高考数学一轮复习考点探究与题型突破第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式(原卷版+解析)

第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).考点1公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[典例]1．(2023·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C． D．2．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（

）A． B．C． D．3．(2023·江苏·高三专题练习）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．4．(2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．3 D．[举一反三]1．(2023·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（

）A． B． C． D．2．(2023·广东肇庆·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．3．(2023·福建南平·三模）在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．4．(2023·江苏扬州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．5．(2023·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（

）A． B． C． D．6．(2023·海南海口·模拟预测）若，则的值为（

）A． B． C． D．37．（多选）(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（）A． B．C． D．8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．9．(2023·山东淄博·模拟预测）已知，，则______．10．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则的值为________．考点2三角函数公式的逆用与变形用[名师点睛]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)．(3)倍角公式变形：降幂公式．[典例]1．(2023·浙江·高三专题练习）的值为（

）A． B． C． D．2．(2023·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（

）A． B． C． D．3．(2023·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（

）A． B．2 C．4 D．84．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（

）A． B． C． D．[举一反三]1．(2023·江苏·高三专题练习）的值为（

）A．1 B．0 C．-0.5 D．0.52．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（

）A． B． C． D．4．(2023·浙江·高三专题练习）（

）A． B． C． D．5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（

）A．B．C．D．6．(2023·重庆·三模）___________.7．(2023·全国·高三专题练习）的值等于_________.8．(2023·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.9．(2023·山东·青岛二中高三开学考试）______．10．(2023·全国·高三专题练习）________.考点3角的变换与名的变换[名师点睛]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等．3.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[典例]1．(2023·河北唐山·二模）已知，函数，若，则（

）A． B． C． D．2．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（

）A． B． C． D．3．(2023·海南·模拟预测）设为第一象限角，若，则（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C．3 D．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（

）A． B． C． D．2．(2023·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（

）倍.A．1 B． C． D．3．(2023·湖南株洲·一模）已知，，则（

）A． B． C． D．4．(2023·浙江·高三专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（

）A． B．C． D．6．(2023·广东湛江·二模）若，，则___________.7．(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则_______；_______.8．(2023·山东烟台·高三期末）已知，，则的值为______．9．(2023·江苏·模拟预测）已知，则_________．10．(2023·广东·三模）已知，则___________.11．(2023·广东韶关·一模）若，则__________.12．(2023·全国·高三专题练习）已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值.第24讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).考点1公式的直接应用[名师点睛]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[典例]1．(2023·福建厦门·模拟预测）已知，且，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，，，，，，，，，.故选：C.2．(2023·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若，则=（

）A． B．C． D．答案：D【解析】解：因为，，所以，所以＝.故选：D．3．(2023·江苏·高三专题练习）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵，∴，即，，∵，∴，即，∴．故选：D．4．(2023·江苏徐州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C．3 D．答案：A【解析】.故选：A．[举一反三]1．(2023·北京四中高三阶段练习）角的终边过点，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】角的终边过点，，.故选：B.2．(2023·广东肇庆·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，，得，所以，故选:B.3．(2023·福建南平·三模）在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由三角函数定义知：，将角的终边按逆时针方向旋转，此时角变为，故点的横坐标为，点的纵坐标为，故点的坐标为.故选：B.4．(2023·江苏扬州·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由两角差的正弦公式展开可得：，则，所以.故选：A.5．(2023·湖南师大附中二模）中国古代数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如图所示，由图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，可得，因为，可得，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.故选：C.6．(2023·海南海口·模拟预测）若，则的值为（

）A． B． C． D．3答案：A【解析】由题意得，．故选:A7．（多选）(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（）A． B．C． D．答案：AB【解析】因为，，所以，故A正确；因为，所以所以，故B正确；，，由得，，解得；故C不正确；由得，，解得；，故D不正确.故选：AB.8．(2023·浙江绍兴·模拟预测）已知，则________，__________．答案：

1【解析】故答案为：，1．9．(2023·山东淄博·模拟预测）已知，，则______．答案：【解析】由得，又，所以，因为，，，所以，因为，所以．故答案为：10．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则的值为________．答案：【解析】解：∵，∴．故答案为：.考点2三角函数公式的逆用与变形用[名师点睛]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)．(3)倍角公式变形：降幂公式．[典例]1．(2023·浙江·高三专题练习）的值为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】原式=.故选：D.2．(2023·福建泉州·模拟预测）已知，且，则α=（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为所以，整理得：，因为，所以，所以，解得：故选：B3．(2023·江苏苏州·模拟预测）已知，则实数的值为（

）A． B．2 C．4 D．8答案：C【解析】解：∵tan20°+msin20°，∴m4故选：C4．(2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanA·tanB，则C的值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由已知可得tanA＋tanB＝(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝＝－.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝.故选：C[举一反三]1．(2023·江苏·高三专题练习）的值为（

）A．1 B．0 C．-0.5 D．0.5答案：D【解析】.故选：D.2．(2023·重庆八中高三阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】,,即，则，故选：D.3．(2023·全国·高三专题练习）已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知可得，故，则.故选:D.4．(2023·浙江·高三专题练习）（

）A． B． C． D．答案：A【解析】.故选：A.5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）下列等式成立的是（

）A．B．C．D．答案：CD【解析】因为，故选项A错误；因为，故选项B错误；因为，所以，故选项C正确；因为，所以，故选项D正确；故选：CD.6．(2023·重庆·三模）___________.答案：【解析】解：原式=.故答案为：7．(2023·全国·高三专题练习）的值等于_________.答案：【解析】故答案为：8．(2023·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.答案：（答案不唯一）．【解析】由题意，因此（实际上）．故答案为：（答案不唯一）．9．(2023·山东·青岛二中高三开学考试）______．答案：1【解析】因为，所以．故答案为：110．(2023·全国·高三专题练习）________.答案：2【解析】因为，又，所以，所以.故答案为：2.考点3角的变换与名的变换[名师点睛]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等．3.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[典例]1．(2023·河北唐山·二模）已知，函数，若，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：令，，则或，令，，则，又，，所以，，，，因为，，所以，，所以，故选：B.2．(2023·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】均为锐角，即，，，又，，又，.故选：C.3．(2023·海南·模拟预测）设为第一象限角，若，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，且，得，则，，，.故选：A4．(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C．3 D．答案：B【解析】∵，，∴；∵，∴，又，∴∵，∴∵，∴，∴，∴.故选：B.[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，则，又，故，则，故.故选：C.2．(2023·湖南·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即