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文档简介
专题四十一空间直线与平面思维导图知识要点知识要点1.直线与平面的位置关系:相交、平行和直线在平面内.注:直线与平面平行和相交统称为直线在平面外.2.直线与平面平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定①定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行.②判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行,用符号表示为如果aα,b⊆α,且a∥b,则a∥α,如图①所示.③如果两个平面平行,那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面,用符号表示为如果α∥β,且a⊆α,则a∥β,如图②所示.(2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线和交线平行,用符号表示为如果a∥α,a⊆β,α∩β=b,则a∥b,如图③所示.3.直线与平面垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定①定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.②判定:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直;用符号表示为如果l⊥m,l⊥n,且m,n⊆α,m∩n≠∅,那么l⊥α.(2)直线与平面垂直的性质①如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线.②如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线平行,用符号表示为m⊥α,n⊥α,则m∥n.③如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,用符号表示为m∥n,m⊥α,则n⊥α.④过空间一点,有且只有一条直线与已知平面垂直.4.直线与平面所成的角(如图所示)(1)平面的斜线和射影一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足,从斜线上一点向平面引垂线,垂线与平面的交点叫做垂足,过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.(2)直线与平面所成的角的定义①平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角,叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线垂直于一个平面,这条直线与平面所成的角是90°,一条直线平行于一个平面,这条直线与平面所成的角是0°,直线与平面所成角的范围是[0°,90°].5.关于三角形的“心”(1)重心:三条中线的交点,如图所示.性质:①重心把每条中线分成的长度比为2∶1,即将中线三等分,到顶点的距离为两份.②重心坐标:已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则重心G③④(2)外心(外接圆的圆心):三边的垂直平分线的交点.性质:①外心到三个顶点的距离相等.②直角三角形的外心为斜边的中点.(3)内心(内切圆的圆心):三个内角的角平分线的交点.性质:内心到三条边的距离相等.(4)垂心:三条高线的交点,直角三角形的垂心为直角顶点.另外:等边三角形“四心合一”,又称为中心.(5)在空间中,点P为△ABC平面外的一点,其射影为O.①若点P到三个顶点的距离相等,则点O为三角形的外心.②若点P到三条边的距离相等,则点O为三角形的内心.③若PA,PB,PC三条直线两两垂直,则点O为三角形的垂心.典例解析典例解析【例1】下列命题正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥b,b∥α,则a⊥αC.若a⊥b,b⊆α,则a⊥αD.若a⊥α,b⊥α,则a∥b【变式训练1】直线a与直线b垂直,b又垂直于平面α,a与平面α的位置关系是()A.a⊆αB.a∥αC.a⊥αD.a⊆α或a∥α【例2】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.【变式训练2】如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是(A)A.30°B.45°C.60°D.90°【例3】如图所示,P是平行四边形ABCD外的一点,Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ.【变式训练3】如图所示,在正方形ABCD中,边长为4,O为对角线交点,E,F分别是AB和AD的中点,GC⊥面ABCD,GC=2.求证:BD∥平面EFG;求点B到平面EFG的距离.【例4】如图所示,已知在空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,垂足为E,作AH⊥BE交BE于H,求证:AH⊥平面BCD.【变式训练4】如图所示,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC.【例5】如图所示,已知正四面体的棱长为a.求:点A到平面BCD的距离;棱AB与平面BCD所成角的正切值.【变式训练5】如图所示,在空间四边形ABCD中,M,N分别为BC,CD的中点,O为BD的中点,且AB=BC=CD=DA.求证:MN⊥平面AOC.【例6】如图所示,PA⊥正方形ABCD所在的平面,O为对角线BD的中点.求证:PO⊥BD.
