☆☆)如图,在小提琴的

设计中,蕴含着数学知识,AC,BC,AB各部分长度的比满足

=

=

,已知AB=56cm,则BC的长为

cm.(结果保留根号)

学科音乐(28 -28)解析∵AC,BC,AB各部分长度的比满足

=

=

,AB=56cm,∴BC=

×56=(28

-28)cm,故答案为(28

-28).12.(2023山东青岛市南期中,11,★☆☆)如图,已知l1∥l2∥l3,AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,则线段B1C1=

cm.2答案

2解析∵l1∥l2∥l3,∴

=

,∵AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,∴

=

,解得B1C1=2cm.13.[一题多解](2024四川绵阳涪城期末,13,★☆☆)若

=

=

且a-b+c=2,则a+b-c的值为

.

对应目标编号M9104001答案

解析解法一(等比性质法):∵

=

=

,∴

=

=

,∴

=

=

=

=

=

,∴a=

,b=2,c=

,∴a+b-c=

+2-

=

.解法二(参数法):设a=2k,b=3k,c=4k(k≠0),∵a-b+c=2,∴2k-3k+4k=2,解得k=

,∴a=

,b=2,c=

,∴a+b-c=

+2-

=

.故答案为

.14.(2024内蒙古包头东河期末,16,★★☆)如图,将一副三角板按如图所示的方式

叠放,则

的值为

.解析∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥CD,∴△ABO∽△CDO,∴

=

,设AB=a,则BC=a,∴BD=2a,∴CD=

a,∴

=

=

=

,故答案为

.答案

15.(2023辽宁沈阳南昌中学期中,13,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,

AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N、M都

在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为

.1∶3答案

1∶3解析∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,∴EF=EH=HM,EM∥BC,∴△AEM∽△ABC,∴

=

,∴

=

,∴EF=

,∴EM=5,∵△AEM∽△ABC,∴

=

=

,∴S四边形BCME=S△ABC-S△AEM=3S△AEM,∴△AEM与四边形BCME的面积比为1∶3.16.(2023山东青岛五中期末,16,★★★)如图,(n+1)个边长

为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面

积为S2,……,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则Sn=

(用含n的式子表示).考向规律探究题解析∵(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,∴B1,B2,B3,…,Bn

在一条直线上,作出直线B1B2,如图,易得B1B2∥AC1,△B1C1B2是等边三角形,且边长

为2,∴△B1B2D1∽△C1AD1,

=

×2×

=

,∴B1D1∶D1C1=1∶1,∴S1=

,同理:B2B3∶AC2=1∶2,∴B2D2∶D2C2=1∶2,∴S2=

,∴BnBn+1∶ACn=1∶n,∴BnDn∶DnCn=1∶n,∴Sn=

.故答案为

.

答案

三、解答题(本大题共6小题,共66分)17.(2023四川自贡荣县月考,20,★☆☆)(10分)如图,△ABC的顶点都在网格点上,

点M的坐标为(0,1).

(1)以点O为位似中心,把△ABC按2∶1进行放大,在y轴的左侧,画出放大后的△

DEF(D、E、F分别是A、B、C的对应点).(2)点D的坐标是

.(3)S△ABO∶S四边形ABED=

.

解析

(1)如图所示,△DEF即为所求.(2)(-2,6).(3)1∶3.[详解]由题意得,AB∥DE,∴△ABO∽△DEO,∵△DEF与△ABC的相似比为2∶1,∴

=

,∴S△ABO∶S△DEO=

=

,∴S△ABO∶S四边形ABED=1∶3.18.(新独家原创,★★☆)(10分)翻花绳是中国传统的民间益智游戏,图①是翻花

的一种图案,可以抽象成图②,且AF∥EC,DE∥BF,求证:

=

.

