中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十三多面体与旋转体(原卷版+解析)

专题四十三多面体与旋转体思维导图知识要点知识要点1．棱柱(1)定义：有两个平面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱．(2)棱柱的性质①棱柱的每个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的每个侧面都与底面垂直，每个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．②棱柱的两个底面与平行于底边的截面是全等的多边形．(3)公式：S正棱锥侧＝ch；S正棱锥表＝S侧＋2S底；2．棱锥(1)定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点的多面体叫做棱锥；底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥．(2)正棱锥的性质①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高(斜高)相等．②正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，它的高、斜高及其在底面上的射影组成一个直角三角形，高、侧棱及其在底面上的射影也组成一个直角三角形．(3)公式：S正棱锥侧＝ch′(h′为斜高)；S正棱锥表＝S底＋S侧；V正棱锥3．圆柱(1)定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴旋转一周，其余各边旋转形成的曲面(或平面)所围成的几何体叫做圆柱．(2)圆柱的轴截面形状为矩形，侧面展开图形状为矩形．(3)公式：S圆柱侧＝2πrh；S圆柱表＝2πr(h＋r)；4．圆锥(1)定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周，其余各边旋转而形成的曲面(或平面)所围成的几何体叫做圆锥．(2)圆锥的轴截面形状为等腰三角形，侧面展开图形状为扇形．(3)公式：S圆柱侧＝πrl；S圆柱表＝S底＋S侧＝πr(l＋r)；5．球(1)定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周，形成的曲面叫做球面，曲面所围成的几何体叫做球．空间中到定点的距离等于定长的点的集合称为球面．(2)球心与截面圆心的连线垂直截面，球心到截面圆的距离d、球的半径R及截面圆的半径之间的关系为d2＝R2－(3)公式：S球＝4πR2；V球＝πR3典例解析典例解析【例1】下列说法正确的是()A．有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱B．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是球C．正四面体是正三棱锥D．正棱柱的高可以与侧棱不相等-【变式训练1】下列命题正确的是()A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．侧面与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥C．棱锥的高可以等于它的一条侧棱长D．棱锥的高一定在棱锥内部【例2】已知正四棱锥的高等于3cm，底面边长为8cm，求侧面积以及侧面与底面所成二面角的正切值．【变式训练2】已知正三棱锥V－ABC中，VO为高，D为AB中点，AB＝6，VO＝.求侧棱长及斜高．【例3】如图①所示，等腰直角三角形ABC的斜边AC＝4cm.绕斜边所在直线旋转一周，求所得如图②所示旋转体的体积及表面积．【变式训练3】Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为________．【例4】已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切．求：(1)棱锥的全面积；(2)球的半径R.【变式训练4】如图所示，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．【例5】如图所示，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，D为AC的中点，BC′与侧面A′ACC′所成角的大小为30°.(1)求证：平面BC′D⊥平面A′ACC′；(2)求此三棱柱的体积V.

【变式训练5】在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.

高考链接高考链接1．三棱锥的四个面中可以作为底面的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．(四川省2019年对口升学考试试题)已知球的半径为6cm，则它的体积为()A．36πcm3B．144πcm3C．288πcm3D．864πcm33．(四川省2015年对口升学考试试题)已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为()A．6B．3C．2D.4．(四川省2016年对口升学考试试题)底面半径为2，高为3的圆锥的体积为______．5．(四川省2018年对口升学考试试题)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，E为线段PB的中点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)求证：BD⊥CE.选择题1．已知长方体的长、宽、高分别为2，3，4，则它的表面积是()A．26B．48C．12D．522．已知正四面体的棱长为a，则体积是()A.a3B.a3C.a3D.a33．如果一平面与球截得的小圆的半径为4cm，且球心到截面的距离为3cm，那么球的表面积为()A．64πcm2B．100πcm2C．36πcm4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2 B．6πa2 C．12πa25.轴截面为等边三角形的圆锥，它的侧面积与全面积之比为()A．2∶3B．3∶4C．1∶2D.∶2把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为_______，表面积增加了________．7．已知矩形的长为5，宽为3，绕着宽旋转一周，所形成的旋转体的表面积为____，体积为____．8．已知一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是________．

解答题9．如图所示，已知圆柱的轴截面是正方形ABCD，全面积为6πcm210．如图所示，已知多面体的下半部分是棱长为4cm的正方体，上半部分是正四棱锥，整体高度为10cm，求该多面体的体积．11.已知球面上有三点A，B，C，若AB＝6，AC＝8，BC＝10，球心O到平面ABC的距离为12.求：(1)球的半径；(2)球的体积及表面积．12．如图所示，已知正四棱锥S－ABCD中，底面边长为2，斜高为2.求：(1)侧棱长；(2)棱锥的高；(3)侧棱与底面所成角的正切值；(4)侧面与底面所成角的大小．

13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.

