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文档简介
第四章素养提优测试卷(时间:90分钟
满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.(2024陕西西安未央期末,1,★☆☆)已知
=
,则
=
()A.
B.
C.
D.
D解析
D∵
=
,∴
-1=
,∴
=
,故选D.2.[教材变式P79随堂练习T3](2023吉林北京师大长春附属学校期末,2,★☆☆)下列四组线段中,是成比例线段的一组是
()A.a=1,b=2,c=3,d=4
B.a=1,b=
,c=
,d=
C.a=5,b=6,c=7,d=8
D.a=4,b=6,c=6,d=8B解析
B
A.∵1×4≠2×3,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意;B.∵1×
=
×
,∴四条线段成比例,故本选项符合题意;C.∵5×8≠6×7,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意;D.∵4×8≠6×6,∴四条线段不成比例,故本选项不符合题意.故选B.3.[教材变式P84T1(1)](2023广东广州黄埔期末,7,★☆☆)如图所示的是某商店售卖的花架,其中AD∥BE∥CF,DE=24cm,EF=40cm,BC=50cm,则AB的长为
()A.
cm
B.
cm
C.50cm
D.30cm解析
D∵AD∥BE∥CF,∴
=
,即
=
,∴AB=30cm,∴AB的长是30cm.故选D.D4.(2022重庆中考A卷,5,★☆☆)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似
比为2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长为
()A.4
B.6
C.9
D.16B解析
B∵△ABC与△DEF位似,相似比为2∶3,∴C△ABC∶C△DEF=2∶3,∵△ABC的周长为4,∴△DEF的周长为6,故选B.5.(2024河北唐山乐亭期末,10,★★☆)如图,在三角形纸片ABC中,∠A=76°,∠B=
34°.将纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是
()A.①②
B.②④
C.①③
D.③④C解析
C题图①中,∠B=∠B,∠A=∠BDE=76°,所以阴影三角形和△ABC相似;题图②中,根据已知不能判定阴影三角形和△ABC相似;题图③中,∠C=∠C,∠B=∠CED=34°,所以阴影三角形和△CAB相似;题图④中,根据已知不能判定阴影三角形和△ABC相似.所以阴影三角形与原三角形相似的有①③,故选C.6.(2024上海虹口期末,6,★★☆)如图,四边形的顶点在方格纸的格点上,下列方
格纸中的四边形与已知四边形相似的是
()D解析
D设每个小正方形的边长为1,则已知四边形的四条边长分别为1,
,2,
.选项A中的四边形的四条边长分别为
,2,2,
,两个四边形的四条边不成比例,故选项A中的四边形与已知四边形不相似,不符合题意;选项B中的四边形
的四条边长分别为2,
,
,4,两个四边形的四条边不成比例,故选项B中的四边形与已知四边形不相似,不符合题意;选项C中的四边形的四条边长分别为2,
,
,4,两个四边形的四条边不成比例,故选项C中的四边形与已知四边形不相似,不符合题意.故选D.7.[学科素养几何直观](2024广东深圳外国语学校月考,6,★★☆)如图,已知矩形OABC∽矩形OA′B′C′,B′(10,5),AA′=1,则CC′的长是
()A.1
B.2
C.3
D.4B解析
B∵点B'的坐标为(10,5),∴B'C'=5,A'B'=10,∵四边形OABC和四边形OA'B'C'是矩形,∴AO=BC,A'O=B'C'=5,OC'=A'B'=10,∵AA'=1,∴AO=BC=A'O-AA'=4,∵矩形OABC∽矩形OA'B'C',∴
=
,即
=
,∴OC=8,∴CC'=OC'-OC=10-8=2,故选B.8.(2023山东济南历下期中,9,★★☆)图①是小玉制作的简易投石机的示意图,
GP是杠杆,点A为支点,AD=AC,支架AH垂直于地面BC,且AH=CD=2.如图②,当投
石机准备时,点G恰好与点B重合,此时AG和AC互相垂直,则线段AG=()BA.4
B.2
C.6
D.2
第8题图解析
B∵AD=AC,AH⊥CD,AH=CD=2,∴CH=
CD=
×2=1,∠AHC=90°,∴AC=
=
=
,在题图②中,∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠AHC,∵∠ACB=∠ACH,∴△ACH∽△BCA,∴
=
,即
=
,∴AB=2
,∴AG=2
,故选B.9.(2023山东济南中考,9,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以点C为
圆心,以BC为半径作弧交AC于点D,再分别以B,D为圆心,以大于
BD的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点E,连接DE.以下结论不正确的是
()CA.∠BCE=36°
B.BC=AEC.
=
D.
