高考数学微专题集专题27圆锥曲线与四心问题微点1圆锥曲线与重心问题(原卷版+解析)

专题27圆锥曲线与四心问题微点1圆锥曲线与重心问题专题27圆锥曲线与四心问题微点1圆锥曲线与重心问题【微点综述】从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．一、三角形重心的定义三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．二、三角形重心常见结论（1）是△的重心；重心坐标：；（2）为△的重心，P为平面上任意点，则；（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．（5）焦点三角形重心轨迹方程：①设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．证明：如图1，设，则有（否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为，△由重心为，由三角形重心坐标公式，有，即，代入椭圆方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原椭圆的长轴长的为长轴，以原椭圆的短轴长的为短轴的椭圆（顶点除外）．②设点为双曲线的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．证明：如图2，设，则有（否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标为△由重心为，由重心坐标公式，有，即，代入双曲线方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原双曲线的实轴长的为实轴，以原双曲线的虚轴长的为虚轴的双曲线（顶点除外）．三、典型例题精析1．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为A． B． C． D．2．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（

）A． B． C． D．与大小不确定3．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（

）A． B． C． D．5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.6．已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是__________．7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（

）A．1 B． C．2 D．38．在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为A． B． C． D．9．已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．10．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.11．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（

）A． B． C． D．12．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，若的重心为，且，则直线的方程为_________．【强化训练】13．设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则A．9 B．6 C．3 D．214．已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个15．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是___________．16．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（

）A． B． C． D．17．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为A． B． C． D．18．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________．19．设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.20．已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．与的取值有关21．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．22．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为______________；23．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，若的重心为，且，则直线的方程为_________．24．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．25．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为A． B． C． D．26．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为(

)A． B．C． D．27．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（

）A． B． C． D．28．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．429．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为A． B．2 C． D．330．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（

）A． B． C． D．31．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线C的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为G，满足平行于轴，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．32．已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（

）A．1 B．2 C．3 D．433．已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（）A． B． C． D．34．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为________________．35．已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（

）A． B． C． D．36．已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（

）A．2 B． C． D．37．已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（

）A． B．C． D．专题27圆锥曲线与四心问题微点1圆锥曲线与重心问题专题27圆锥曲线与四心问题微点1圆锥曲线与重心问题【微点综述】从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征．而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新．因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．一、三角形重心的定义三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心．二、三角形重心常见结论（1）是△的重心；重心坐标：；（2）为△的重心，P为平面上任意点，则；（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2：1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比．（5）焦点三角形重心轨迹方程：①设点为椭圆的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．证明：如图1，设，则有（否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为，△由重心为，由三角形重心坐标公式，有，即，代入椭圆方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原椭圆的长轴长的为长轴，以原椭圆的短轴长的为短轴的椭圆（顶点除外）．②设点为双曲线的焦点三角形的重心，则点的轨迹方程为．证明：如图2，设，则有（否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标为△由重心为，由重心坐标公式，有，即，代入双曲线方程，可得，化简可得，又，于是其重心的轨迹方程为，即以原双曲线的实轴长的为实轴，以原双曲线的虚轴长的为虚轴的双曲线（顶点除外）．三、典型例题精析1．抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为A． B． C． D．2．已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（

）A． B． C． D．与大小不确定3．已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（

）A． B． C． D．5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.6．已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是__________．7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则所在直线的斜率为（

）A．1 B． C．2 D．38．在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为A． B． C． D．9．已知为双曲线：上一点，，为双曲线的左、右焦点，，分别为的重心、内心．若轴，则内切圆的半径为______．10．已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.11．已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于（

）A． B． C． D．12．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，若的重心为，且，则直线的方程为_________．【强化训练】13．设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则A．9 B．6 C．3 D．214．已知为抛物线的焦点，为抛物线上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个15．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是___________．16．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（

）A． B． C． D．17．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为A． B． C． D．18．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________．19．设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.20．已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．与的取值有关21．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．22．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为______________；23．在直角坐标系中，已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，若的重心为，且，则直线的方程为_________．24．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．25．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为A． B． C． D．26．已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为(

)A． B．C． D．27．设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（

）A． B． C． D．28．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．429．已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为A． B．2 C． D．330．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（