【变式训练6】如图所示,P是△ABC所在平面外一点,PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN=3NB.求证:MN⊥AB;当∠APB=90°,AB=2BC=4时,求MN的长.高考链接高考链接1.若直线a不平行于平面α,且a不在α内,则下列结论成立的是()A.α内的所有直线与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与α平行D.α内的直线与a都相交2.(四川省2017年对口升学考试试题)设α,β为两个平面,l,m,n为三条直线,则下列命题中属于真命题的是()A.如果l⊥m,l⊥n,m,n⊆α,那么l⊥αB.如果l∥m,m⊆α,那么l∥αC.如果α⊥β,l⊆α,那么l⊥βD.如果α∥β,l⊆α,那么l∥β3.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两平面内D.至少和其中一个平行如图所示,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△CDE是等边三角形,EF∥BC,EF=BC.求证:FO∥平面CDE.5.(四川省2017年对口升学考试试题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为线段BD的中点.求证:(1)直线BD⊥平面AOA1(2)直线A1O∥平面B6.(四川省2019年对口升学考试试题)如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=,AA(1)证明:A1(2)求A1同步精练同步精练选择题1.已知直线上有一点不在平面内,则这条直线与平面的公共点有()A.1个B.至少1个C.至多1个D.无数个2.a,b表示直线,α表示平面,下列推断中正确的是()A.⇒a∥bB.⇒a∥bC.⇒a⊥αD.⇒a∥α3.如图所示,点P是平面α外的一点,PO⊥平面α于点O,且PO=4,直线a在平面α内,点O到直线a的距离为3,则点P到直线a的距离是()A.3B.4C.5D.64.已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,它所在的平面外一点P到三个顶点距离都为13,则点P到平面ABC的距离为()A.10B.11C.12D.155.已知三条相交于一点的线段PA,PB,PC两两垂直,且A,B,C在同一平面内,P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于H,则垂足H是△ABC的()A.外心B.内心C.垂心D.重心6.若直线a与平面α不垂直,则平面α内与直线a垂直的直线有()A.0条B.1条C.无数条D.不确定填空题7.过平面外一点作该平面的平行线可以作________条;作垂线可以作_______条.8.在正四面体S-ABC中,若D是SC的中点,则BD与SA所成角的余弦值为________.9.在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,顶点A′到底面对角线BD的距离为________.10.在四棱锥P-ABCD的侧面△PAB,△PBC,△PCD,△PDA中,直角三角形最多有__个.
解答题11.如图所示,长方体ABCD-A112.如图所示,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,MA⊥平面ABCD,点N是MC的中点.(1)求证:NO⊥平面ABCD;(2)若MA=AB=AC=AD=2,求点N到CD的距离.13.已知在等边△BCD中,边长为2,且AD⊥平面BCD,E是BC的中点.(1)求证:BC⊥平面ADE;(2)若平面ABC与平面BCD所成角为60°,求点D到平面ABC的距离.14.如图所示,PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别为AB,PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.专题四十一空间直线与平面思维导图知识要点知识要点1.直线与平面的位置关系:相交、平行和直线在平面内.注:直线与平面平行和相交统称为直线在平面外.2.直线与平面平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定①定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么这条直线和这个平面平行.②判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行,用符号表示为如果aα,b⊆α,且a∥b,则a∥α,如图①所示.③如果两个平面平行,那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面,用符号表示为如果α∥β,且a⊆α,则a∥β,如图②所示.(2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线和交线平行,用符号表示为如果a∥α,a⊆β,α∩β=b,则a∥b,如图③所示.3.直线与平面垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定①定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.②判定:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线和这个平面垂直;用符号表示为如果l⊥m,l⊥n,且m,n⊆α,m∩n≠∅,那么l⊥α.(2)直线与平面垂直的性质①如果一条直线和一个平面垂直,则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线.②如果两条直线都垂直于同一平面,那么这两条直线平行,用符号表示为m⊥α,n⊥α,则m∥n.③如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,用符号表示为m∥n,m⊥α,则n⊥α.