=
解析
C由题意得,BC=DC,CE平分∠ACB.∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=36°,故A正确.∵CE平分∠ACB,∠ACB=72°,∴∠ACE=36°=∠A,∴AE=CE.∵∠ABC=72°,∠BCE=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴CE=BC,∴BC=AE,故B正确.∵∠A=∠BCE,∠ABC=∠CBE,∴△ABC∽△CBE,∴
=
.设AB=1,BC=x,则BE=1-x,∴
=
,∴x2=1-x,解得x=
(负值舍去),∴BE=1-
=
,∴
=
,故C错误.如图,过点E作EG⊥BC于G,EH⊥AC于H.∵CE平分∠ACB,EG⊥BC,EH⊥AC,∴EG=EH,∴
=
=
=
,故D正确.10.(2022河南郑州外国语学校期中,10,★★★)如图,在矩
形ABCD中,AB=2,CB=4,连接AC,以对角线AC为边,按逆时针方向作矩形ACC1B1,
使矩形ACC1B1∽矩形ADCB;再连接AC1,以对角线AC1为边,按逆时针方向作矩形
AC1C2B2,使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1;……,按照此规律作下去.若矩形ABCD的
面积记作S1,矩形ACC1B1的面积记作S2,矩形AC1C2B2的面积记作S3,……,则S2021的
值为()A.4×
B.8×
C.4×
D.8×
考向规律探究题D解析
D∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,∴AC=
=
=2
,∵按逆时针方向作矩形ACC1B1,且矩形ADCB∽矩形ACC1B1,∴矩形ACC1B1和矩
形ADCB的相似比为
∶2,∴矩形ACC1B1和矩形ADCB的面积比为5∶4,同理可得,矩形AC1C2B2和矩形ACC1B1的面积比为5∶4,……,∵S1=2×4=8,∴S2=8×
,S3=8×
,……,∴S2021=8×
.故选D.二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11.(2024陕西咸阳市实验中学期中,11,★☆☆)如图,在小提琴的
设计中,蕴含着数学知识,AC,BC,AB各部分长度的比满足
=
=
,已知AB=56cm,则BC的长为
cm.(结果保留根号)
学科音乐(28 -28)解析∵AC,BC,AB各部分长度的比满足
=
=
,AB=56cm,∴BC=
×56=(28
-28)cm,故答案为(28
-28).12.(2023山东青岛市南期中,11,★☆☆)如图,已知l1∥l2∥l3,AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,则线段B1C1=
cm.2答案
2解析∵l1∥l2∥l3,∴
=
,∵AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,∴
=
,解得B1C1=2cm.13.[一题多解](2024四川绵阳涪城期末,13,★☆☆)若
=
=
且a-b+c=2,则a+b-c的值为
.
对应目标编号M9104001答案
解析解法一(等比性质法):∵
=
=
,∴
=
=
,∴
=
=
=
=
=
,∴a=
,b=2,c=
,∴a+b-c=
+2-
=
.解法二(参数法):设a=2k,b=3k,c=4k(k≠0),∵a-b+c=2,∴2k-3k+4k=2,解得k=
,∴a=
,b=2,c=
,∴a+b-c=
+2-
=
.故答案为
.14.(2024内蒙古包头东河期末,16,★★☆)如图,将一副三角板按如图所示的方式
叠放,则
的值为
.解析∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥CD,∴△ABO∽△CDO,∴
=
,设AB=a,则BC=a,∴BD=2a,∴CD=
a,∴
=
=
=
,故答案为
.答案
15.(2023辽宁沈阳南昌中学期中,13,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,
AD=5,BC=10,四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,且点E、F、G、N、M都
在△ABC的边上,那么△AEM与四边形BCME的面积比为
.1∶3答案
1∶3解析∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形,∴EF=EH=HM,EM∥BC,∴△AEM∽△ABC,∴
=
,∴
=
,∴EF=
,∴EM=5,∵△AEM∽△ABC,∴
=
=
,∴S四边形BCME=S△ABC-S△AEM=3S△AEM,∴△AEM与四边形BCME的面积比为1∶3.16.(2023山东青岛五中期末,16,★★★)如图,(n+1)个边长
为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面
积为S2,……,△Bn+1DnCn的面积为Sn,则Sn=
(用含n的式子表示).考向规律探究题解析∵(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,∴B1,B2,B3,…,Bn
在一条直线上,作出直线B1B2,如图,易得B1B2∥AC1,△B1C1B2是等边三角形,且边长
为2,∴△B1B2D1∽△C1AD1,
=
×2×
=
,∴B1D1∶D1C1=1∶1,∴S1=
,同理:B2B3∶AC2=1∶2,∴B2D2∶D2C2=1∶2,∴S2=
,∴BnBn+1∶ACn=1∶n,∴BnDn∶DnCn=1∶n,∴Sn=
.故答案为
.
答案
三、解答题(本大题共6小题,共66分)17.(2023四川自贡荣县月考,20,★☆☆)(10分)如图,△ABC的顶点都在网格点上,
点M的坐标为(0,1).
