高考数学大题精做专题10解析几何中两类曲线相结合问题(第五篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题10解析几何中两类曲线相结合问题类型对应典例圆与椭圆相结合问题典例1圆与抛物线相结合问题典例2椭圆与双曲线相结合问题典例3椭圆与抛物线相结合问题典例4双曲线与抛物线相结合问题典例5【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆：的右焦点为，离心率为，是椭圆上位于第一象限内的任意一点，为坐标原点，关于的对称点为，，圆：.（1）求椭圆和圆的标准方程；（2）过点作与圆相切于点，使得点，点在的两侧.求四边形面积的最大值.【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为.当直线绕点旋转时，直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．【针对训练】1.【浙江省杭州市学军中学2020届月考】已知点，点是圆上的动点，为线段的中点，为线段上点，且，设动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）直线与曲线相交于、两点，与圆相交于另一点，且点、位于点的同侧，当面积最大时，求的值.2.【2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考】已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．（1）求抛物线和双曲线的标准方程；（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．3.【上海市建平中学2019届高三下学期3月月考】设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线的标准方程；（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.4.【2019年11月四川省攀枝花市一模】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．5.【黑龙江省2020届仿真模拟】设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，，，（为坐标原点）的斜率分别为，，，，若.（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.6【广东省广州市2020届高三模拟】已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第五篇解析几何专题10解析几何中两类曲线相结合问题类型对应典例圆与椭圆相结合问题典例1圆与抛物线相结合问题典例2椭圆与双曲线相结合问题典例3椭圆与抛物线相结合问题典例4双曲线与抛物线相结合问题典例5【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆：的右焦点为，离心率为，是椭圆上位于第一象限内的任意一点，为坐标原点，关于的对称点为，，圆：.（1）求椭圆和圆的标准方程；（2）过点作与圆相切于点，使得点，点在的两侧.求四边形面积的最大值.【思路引导】（1）设椭圆左焦点为，连接，，易知四边形为平行四边形，则，结合离心率为，可求得，即可求得椭圆和圆的标准方程；（2）设，代入椭圆方程可得到的关系式，然后分别求得的面积的表达式，即可得到四边形面积的表达式，结合的关系式，求面积的最大值即可.【详解】（1）设椭圆左焦点为，连接，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又离心率为，所以，.故所求椭圆的标准方程为，圆的标准方程.（2）设，则，故.所以，所以，所以.又，，所以.故.由，得，即，所以，当且仅当，即，时等号成立.【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与（1）中的轨迹相切于点，，且与圆心为的圆，相交于，两点，当的面积最大时，求点的坐标.【思路引导】（1）设，得到，根据题意得到点的轨迹方程；（2）根据题意表示出切线，并且当时，面积最大，得到圆心到的距离，构造出关于，的关系式，求出点坐标.【详解】（1）设，点，直线，过动点作的垂线，垂足为点，．，整理，得动点的轨迹的方程为．（2），所以求导得切点，所以切线斜率所以切线为整理得，，，，，则时，面积最大，此时圆心到直线的距离为．则有，解得，点的坐标为．【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【思路引导】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝.因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4.因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝＝.同理可得|CD|＝.则，又k1·k2＝1，所以.故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线截抛物线所得的弦长为.（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为.当直线绕点旋转时，直线是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【思路引导】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出，，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设，，，，，，求得直线的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，则：，代入，得，即，所以，则有，.所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.（2）依题意，当直线的斜率不为0时，设其方程为，联立，得，设，，则，由，解得或，且，，根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，此定点必在轴上，设此定点为，因斜率，得，即，即，即，即，得，由的任意性可知.当直线的斜率为0时，直线的方程即为，也经过点，所以当或时，直线恒过一定点.【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为N，试问是否存在常数λ∈R，使得且都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）由双曲线方程求出焦点坐标，结合题意可得p＝2，即得抛物线方程；（2）依题意设，联立，消去，得．利用根与系数的关系结合，求得，再由求得的值，即可求得实数λ的值．【详解】（1）由双曲线，得，，则，即双曲线的焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），由抛物线C：y2＝2px（p＞0），且其焦点与双曲线的一个焦点重合，可得，p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x；（2）依题意，F（1，0），设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，得y2﹣4ty﹣4＝0．