④过空间一点,有且只有一条直线与已知平面垂直.4.直线与平面所成的角(如图所示)(1)平面的斜线和射影一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足,从斜线上一点向平面引垂线,垂线与平面的交点叫做垂足,过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.(2)直线与平面所成的角的定义①平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角,叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线垂直于一个平面,这条直线与平面所成的角是90°,一条直线平行于一个平面,这条直线与平面所成的角是0°,直线与平面所成角的范围是[0°,90°].5.关于三角形的“心”(1)重心:三条中线的交点,如图所示.性质:①重心把每条中线分成的长度比为2∶1,即将中线三等分,到顶点的距离为两份.②重心坐标:已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则重心G③④(2)外心(外接圆的圆心):三边的垂直平分线的交点.性质:①外心到三个顶点的距离相等.②直角三角形的外心为斜边的中点.(3)内心(内切圆的圆心):三个内角的角平分线的交点.性质:内心到三条边的距离相等.(4)垂心:三条高线的交点,直角三角形的垂心为直角顶点.另外:等边三角形“四心合一”,又称为中心.(5)在空间中,点P为△ABC平面外的一点,其射影为O.①若点P到三个顶点的距离相等,则点O为三角形的外心.②若点P到三条边的距离相等,则点O为三角形的内心.③若PA,PB,PC三条直线两两垂直,则点O为三角形的垂心.典例解析典例解析【例1】下列命题正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥b,b∥α,则a⊥αC.若a⊥b,b⊆α,则a⊥αD.若a⊥α,b⊥α,则a∥b【思路点拨】灵活地运用线面平行和垂直中的定理、公理、性质,并发挥空间想象能力.【变式训练1】直线a与直线b垂直,b又垂直于平面α,a与平面α的位置关系是(D)A.a⊆αB.a∥αC.a⊥αD.a⊆α或a∥α【提示】如图可知.【例2】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AAA.B.C.D.【思路点拨】如图所示,在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线,垂足为E,连接BE⇒C1E⊥平面BDD1B1∴∠C1BE的正弦值就是所求值.∵BC1=【变式训练2】如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是(A)A.30°B.45°C.60°D.90°【提示】∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角,tan∠PCA=∴∠PCA=30°.【例3】如图所示,P是平行四边形ABCD外的一点,Q是PA的中点,求证:PC∥平面BDQ.答案:证明:连接AC,交BD于点O,再连接OQ,∵ABCD是平行四边形,∴AO=CO.∵Q是PA的中点,∴OQ是△APC的中位线,∴OQ∥PC.∵OQ⊆平面BDQ,∴PC∥平面BDQ.【思路点拨】证明线面平行,关键是转化成线线平行,而题中涉及中点时,一般利用中位线的性质来证明线线平行.【变式训练3】如图所示,在正方形ABCD中,边长为4,O为对角线交点,E,F分别是AB和AD的中点,GC⊥面ABCD,GC=2.求证:BD∥平面EFG;求点B到平面EFG的距离.(1)证明:∵在正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,∴由中位线定理可得EF∥BD,∵EF⊆平面EFG,BD平面EFG,∴BD∥平面EFG.(2)解:设EF交AC于点H,过点O作ON⊥GH,垂足为N,∵BD∥平面EFG,∴点B到平面EFG的距离,等于点O到平面EFG的距离,又ON⊥GH,ON⊥EF,∴点O到平面EFG的距离为ON.∵在△GHC中,△HON∽△HGC,∴NO∶GC=OH∶GH,OH=,HC=GC=2,HG=∴ON=.【例4】如图所示,已知在空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,垂足为E,作AH⊥BE交BE于H,求证:AH⊥平面BCD.答案:证明:如图所示,取AB的中点F,连接CF,DF.因为AC=BC,所以CF⊥AB,又因为AD=BD,所以DF⊥AB,所以AB⊥平面CDF.又因为CD⊆平面CDF,所以CD⊥AB.又因为CD⊥BE,所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥AH.又因为AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.【思路点拨】证明线面垂直,需要在平面内找两条相交直线与该直线垂直.【变式训练4】如图所示,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC.证明:取AC中点D,连接VD,BD.∵VA=VC,∴VD⊥AC.又∵AB=BC,∴BD⊥AC.∵VD∩BD=D,∴AC⊥平面VBD,又VB⊆平面VBD,∴VB⊥AC.【例5】如图所示,已知正四面体的棱长为a.求:点A到平面BCD的距离;棱AB与平面BCD所成角的正切值.答案:解:(1)过点A作AO⊥平面BCD于O,连接BO并延长交DC于E,连接AE,如图所示.在正四面体中,各面都是等边三角形,∴O是底面正△BCD的中心,∴BO=,BE=a·sin60=a.∴在Rt△AOB中,AO=.∴点A到平面BCD的距离为.答案:解:(2)∵AO⊥平面BCD,∴BO是AB在平面BCD上的射影,∴∠ABO是棱AB与平面BCD所成的角,∴tan∠ABO=.即棱AB与平面BCD所成角的正切值为.【变式训练5】如图所示,在空间四边形ABCD中,M,N分别为BC,CD的中点,O为BD的中点,且AB=BC=CD=DA.