中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题四十一空间直线与平面(原卷版+解析)

专题四十一空间直线与平面思维导图知识要点知识要点1．直线与平面的位置关系：相交、平行和直线在平面内．注：直线与平面平行和相交统称为直线在平面外．2．直线与平面平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定①定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．②判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，用符号表示为如果aα，b⊆α，且a∥b，则a∥α，如图①所示．③如果两个平面平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面，用符号表示为如果α∥β，且a⊆α，则a∥β，如图②所示．(2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行，用符号表示为如果a∥α，a⊆β，α∩β＝b，则a∥b，如图③所示．3．直线与平面垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定①定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．②判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；用符号表示为如果l⊥m，l⊥n，且m，n⊆α，m∩n≠∅，那么l⊥α.(2)直线与平面垂直的性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线．②如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线平行，用符号表示为m⊥α，n⊥α，则m∥n.③如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，用符号表示为m∥n，m⊥α，则n⊥α.④过空间一点，有且只有一条直线与已知平面垂直．4．直线与平面所成的角(如图所示)(1)平面的斜线和射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，从斜线上一点向平面引垂线，垂线与平面的交点叫做垂足，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．(2)直线与平面所成的角的定义①平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线垂直于一个平面，这条直线与平面所成的角是90°，一条直线平行于一个平面，这条直线与平面所成的角是0°，直线与平面所成角的范围是[0°，90°]．5.关于三角形的“心”(1)重心：三条中线的交点，如图所示．性质：①重心把每条中线分成的长度比为2∶1，即将中线三等分，到顶点的距离为两份．②重心坐标：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G③④(2)外心(外接圆的圆心)：三边的垂直平分线的交点．性质：①外心到三个顶点的距离相等．②直角三角形的外心为斜边的中点．(3)内心(内切圆的圆心)：三个内角的角平分线的交点．性质：内心到三条边的距离相等．(4)垂心：三条高线的交点，直角三角形的垂心为直角顶点．另外：等边三角形“四心合一”，又称为中心．(5)在空间中，点P为△ABC平面外的一点，其射影为O.①若点P到三个顶点的距离相等，则点O为三角形的外心．②若点P到三条边的距离相等，则点O为三角形的内心．③若PA，PB，PC三条直线两两垂直，则点O为三角形的垂心．典例解析典例解析【例1】下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥b，b∥α，则a⊥αC．若a⊥b，b⊆α，则a⊥αD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【变式训练1】直线a与直线b垂直，b又垂直于平面α，a与平面α的位置关系是()A．a⊆αB．a∥αC．a⊥αD．a⊆α或a∥α【例2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.B.C.D.【变式训练2】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(A)A．30°B．45°C．60°D．90°【例3】如图所示，P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.【变式训练3】如图所示，在正方形ABCD中，边长为4，O为对角线交点，E，F分别是AB和AD的中点，GC⊥面ABCD，GC＝2.求证：BD∥平面EFG；求点B到平面EFG的距离.【例4】如图所示，已知在空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足为E，作AH⊥BE交BE于H，求证：AH⊥平面BCD.【变式训练4】如图所示，在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC.【例5】如图所示，已知正四面体的棱长为a.求：点A到平面BCD的距离；棱AB与平面BCD所成角的正切值．【变式训练5】如图所示，在空间四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，O为BD的中点，且AB＝BC＝CD＝DA.求证：MN⊥平面AOC.【例6】如图所示，PA⊥正方形ABCD所在的平面，O为对角线BD的中点．求证：PO⊥BD.