第18题图证明:∵AF∥EC,∴

=

,∵DE∥BF,∴

=

,∴

=

,∵GF∥EH,EG∥HF,∴四边形EHFG是平行四边形,∴GF=EH,FH=EG,∴

=

.19.(2023山西晋中期末,20,★★☆)(10分)如图,强强同学为了测

量学校一座高楼OE的高度,在操场上点A处放一面平面镜,从点A处后退1m到达

点B处,恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像,再将平面镜向后移动4m(即AC

=4m)放在点C处,从点C处后退1.5m到达点D处,恰好再次在平面镜中看到高楼

的顶部点E的像,测得强强同学的眼睛距地面的高度为1.5m.已知点O,A,B,C,D在

同一水平线上,且GD,FB,EO均与OD垂直.求高楼OE的高度.(平面镜的厚度忽略

不计)

学科物理解析由已知得∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°,∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE.∵

∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE,∴△BAF∽△OAE,∴

=

,即

=

,∴OE=1.5OA,∵∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE,∴△GDC∽△EOC,∴

=

,即

=

,∴OE=OA+4,∴1.5OA=OA+4,∴OA=8m,∴OE=12m.答:高楼OE的高度为12m.20.[学科素养推理能力](2022山东泰安中考,23,★★☆)(10分)如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与BD相交于点O,BE与AC相交于点F.

(1)若BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC.(2)找出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由.(3)若OF=3,EF=2,求DE的长度.解析如图.

(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,AB∥CD,∠BCD=90°,∴∠2=∠3=∠4,∠3+∠5=90°,∵DE=BE,∴∠1=∠2,∵BE平分∠DBC,∴∠1=∠6,∴∠3=∠6,∴∠6+∠5=90°,∴∠BFC=90°,即BF⊥AC.(2)与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF.理由如下:由(1)可得∠1=∠4,又∵∠AFB=∠BFO,∴△BAF∽△OBF,∵∠1=∠2=∠3,∠EFC=∠OFB,∴△ECF∽△OBF.(3)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∵△ECF∽△OBF,∴

=

,∴

=

,即3CF=2BF,∴3CF+3OF=2BF+3OF,∴3OA=2BF+9①,∵△BAF∽△OBF,∴

=

,∴BF2=OF·AF,∴BF2=3(OA+3)②,联立①②,可得BF=1+

(负值已舍去),∴DE=BE=EF+BF=2+1+

=3+

.21.(2023山西临汾安泽期末,19,★★☆)(12分)阅读与思考:凸透镜在我们的生活

中有着广泛的应用,如照相机和望远镜.凸透镜成像规律是一种光学定律.在光学

中,由实际光线会聚而成,且能在光屏上呈现的像称为实像.凸透镜成像公式也被

称为高斯成像公式,其形式为

=

+

.图①是蜡烛成像的光路图,其中f为焦距,u为物距,v为像距.现将图①的光路图抽象为图②所示的数学几何图形,蜡烛AC发

出的光线CE平行于直线AB,光线CE经过凸透镜MN后,经过焦点F与经过凸透镜

中心O的光线交于点D,其中物距AO=u,像距BO=v,焦距OF=f,四边形AOEC是矩

形,DB⊥AB,MN⊥AB.

第21题图(1)请根据图②提供的信息,用所学数学知识证明高斯成像公式.(2)当凸透镜的焦距为10cm,把物体放在离凸透镜30cm处时,所成的像离凸透镜

的距离为

.解析本题借助物理学中的凸透镜成像原理,设置相似三角形的实际应用问题,

考查学生跨学科学习的效果和应用所学知识解决问题的能力,贴合课标新理念.(1)证明:∵∠CAO=∠DBO=90°,∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD.∴

=

,∵AC=OE,∴

=

,∵∠EOF=∠DBO=90°,∠EFO=∠DFB,∴△EOF∽△DBF,∴

=

.∴

=

.∵AO=u,BO=v,OF=f,∴BF=OB-OF=v-f,∴

=

,∴u(v-f)=vf.∴uv-uf=vf.∵uvf≠0,∴等式两边同时除以uvf得

-

=

.∴

=

+

.(2)∵凸透镜的焦距为10cm,把物体放在离凸透镜30cm处,∴