）A． B． C． D．31．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线C的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为G，满足平行于轴，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C．2 D．32．已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（

）A．1 B．2 C．3 D．433．已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（）A． B． C． D．34．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为________________．35．已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（

）A． B． C． D．36．已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（

）A．2 B． C． D．37．已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（

）A． B．C． D．参考答案：1．A【解析】根据重心坐标公式求出的横坐标为，纵坐标为，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用、求出表示出的坐标，结合抛物线的方程，求出的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【详解】由题意知，抛物线的焦点为，设点、、，由重心的坐标公式得，，，设直线的方程为，由，消去得，，由韦达定理得，，所以，，故，，将点的坐标代入抛物线的方程得，得，则，得，则.不在直线上，则，此时，，则.因此，的取值范围是.故选：A.【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．2．B分析：作出图示，根据的特点分别表示出，，即可判断出的大小关系.【详解】因为，所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示：因为是的内心，设内切圆的半径为，所以，所以，所以，又因为是的重心，所以，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.3．B分析：根据的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点P为上顶点，再根据为为重心，由求解.【详解】因为的椭圆上一点，且恒成立，不妨设点P为上顶点，如图所示：因为为为重心，所以，而，即，所以，所以，所以，即，解得.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.4．B【解析】由双曲线的性质可得点，，设点，则，再由基本不等式可得，进而可得点，即可求得重心坐标.【详解】由题意点，，设点，则，，，所以，当且仅当时取等号，所以，解得，所以点，则重心坐标为即．故选：B.【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.5．

分析：空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a，c，再根据椭圆中a，b，c之间的关系求出m的值，最后求出上顶点B的坐标；空2：设出直线MN的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.【详解】空1：因为右焦点为，所以有且，而，所以，因此椭圆上顶点的坐标为：；空2：设直线MN的方程为：，由（1）可知：椭圆的标准方程为：，直线方程与椭圆方程联立：，化简得：，设，线段的中点为，于是有：，，所以点坐标为：，因为的重心恰为点，所以有，即，因此有：，得：，所以直线斜率为.故答案为：；【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.6．分析：结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程【详解】由题可知，，，设，由重心坐标得，所以弦的中点坐标为，即，又在椭圆上，故，作差得将中点坐标代入得，所以直线的方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题7．C分析：由已知可得直线的斜率，利用抛物线定义将用表示，再由，得出关系，再由为的重心，求出，即可求解.【详解】由题意知，带入得，即．由为的重心，则有，即，即，所以，因此有．故所在直线的斜率.故选：C．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形重心公式，抛物线定义的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.8．C【详解】如图，由平行于轴得则所以的面积又由焦半径公式，因此代入椭圆方程得故选C．9．分析：不妨设点在第一象限，，根据已知求出，再化简即得解.【详解】解：不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点．由切线长定理以及双曲线的定义，得，∴，∴．设，由为的重心知，，则．∴，∴．设内切圆的半径为，则．又，∴，∴．故答案为：10．【解析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：.【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|，由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，由角平分线的性质可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），所以整理为：，故答案为：.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了内心和重心的概念，考查了转化思想和较强的计算能力，其方法为根据条件得到关于，，的齐次式，化简可得.本题属于难题.11．A分析：设，求出重心的坐标，利用中面积等积法可求出的关系，即可得椭圆离心率.【详解】设为的重心，点坐标为，∵，∴IG∥x轴