【变式训练6】如图所示，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN＝3NB.求证：MN⊥AB；当∠APB＝90°，AB＝2BC＝4时，求MN的长．高考链接高考链接1．若直线a不平行于平面α，且a不在α内，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与α平行D．α内的直线与a都相交2．(四川省2017年对口升学考试试题)设α，β为两个平面，l，m，n为三条直线，则下列命题中属于真命题的是()A．如果l⊥m，l⊥n，m，n⊆α，那么l⊥αB．如果l∥m，m⊆α，那么l∥αC．如果α⊥β，l⊆α，那么l⊥βD．如果α∥β，l⊆α，那么l∥β3．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A．都平行B．都相交C．在两平面内D．至少和其中一个平行如图所示，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△CDE是等边三角形，EF∥BC，EF＝BC.求证：FO∥平面CDE.5.(四川省2017年对口升学考试试题)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为线段BD的中点．求证：(1)直线BD⊥平面AOA1(2)直线A1O∥平面B6．(四川省2019年对口升学考试试题)如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，AA(1)证明：A1(2)求A1同步精练同步精练选择题1．已知直线上有一点不在平面内，则这条直线与平面的公共点有()A．1个B．至少1个C．至多1个D．无数个2．a，b表示直线，α表示平面，下列推断中正确的是()A.⇒a∥bB.⇒a∥bC.⇒a⊥αD.⇒a∥α3．如图所示，点P是平面α外的一点，PO⊥平面α于点O，且PO＝4，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是()A．3B．4C．5D．64．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，它所在的平面外一点P到三个顶点距离都为13，则点P到平面ABC的距离为()A．10B．11C．12D．155．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，且A，B，C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心6．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有()A．0条B．1条C．无数条D．不确定填空题7．过平面外一点作该平面的平行线可以作________条；作垂线可以作_______条．8．在正四面体S－ABC中，若D是SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值为________．9．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，顶点A′到底面对角线BD的距离为________．10．在四棱锥P－ABCD的侧面△PAB，△PBC，△PCD，△PDA中，直角三角形最多有__个．

解答题11．如图所示，长方体ABCD－A112．如图所示，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，MA⊥平面ABCD，点N是MC的中点．(1)求证：NO⊥平面ABCD；(2)若MA＝AB＝AC＝AD＝2，求点N到CD的距离．13.已知在等边△BCD中，边长为2，且AD⊥平面BCD，E是BC的中点．(1)求证：BC⊥平面ADE；(2)若平面ABC与平面BCD所成角为60°，求点D到平面ABC的距离．14．如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.专题四十一空间直线与平面思维导图知识要点知识要点1．直线与平面的位置关系：相交、平行和直线在平面内．注：直线与平面平行和相交统称为直线在平面外．2．直线与平面平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定①定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．②判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，用符号表示为如果aα，b⊆α，且a∥b，则a∥α，如图①所示．③如果两个平面平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面，用符号表示为如果α∥β，且a⊆α，则a∥β，如图②所示．(2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行，用符号表示为如果a∥α，a⊆β，α∩β＝b，则a∥b，如图③所示．3．直线与平面垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定①定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．②判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；用符号表示为如果l⊥m，l⊥n，且m，n⊆α，m∩n≠∅，那么l⊥α.(2)直线与平面垂直的性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线．②如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线平行，用符号表示为m⊥α，n⊥α，则m∥n.③如果两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，用符号表示为m∥n，m⊥α，则n⊥α.④过空间一点，有且只有一条直线与已知平面垂直．4．