14.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D专题四十三多面体与旋转体思维导图知识要点知识要点1．棱柱(1)定义：有两个平面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱．(2)棱柱的性质①棱柱的每个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的每个侧面都与底面垂直，每个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．②棱柱的两个底面与平行于底边的截面是全等的多边形．(3)公式：S正棱锥侧＝ch；S正棱锥表＝S侧＋2S底；2．棱锥(1)定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点的多面体叫做棱锥；底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥．(2)正棱锥的性质①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高(斜高)相等．②正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，它的高、斜高及其在底面上的射影组成一个直角三角形，高、侧棱及其在底面上的射影也组成一个直角三角形．(3)公式：S正棱锥侧＝ch′(h′为斜高)；S正棱锥表＝S底＋S侧；V正棱锥3．圆柱(1)定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴旋转一周，其余各边旋转形成的曲面(或平面)所围成的几何体叫做圆柱．(2)圆柱的轴截面形状为矩形，侧面展开图形状为矩形．(3)公式：S圆柱侧＝2πrh；S圆柱表＝2πr(h＋r)；4．圆锥(1)定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周，其余各边旋转而形成的曲面(或平面)所围成的几何体叫做圆锥．(2)圆锥的轴截面形状为等腰三角形，侧面展开图形状为扇形．(3)公式：S圆柱侧＝πrl；S圆柱表＝S底＋S侧＝πr(l＋r)；5．球(1)定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周，形成的曲面叫做球面，曲面所围成的几何体叫做球．空间中到定点的距离等于定长的点的集合称为球面．(2)球心与截面圆心的连线垂直截面，球心到截面圆的距离d、球的半径R及截面圆的半径之间的关系为d2＝R2－(3)公式：S球＝4πR2；V球＝πR3典例解析典例解析【例1】下列说法正确的是(C)A．有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱B．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是球C．正四面体是正三棱锥D．正棱柱的高可以与侧棱不相等【思路点拨】灵活地运用多面体和旋转体的定义和性质．【变式训练1】下列命题正确的是(C)A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B．侧面与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥C．棱锥的高可以等于它的一条侧棱长D．棱锥的高一定在棱锥内部【例2】已知正四棱锥的高等于3cm，底面边长为8cm，求侧面积以及侧面与底面所成二面角的正切值．答案：解：如图所示，连接AC，BD交于点O，取BC的中点E，再连接OE，PE，PO.在正四棱锥中，O为底面的中心，∴PO⊥平面ABCD.在Rt△POE中，PO＝3cm，OE＝AB＝4cm，∴PE＝5cm，S侧＝4××8×5＝80(cm2)．∵PE⊥BC，OE⊥BC，∴∠PEO是侧面与底面所成二面角的平面角，∴tan∠PEO＝∴侧面与底面所成二面角的正切值为.【思路点拨】底面是正方形，对角线的交点即为底面的中心，而计算侧面与底面所成二面角的大小时利用高、斜高及其射影组成的直角三角形来解题．【变式训练2】已知正三棱锥V－ABC中，VO为高，D为AB中点，AB＝6，VO＝.求侧棱长及斜高．解：连接OA∵正三棱锥V—ABC，VO为高，∴AO＝×AB＝××6＝2，故在Rt△VAO中，VA＝连接VD，∴VD⊥AB于D，Rt△VAD中，VD＝【例3】如图①所示，等腰直角三角形ABC的斜边AC＝4cm.绕斜边所在直线旋转一周，求所得如图②所示旋转体的体积及表面积．答案：解：如图②所示，由题可得旋转体是有共同底面的两个全等圆锥．底面半径r是三角形ABC斜边上的高，母线为l，在等腰直角三角形ABC中，r＝2cm，l＝2cm，∴V＝×AC＝π×4×4＝π(cm3)，S表＝2S侧＝2πrl＝2π×2×2＝8π(cm2)．【思路点拨】主要考查圆锥的定义及体积和表面积计算方法．【变式训练3】Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为___16π_____．【提示】Rt△ABC旋转一周后是以BC为半径，高为3的圆锥∴V＝h＝π×42×3＝16π.【例4】已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切．求：(1)棱锥的全面积；(2)球的半径R.【思路点拨】第(2)问利用Rt△AEF与Rt△AOG相似求出球的半径．答案：解：(1)如图所示，正三棱锥A－BCD.由题可知AE＝1，CD＝2,EF＝××CD＝∴侧面的高AF＝∴S全＝3×2××＋2××2×＝9＋6【变式训练4】如图所示，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC′＝，AC＝·＝2设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.【例5】如图所示，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，D为AC的中点，BC′与侧面A′ACC′所成角的大小为30°.(1)求证：平面BC′D⊥平面A′ACC′；(2)求此三棱柱的体积V.【思路点拨】本题主要考查利用直棱柱的性质来解决面面垂直问题，关键是找出线面垂直；只要求出侧棱长，体积也即可求得．