∴I的纵坐标为，在中，，，又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，，即，，∴椭圆C的离心率.故选：A12．或分析：设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.【详解】∵过点且斜率不为0，∴可设的方程为，设，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直线的方程为或．故答案为：或．13．C【详解】本题考查抛物线标准方程和几何性质，平面几何知识.抛物线的焦点设则又的重心是所以；根据三角形面积公式得，即则.故选C14．D分析：当时，为的重心，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，利用“点差法”可证明总存在以为中点的弦，从而可得结果.【详解】抛物线方程为为曲线上三点，当时，为的重心，用如下办法构造，连接并延长至，使，当在抛物线内部时，设，若存在以为中点的弦，设，则则，两式相减化为，，所以总存在以为中点的弦，所以这样的三角形有无数个，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.15．【详解】将代入椭圆方程，得，即．由，得，即．设点，，则，从而．因为的重心在轴右侧，点，则，所以，即．故答案为：．考点：直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，计算量大、综合性较强，属于较难题型.解决本题时可以采用消去未知数得到，降低计算量，再由．再由韦达定理得．又由的重心在轴右侧的取值范围是．16．C【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解【详解】由于点P为椭圆上一点，又故为等腰三角形，以为底的高为：故故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.17．B分析：设出点A、B、C三点坐标,根据F为△ABC的重心,可得三点横坐标的关系,求出的表达式，最后根据每点的横坐标、纵坐标关系即可求出答案.【详解】设,所以有抛物线的焦点坐标为,△ABC的重心坐标为,由题意可知：,即.,所以.故选B【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.18．8分析：设，由题可得，，则得，又为的重心，故即可求解.【详解】由椭圆方程得，，设，则有，所以，又，则得，所以得，又为的重心，故.故答案为：8【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，有关焦点三角形的面积计算，考查了学生的运算求解能力.19．分析：结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解【详解】如图：由题可知，，，则，即，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题20．B【详解】试题分析：因为，所以，所以，即，所以，故选B．考点：1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．21．分析：设出A,B,F点的坐标，由重心坐标公式得到，，利用抛物线的定义得到，再利用弦长公式得到|AB|,进行整理即可得答案.【详解】设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,由重心坐标公式可得,，即，，由抛物线的定义可得,由点在抛物线上可得，作差，化简得，代入弦长公式得|AB|=，则，故答案为【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的定义和弦长公式以及三角形重心坐标公式的应用，属于中档题.22．9分析：由题意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因为△ABC的重心在原点O，所以，代入即可得出答案.【详解】设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于椭圆，，则，因为A（x1，y1）在椭圆上，所以，所以，，则|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），∵△ABC的重心在原点O，∴，又a=3，∴|AF|+|BF|+|CF|=9．故答案为：.23．或分析：设的方程为，设，，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结合重心坐标公式表示出点的坐标，再由列方程可求出，从而可求出直线的方程.【详解】∵过点且斜率不为0，∴可设的方程为，设，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直线的方程为或．故答案为：或．24．A分析：设点P（m，n），则设△PF1F2的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，解出m、n的解析式代入①化简可得所求．【详解】由双曲线的方程可得a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）．设点P（m，n），则①．设△PF1F2的重心G（x，y）（y≠0），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，即m=3x，n=3y，代入①化简可得，故△PF1F2的重心G的轨迹方程是，故选A．【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n）与重心G（x，y）的坐标间的关系是解题的关键．25．C分析：设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.【详解】设则，得，同理，，三式相加得，故与前三式联立，得，，，则.故所求重心的坐标为，故选C.【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.26．A分析：根据内心及重心的性质，可知点距轴的距离为，再利用等面积法建立关于与的等式，再利用点在椭圆C上可求解.【详解】设点距轴的距离为，因为，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．故选：A27．C【解析】由题设条件及椭圆的定义，可得，进而可得为等腰三角形，计算，由重心和中点的定义，，即得解【详解】由于点P为椭圆上一点，又故为等腰三角形，以为底的高为：故故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.28．D【解析】设，由，可得．结合的重心坐标，即可求得．【详解】设，∵，则．∵的重心为，∴，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查的是抛物线定义的应用及三角形的重心坐标公式，属于基础题.29．B【详解】为抛物线的焦点，所以.设由抛物线定义知：，解得.重心的横坐标.故选B.30．C【解析】如图所示，过点作，垂足为点，计算，，得到，的方程为，联立方程得到，，根据重心公式计算得到答案.【详解】如图所示，过点作，垂足为点，因为，反射光线的倾斜角为，所以，，可得，，即点，.将点代入（）中，得，解得或（舍去），所以抛物线的方程为，直线的方程为.设点，，联立消去得，显然，故.又因为，所以.设的重心坐标为，所以，，所以的重心坐标为，故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系、三角形的重心坐标公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.31．C分析：根据，得到，进而结合双曲线的定义得到，从