(1)以点O为位似中心,把△ABC按2∶1进行放大,在y轴的左侧,画出放大后的△
DEF(D、E、F分别是A、B、C的对应点).(2)点D的坐标是
.(3)S△ABO∶S四边形ABED=
.
解析
(1)如图所示,△DEF即为所求.(2)(-2,6).(3)1∶3.[详解]由题意得,AB∥DE,∴△ABO∽△DEO,∵△DEF与△ABC的相似比为2∶1,∴
=
,∴S△ABO∶S△DEO=
=
,∴S△ABO∶S四边形ABED=1∶3.18.(新独家原创,★★☆)(10分)翻花绳是中国传统的民间益智游戏,图①是翻花
的一种图案,可以抽象成图②,且AF∥EC,DE∥BF,求证:
=
.
第18题图证明:∵AF∥EC,∴
=
,∵DE∥BF,∴
=
,∴
=
,∵GF∥EH,EG∥HF,∴四边形EHFG是平行四边形,∴GF=EH,FH=EG,∴
=
.19.(2023山西晋中期末,20,★★☆)(10分)如图,强强同学为了测
量学校一座高楼OE的高度,在操场上点A处放一面平面镜,从点A处后退1m到达
点B处,恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像,再将平面镜向后移动4m(即AC
=4m)放在点C处,从点C处后退1.5m到达点D处,恰好再次在平面镜中看到高楼
的顶部点E的像,测得强强同学的眼睛距地面的高度为1.5m.已知点O,A,B,C,D在
同一水平线上,且GD,FB,EO均与OD垂直.求高楼OE的高度.(平面镜的厚度忽略
不计)
学科物理解析由已知得∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°,∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE.∵
∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE,∴△BAF∽△OAE,∴
=
,即
=
,∴OE=1.5OA,∵∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE,∴△GDC∽△EOC,∴
=
,即
=
,∴OE=OA+4,∴1.5OA=OA+4,∴OA=8m,∴OE=12m.答:高楼OE的高度为12m.20.[学科素养推理能力](2022山东泰安中考,23,★★☆)(10分)如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与BD相交于点O,BE与AC相交于点F.
(1)若BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC.(2)找出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由.(3)若OF=3,EF=2,求DE的长度.解析如图.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,AB∥CD,∠BCD=90°,∴∠2=∠3=∠4,∠3+∠5=90°,∵DE=BE,∴∠1=∠2,∵BE平分∠DBC,∴∠1=∠6,∴∠3=∠6,∴∠6+∠5=90°,∴∠BFC=90°,即BF⊥AC.(2)与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF.理由如下:由(1)可得∠1=∠4,又∵∠AFB=∠BFO,∴△BAF∽△OBF,∵∠1=∠2=∠3,∠EFC=∠OFB,∴△ECF∽△OBF.(3)∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∵△ECF∽△OBF,∴
=
,∴
=
,即3CF=2BF,∴3CF+3OF=2BF+3OF,∴3OA=2BF+9①,∵△BAF∽△OBF,∴
=
,∴BF2=OF·AF,∴BF2=3(OA+3)②,联立①②,可得BF=1+
(负值已舍去),∴DE=BE=EF+BF=2+1+
=3+
.21.(2023山西临汾安泽期末,19,★★☆)(12分)阅读与思考:凸透镜在我们的生活
中有着广泛的应用,如照相机和望远镜.凸透镜成像规律是一种光学定律.在光学
中,由实际光线会聚而成,且能在光屏上呈现的像称为实像.凸透镜成像公式也被
称为高斯成像公式,其形式为
=
+
.图①是蜡烛成像的光路图,其中f为焦距,u为物距,v为像距.现将图①的光路图抽象为图②所示的数学几何图形,蜡烛AC发
出的光线CE平行于直线AB,光线CE经过凸透镜MN后,经过焦点F与经过凸透镜
中心O的光线交于点D,其中物距AO=u,像距BO=v,焦距OF=f,四边形AOEC是矩
形,DB⊥AB,MN⊥AB.
第21题图(1)请根据图②提供的信息,用所学数学知识证明高斯成像公式.(2)当凸透镜的焦距为10cm,把物体放在离凸透镜30cm处时,所成的像离凸透镜
的距离为
.解析本题借助物理学中的凸透镜成像原理,设置相似三角形的实际应用问题,
考查学生跨学科学习的效果和应用所学知识解决问题的能力,贴合课标新理念.(1)证明:∵∠CAO=∠DBO=90°,∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD.∴
=
,∵AC=OE,∴
=
,∵∠EOF=∠DBO=90°,∠EFO=∠DFB,∴△EOF∽△DBF,∴
=
.∴
=
.∵AO=u,BO=v,OF=f,∴BF=OB-OF=v-f,∴
=
,∴u(v-f)=vf.∴uv-uf=vf.∵uvf≠0,∴等式两边同时除以uvf得
-
=
.∴
=
+
.(2)∵凸透镜的焦距为10cm,把物体放在离凸透镜30cm处,∴
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