答案：解：(1)证明：在△ABC中∵AB＝BC，AD＝CD，∴BD⊥AC在直三棱柱ABC－A′B′C′中，侧面A′ACC′⊥底面ABC∴BD⊥平面A′ACC′∵BD⊆平面BC′D∴平面BC′D⊥平面A′ACC′.(2)解：∵BD⊥平面A′ACC′，∴∠BC′D是BC′与侧面A′ACC′所成的角，即∠BC′D＝30°.在等腰Rt△ABC中，BD＝在Rt△BC′D中，BC′＝2BD＝2在Rt△BC′C中，CC′＝=2∴V＝S底h＝×2×2×2＝4.【变式训练5】在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明：(1)∵D，E为PC，AC的中点∴DE∥PA，又PA平面DEF，DE⊆平面DEF∴PA∥平面DEF.(2)∵D，E为PC，AC的中点，∴DE＝PA＝3，又E，F为AC，AB的中点，∴EF＝BC＝4，∴DE2＋EF2＝DF2，∴∠DEF＝90°∴DE⊥EF，∵DE∥PA，PA⊥AC∴DE⊥AC，∵AC∩EF＝E∴DE⊥平面ABC，∵DE⊆平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.高考链接高考链接1．三棱锥的四个面中可以作为底面的有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个2．(四川省2019年对口升学考试试题)已知球的半径为6cm，则它的体积为(C)A．36πcm3B．144πcm3C．288πcm3D．864πcm33．(四川省2015年对口升学考试试题)已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为(C)A．6B．3C．2D.【提示】V＝S底h＝×××3＝2.4．(四川省2016年对口升学考试试题)底面半径为2，高为3的圆锥的体积为__4π______．5．(四川省2018年对口升学考试试题)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝1，E为线段PB的中点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)求证：BD⊥CE.(1)解：∵四棱锥P—ABCD的高为PD＝1，底面正方形的面积为1∴V＝×1×1×1＝(2)证明：连接AC交BD于O，连接EO，∴根据中位线定理PD∥EO，又PD⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，即EO⊥BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴BD⊥平面EOC，∴BD⊥EC.选择题1．已知长方体的长、宽、高分别为2，3，4，则它的表面积是(D)A．26B．48C．12D．52【提示】长方体的表面积＝2(2×3＋2×4＋3×4)＝52.2．已知正四面体的棱长为a，则体积是(D)A.a3B.a3C.a3D.a3【提示】正四面体各棱长都相等，高为a，V＝3．如果一平面与球截得的小圆的半径为4cm，且球心到截面的距离为3cm，那么球的表面积为(B)A．64πcm2B．100πcm2C．36πcm2D．120πcm2【提示】小圆半径、球心到截面的距离、球的半径，三者可构成直角三角形，∴R＝5cm，表面积4πR2＝100π.4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(B)A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2【提示】由题可知，长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长，故2R=，解得R＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2，故选B.5.轴截面为等边三角形的圆锥，它的侧面积与全面积之比为(A)A．2∶3B．3∶4C．1∶2D.∶2把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为____18a2____，表面积增加了_12a2_______．【提示】正方体的体积变为原来的，则边长为原来的.7．已知矩形的长为5，宽为3，绕着宽旋转一周，所形成的旋转体的表面积为__80π__，体积为___75π_．【提示】旋转体是以长为底面半径r＝5，宽为母线l＝3的圆柱体，∴表面积S＝2πr(r＋l)＝80π，体积V＝πr2l＝75π.8．已知一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是__6π______．【提示】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则2πr＝·2πl，l＝2r，由侧面展开图是半圆，圆锥的高为3，可得32＋r2＝(2r)2，解得r＝，∴母线长l＝2，∴侧面积S侧＝πl2＝6π解答题9．如图所示，已知圆柱的轴截面是正方形ABCD，全面积为6πcm2，求圆柱的体积．解：设底面半径为r，则BC＝2r，∴S＝2πr(r＋2r)＝6π，解得r＝1，∴V＝πr2·BC＝πr2·2r＝2π(即圆柱的体积为2πcm310．如图所示，已知多面体的下半部分是棱长为4cm的正方体，上半部分是正四棱锥，整体高度为10cm，求该多面体的体积．解：多面体的体积由上、下两部分的体积构成，∵正方体的棱长为4cm，∴V正方体＝43＝64(cm上部分正四棱锥的高为6cm，∴V正四棱锥＝×4×4×6＝32(cm3∴多面体的体积为V正方体＋V正四棱锥＝96(cm311.已知球面上有三点A，B，C，若AB＝6，AC＝8，BC＝10，球心O到平面ABC的距离为12.求：(1)球的半径；(2)球的体积及表面积．解：(1)∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，由勾股定理可得△ABC为Rt△，且∠BAC＝90°，过O作平面ABC的垂线，垂足为D.∵OA＝OB＝OC＝R，∴D为Rt△ABC的外心，∴D为斜边BC的中点，∴BD＝，BC＝5.∵OD＝12，∴OB＝＝13，即R＝13.V球＝π＝π×133＝πS球＝4πR2＝4π×1