高考数学大题精做专题08立体几何中线段与面积等求解问题(第三篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题08立体几何中线段与面积等求解问题类型对应典例线段求解问题典例1面积求解问题典例2点到面的距离求解问题典例3【典例1】【四川省宜宾市2019届高三上学期第一次诊断测试】在如图所示的几何体中，已知，平面ABC，，，若M是BC的中点，且，平面PAB．求线段PQ的长度；求三棱锥的体积V．【典例2】【山东、湖北部分重点中学2020届模拟】如图，五边形中，四边形为长方形，三角形为边长为2的正三角形，将三角形沿折起，使得点在平面上的射影恰好在上.（1）当时，证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的侧面积.【典例3】【河南省焦作市2019届高三年级第四次模拟考试】如图，在三棱柱中，底面为正三角形，底面，，点在线段上，平面平面.（1）请指出点的位置，并给出证明；（2）若，求点到平面的距离.【针对训练】1.【2020届北京市房山区高三模拟】如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1（Ⅰ）求证：A1D∥平面（Ⅱ）求直线CC1与平面（Ⅲ）线段BC上是否存在点F，使平面DA1C1与平面2．【2020届重庆市高三学业质量调研】如图所示，在长方体ABCD−A1B1C（Ⅰ）求证：EF//平面BB（Ⅱ）若AB=BB1=2a,AD=a，求点A3．【天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考】如图，三棱柱,平面,,,为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若点在线段上，且平面,确定点的位置并求线段的长．4．【河北省邢台市2019年高三期末测试】如图，在三棱锥中，，，，，，.（1）证明：平面平面；（2）已知为棱上一点，若四面体的体积为，求线段的长.5．【2019年全国统一高考数学试卷（文科)（新课标Ⅲ)】图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题08立体几何中线段与面积等求解问题类型对应典例线段求解问题典例1面积求解问题典例2点到面的距离求解问题典例3【典例1】【四川省宜宾市2019届高三上学期第一次诊断测试】在如图所示的几何体中，已知，平面ABC，，，若M是BC的中点，且，平面PAB．求线段PQ的长度；求三棱锥的体积V．【思路引导】取AB的中点N，连接MN，PN，推导出四边形PQMN为平行四边形，由此能求出线段PQ的长度．取AC的中点H，连接QH，推导出四边形PQHA为平行四边形，由此能求出三棱锥的体积．解：取AB的中点N，连接MN，PN，，且，，、Q、M、N确定平面，平面PAB，且平面平面，又平面，，四边形PQMN为平行四边形，．解：取AC的中点H，连接QH，，且PQ=AH=2，四边形PQHA为平行四边形，，平面ABC，平面ABC，，，三棱锥的体积：．【典例2】【山东、湖北部分重点中学2020届模拟】如图，五边形中，四边形为长方形，三角形为边长为2的正三角形，将三角形沿折起，使得点在平面上的射影恰好在上.（1）当时，证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的侧面积.【思路引导】（Ⅰ）作，垂足为，平面，可得，在中，.平面，由面面垂直的判定定理可得结果；(Ⅱ)可证明四个侧面有一个正三角形，一个等腰三角形，两个全等的直角三角形，分别求出特殊三角形的面积，然后求和即可.试题解析：（Ⅰ）作，垂足为，依题意得平面，，又，平面，.利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面.(Ⅱ)由（Ⅰ）中可知，同理，，则由勾股定理可得，，中，，所以边上高，，，所以四棱锥的侧面积.【典例3】【河南省焦作市2019届高三年级第四次模拟考试】如图，在三棱柱中，底面为正三角形，底面，，点在线段上，平面平面.（1）请指出点的位置，并给出证明；（2）若，求点到平面的距离.【思路引导】(1)取中点为，的中点为，连接，，,通过几何关系得到四边形为平行四边形所以，再证，进而得到线面垂直，面面垂直；（2）由（1）可知，点到平面的距离为，由得到相应的点面距离.【详解】（1）点为线段的中点.证明如下：取中点为，的中点为，连接，，.所以，，所以四边形为平行四边形.所以.因为，，所以.又因为平面，平面，所以.