∴，…①且x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，又，则（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，代入①得，，消去y2得，，且N（﹣1，0），|NA|2+|NB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y2224t（y1+y2）+8，＝（t2+1）（16t2+8）+4t•4t+8＝16t4+40t2+16．由16t4+40t2+16，解得或（舍），∴，故λ＝2或．【针对训练】1.【浙江省杭州市学军中学2020届月考】已知点，点是圆上的动点，为线段的中点，为线段上点，且，设动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）直线与曲线相交于、两点，与圆相交于另一点，且点、位于点的同侧，当面积最大时，求的值.【思路引导】（Ⅰ）根据中垂线的概念，可得，然后根据椭圆的定义，可得结果.（Ⅱ）根据面积最大，找到点，得到直线方程，然后联立椭圆的方程，计算，同时利用圆的弦长公式计算，根据，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可知：圆圆心，半径为又为线段的中点，在上且所以为的中垂线，所以又所以点的轨迹为椭圆，设曲线的方程则由所以曲线的方程（Ⅱ）如图假设点在轴上方，设点当面积最大时，则轴所以点则直线方程为：，即点到直线的距离为所以所以所以2.【2020届江西省赣州市石城中学高三上学期第一次月考】已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为．（1）求抛物线和双曲线的标准方程；（2）已知直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，，求的最大值．【思路引导】（1）由双曲线过点，且其离心率为．可得，，，联立解得：，，即可得出双曲线的标准方程．可得，解得．可得抛物线的标准方程．（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．的方程为：．可得．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由题意可得：．联立化为：．设，，，．利用根与系数的关系可得．设的半径为，．过点作，垂足为．在中，，可得范围，及其范围，即可得出结论．【详解】（1）由双曲线过点，且其离心率为．，，，联立解得：，．双曲线的标准方程为：．由，可得，解得．抛物线的标准方程为：．（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：．此时，．的方程为：．可得，．．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，由题意可得：．联立，化为：．设，，，．则，．，．设的半径为，则．过点作，垂足为．在中，．，则．综上可得：的最大值为．3.【上海市建平中学2019届高三下学期3月月考】设是以为焦点的抛物线，是以直线与的渐近线，以为一个焦点的双曲线.（1）求双曲线的标准方程；（2）若与在第一象限有两个公共点，求的取值范围，并求的最大值；（3）是否存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.【思路引导】（1）可知焦点坐标在轴上，可设，再根据两条渐近线与得出关系式，再由焦点是，结合即可求得双曲线方程；（2）由与在第一象限内有两个公共点和，联立双曲线和抛物线方程，可得的取值范围；设，用坐标表示，利用韦达定理及配方法，可得的最大值；（3）由（2）及重心公式可得的重心，，即，，假设恰好在双曲线的渐近线上，代入渐近线方程，即可求得结论．【详解】（1）由题可知焦点为，故焦点在轴上，设双曲线的方程为是以直线与为渐近线，，，，双曲线方程为；（2）抛物线的焦点，，联立双曲线方程消得：，可得，与在第一象限内有两个公共点和，，设，则将代入得，函数的对称轴为，，时，的最大值为9；（3）由（2）知的重心为，，，，假设恰好在双曲线的渐近线上，代入可得，，或，，存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上4.【2019年11月四川省攀枝花市一模】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆截得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，试问直线是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【思路引导】（1）由题意得出，由题意知点在椭圆上，由此得出关于、的方程组，求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）解法一：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由得出，并写出直线的方程，由此可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论；解法二：由题意可知，直线的斜率不为零，然后分直线的斜率存在且不为零和直线的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，由点差法可得出直线的斜率为，可写出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线为轴，即可得出直线过定点，由此得出结论.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线为.由于抛物线的准线截椭圆所得弦长为，则点在椭圆上，则有，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）法一：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.当直线的斜率存在且不为时，易知，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得：.设，，则，解得.因为直线是线段的垂直平分线，故直线的方程为，即，即.令，此时，，于是直线过定点；当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.综上所述，直线过定点；法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.当直线的斜率存在且不为时，设，，则有，，两式相减得，由线段的中点为，则，，故直线的斜率，因为直线是线段的垂直平分线，故直线的方程为，即，即.令，此时，，于是直线过定点；当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点综上所述，直线过定点.5.【黑龙江省2020届仿真模拟】设直线与抛物线交于，两点