求证:MN⊥平面AOC.证明:∵AB=BC=CD=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD,CO⊥BD,∵M,N是BC,CD的中点,∴MNBD,∴CO⊥MN,AO⊥MN,∴MN⊥平面AOC.【例6】如图所示,PA⊥正方形ABCD所在的平面,O为对角线BD的中点.求证:PO⊥BD.答案:证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.∵ABCD为正方形,O为BD的中点,∴AO⊥BD,又PA∩AO=A,∴BD⊥平面PAO,又∵PO⊆平面PAO,∴PO⊥BD.【思路点拨】先证明线面垂直,从而得出线线垂直.【变式训练6】如图所示,P是△ABC所在平面外一点,PA=PB,CB⊥平面PAB,M是PC的中点,N是AB上的点,AN=3NB.求证:MN⊥AB;当∠APB=90°,AB=2BC=4时,求MN的长.(1)证明:取PB的中点Q,连接MQ,NQ,∵M是PC的中点,∴MQ∥BC,∵CB⊥平面PAB,∴MQ⊥平面PAB,∴MQ⊥AB,取AB的中点D,连接PD,∵PA=PB,∴PD⊥AB,又AN=3NB,∴BN=ND,∴QN∥PD,∴QN⊥AB,又MQ∩QN=Q,从而AB⊥平面MQN,由此可得MN⊥AB.(2)解:∵∠APB=90°,PA=PB,∴PD=,AB=2,∴QN=1,∵MQ⊥平面PAB,∴MQ⊥NQ,且MQ=BC=1,∴MN=.高考链接高考链接1.若直线a不平行于平面α,且a不在α内,则下列结论成立的是(B)A.α内的所有直线与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与α平行D.α内的直线与a都相交2.(四川省2017年对口升学考试试题)设α,β为两个平面,l,m,n为三条直线,则下列命题中属于真命题的是(D)A.如果l⊥m,l⊥n,m,n⊆α,那么l⊥αB.如果l∥m,m⊆α,那么l∥αC.如果α⊥β,l⊆α,那么l⊥βD.如果α∥β,l⊆α,那么l∥β【提示】A.两直线必须相交;B.l⊄α,则成立;C.l垂直于α与β的交线时,成立.3.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(D)A.都平行B.都相交C.在两平面内D.至少和其中一个平行【提示】若该直线不属于任何一个平面,则与两平面平行;若属于其中一个平面,则必和另一个平面平行.如图所示,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△CDE是等边三角形,EF∥BC,EF=BC.求证:FO∥平面CDE.证明:如图所示,连接BD过点O,取CD中点K,连接OK,EK.由题意可知EF∥BC,EF=BC,而OK∥BC,OK=BC,所以OK∥EF,OK=EF,所以四边形EFOK为平行四边形,FO∥EK,EK⊆面CDE,FO⊈面CDE,所以FO∥平面CDE.5.(四川省2017年对口升学考试试题)如图,在正方体ABCD-A1(1)直线BD⊥平面AOA1(2)直线A1O∥平面B证明:(1)∵在正方体AC1(2)连接A1C∵A1O1CO,∴四边形A1OCO1是平行四边形,∴A1又A1O平面B1CD∴A1O∥平面B6.(四川省2019年对口升学考试试题)如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1(1)证明:A1C∥平面BDE;(2)求A1C与平面ABCD所成的角的大小.(1)证明:连接AC,且设AC∩BD=O,连接OE.∵四边形ABCD为矩形,∴O为AC的中点,又∵E是A1∴在△A1又A1C平面BDE,OE⊆平面BDE,∴A1C∥平面BDE.(2)解:∵在长方体中有A1∴A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA,且又四边形ABCD为矩形,且AB=1,BC=∴AC=又A1A=∴在Rt△A1AC中,∠A1∴A1C与平面ABCD所成角为45°.同步精练同步精练选择题1.已知直线上有一点不在平面内,则这条直线与平面的公共点有(C)A.1个B.至少1个C.至多1个D.无数个2.a,b表示直线,α表示平面,下列推断中正确的是(B)A.⇒a∥bB.⇒a∥bC.⇒a⊥αD.⇒a∥α3.如图所示,点P是平面α外的一点,PO⊥平面α于点O,且PO=4,直线a在平面α内,点O到直线a的距离为3,则点P到直线a的距离是(C)A.3B.4C.5D.64.已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,它所在的平面外一点P到三个顶点距离都为13,则点P到平面ABC的距离为(C)A.10B.11C.12D.155.已知三条相交于一点的线段PA,PB,PC两两垂直,且A,B,C在同一平面内,P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于H,则垂足H是△ABC的(C)A.外心B.内心C.垂心D.重心6.若直线a与平面α不垂直,则平面α内与直线a垂直的直线有(C)A.0条B.1条C.无数条D.不确定【提示】如图,a不与α垂直,A是a上一点,C是a与α的交点,AB⊥α,故AB⊥c,若c⊥b,则c⊥平面ABC,则有c⊥a,故这样的直线有无数条.填空题7.过平面外一点作该平面的平行线可以作____无数____条;作垂线可以作____1____条.8.在正四面体S-ABC中,若D是SC的中点,则BD与SA所成角的余弦值为________.9.在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,顶点A′到底面对角线BD的距离为________.10.在四棱锥P-ABCD的侧面△PAB,△PBC,△PCD,△PDA中,直角三角形最多有_4_个.【提示】如图所示,四棱锥P—ABCD中,PA⊥面ABCD,底面ABCD为矩形,在四个侧面中,有Rt△PAB,Rt△PAD,Rt△PBC,Rt△
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