又，所以平面.所以平面，而平面，所以平面平面.（2）由，得.由（1）可知，点到平面的距离为.而的面积，，等腰底边上的高为.记点到平面的距离为，由，得，即点到平面的距离为.【针对训练】1.【2020届北京市房山区高三模拟】如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1（Ⅰ）求证：A1D∥平面（Ⅱ）求直线CC1与平面（Ⅲ）线段BC上是否存在点F，使平面DA1C1与平面【思路引导】（1）要证明线面平行，需要在平面BCC1B1中找出一条直线平行于A1D.连结B1C，∵三棱柱ABC−A1B∴A1B1//CD且A1B1=CD,∴四边形A1B1CD为平行四边形，A1D//B1C,∵B1C⊂平面BCC1B1，A1D⊄平面BCC1B1,∴A1D//平面BCC1B1.（2）建立空间直角坐标系，设平面DA1C1的法向量为n=(x,y,z)，利用n⋅A1D=0,n⋅A1C1=0.即x−2z=0∴线段BC上不存在点F，使平面DA1C试题解析：（1）连结B1C，∵三棱柱ABC−A1B由平行四边形ABCD得CD//AB∴A1B1∴四边形A1B1∵B1C⊂平面BCC1B∴A1D//（2）由∠ACB=90∘，四边形ABCD为平行四边形得AC⊥AD，A如图，以A为原点建立空间直角坐标系A−xyz，则C(0,1,0)，D(1,0,0)，A1(0,0,2)，∴CC1=(0,0,2)设平面DA1Cn⋅A1D=0,n⋅A1C∴n=(2,0,1)3分∴∴直线CC1与平面DA（3）设F(λ,1,0)，−1≤λ≤0，则C1设平面A1C1A1C令x1=1，则y1=0，由（2）知：平面DA1假设平面DA1C1与平面A∴线段BC上不存在点F，使平面DA1C2．【2020届重庆市高三学业质量调研】如图所示，在长方体ABCD−A1B1C（Ⅰ）求证：EF//平面BB（Ⅱ）若AB=BB1=2a,AD=a，求点A【思路引导】(1)通过证明四边形BEFO1是平行四边形，得EF//BO1,由线面平行的判定定理可得EF//平面结论。证明：（Ⅰ）如图，取B1D1的中点O1，连结∴BE∴四边形BEFO∴EF又EF⊄平面BB1∴EF//平面（Ⅱ）设点A到平面PDQ的距离为x,PQ=∵体积VP∴1∴x=63a，即点A3．【天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考】如图，三棱柱,平面,,,为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若点在线段上，且平面,确定点的位置并求线段的长．【思路引导】（1）连接，交于点，点为的中点，为的中点，求得∥，利用线面平行的判定定理，即可得到∥平面.（2）以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面H和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）设，根据平面，列出方程组，即可求解.【详解】（1）连接，交于点，则点为的中点，因为为的中点，所以∥.又平面，平面，所以∥平面.（2）因为平面，∥，所以平面，又故以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，所以设平面的法向量为，则有即令，则得.又平面的法向量为，且二面角为锐角，故二面角的余弦值为（3）设因为，所以，.又,,平面，所以解得所以，且点在线段的三等分点处，即4．【河北省邢台市2019年高三期末测试】如图，在三棱锥中，，，，，，.（1）证明：平面平面；（2）已知为棱上一点，若四面体的体积为，求线段的长.【思路引导】(1)由面面垂直的判定定理即可证明结论；(2)利用等体积法先计算的关系，进而可求出结果.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为，，所以又因为，所以因为，为的中点，所以又，所以平面因为平面，所以平面平面.（2）因为，，，所以，由（1）知平面，且，则因为，所以则，.5．【2019年全国统一高考数学试卷（文科)（新课标Ⅲ)】图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中，，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；（2）求图2中的四边形的面积.【思路引导】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.