直线与平面所成的角(如图所示)(1)平面的斜线和射影一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，从斜线上一点向平面引垂线，垂线与平面的交点叫做垂足，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影．(2)直线与平面所成的角的定义①平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条直线与这个平面所成的角．②一条直线垂直于一个平面，这条直线与平面所成的角是90°，一条直线平行于一个平面，这条直线与平面所成的角是0°，直线与平面所成角的范围是[0°，90°]．5.关于三角形的“心”(1)重心：三条中线的交点，如图所示．性质：①重心把每条中线分成的长度比为2∶1，即将中线三等分，到顶点的距离为两份．②重心坐标：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心G③④(2)外心(外接圆的圆心)：三边的垂直平分线的交点．性质：①外心到三个顶点的距离相等．②直角三角形的外心为斜边的中点．(3)内心(内切圆的圆心)：三个内角的角平分线的交点．性质：内心到三条边的距离相等．(4)垂心：三条高线的交点，直角三角形的垂心为直角顶点．另外：等边三角形“四心合一”，又称为中心．(5)在空间中，点P为△ABC平面外的一点，其射影为O.①若点P到三个顶点的距离相等，则点O为三角形的外心．②若点P到三条边的距离相等，则点O为三角形的内心．③若PA，PB，PC三条直线两两垂直，则点O为三角形的垂心．典例解析典例解析【例1】下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥b，b∥α，则a⊥αC．若a⊥b，b⊆α，则a⊥αD．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【思路点拨】灵活地运用线面平行和垂直中的定理、公理、性质，并发挥空间想象能力．【变式训练1】直线a与直线b垂直，b又垂直于平面α，a与平面α的位置关系是(D)A．a⊆αB．a∥αC．a⊥αD．a⊆α或a∥α【提示】如图可知．【例2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AAA.B.C.D.【思路点拨】如图所示，在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E，连接BE⇒C1E⊥平面BDD1B1∴∠C1BE的正弦值就是所求值．∵BC1＝【变式训练2】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(A)A．30°B．45°C．60°D．90°【提示】∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，tan∠PCA＝∴∠PCA＝30°.【例3】如图所示，P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.答案：证明：连接AC，交BD于点O，再连接OQ，∵ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.∵Q是PA的中点，∴OQ是△APC的中位线，∴OQ∥PC.∵OQ⊆平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.【思路点拨】证明线面平行，关键是转化成线线平行，而题中涉及中点时，一般利用中位线的性质来证明线线平行．【变式训练3】如图所示，在正方形ABCD中，边长为4，O为对角线交点，E，F分别是AB和AD的中点，GC⊥面ABCD，GC＝2.求证：BD∥平面EFG；求点B到平面EFG的距离.(1)证明：∵在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，∴由中位线定理可得EF∥BD，∵EF⊆平面EFG，BD平面EFG，∴BD∥平面EFG.(2)解：设EF交AC于点H，过点O作ON⊥GH，垂足为N，∵BD∥平面EFG，∴点B到平面EFG的距离，等于点O到平面EFG的距离，又ON⊥GH，ON⊥EF，∴点O到平面EFG的距离为ON.∵在△GHC中，△HON∽△HGC，∴NO∶GC＝OH∶GH，OH＝，HC＝GC＝2，HG＝∴ON＝.【例4】如图所示，已知在空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足为E，作AH⊥BE交BE于H，求证：AH⊥平面BCD.答案：证明：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF.因为AC＝BC，所以CF⊥AB，又因为AD＝BD，所以DF⊥AB，所以AB⊥平面CDF.又因为CD⊆平面CDF，所以CD⊥AB.又因为CD⊥BE，所以CD⊥平面ABH，所以CD⊥AH.又因为AH⊥BE，BE∩CD＝E，所以AH⊥平面BCD.【思路点拨】证明线面垂直，需要在平面内找两条相交直线与该直线垂直．【变式训练4】如图所示，在三棱锥V－ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC.证明：取AC中点D，连接VD，BD.∵VA＝VC，∴VD⊥AC.又∵AB＝BC，∴BD⊥AC.∵VD∩BD＝D，∴AC⊥平面VBD，又VB⊆平面VBD，∴VB⊥AC.【例5】如图所示，已知正四面体的棱长为a.求：点A到平面BCD的距离；棱AB与平面BCD所成角的正切值．答案：解：(1)过点A作AO⊥平面BCD于O，连接BO并延长交DC于E，连接AE，如图所示．在正四面体中，各面都是等边三角形，∴O是底面正△BCD的中心，∴BO＝，BE＝a·sin60＝a.∴在Rt△AOB中，AO＝.∴点A到平面BCD的距离为.答案：解：(2)∵AO⊥平面BCD，∴BO是AB在平面BCD上的射影，∴∠ABO是棱AB与平面BCD所成的角，∴tan∠ABO＝.即棱AB与平面BCD所成角的正切值为.【变式训练5】如图所示，在空间四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，O为BD的中点，且AB＝BC＝CD＝DA.求证：MN⊥平面AOC.证明：∵AB＝BC＝CD＝AD，O为BD的中点，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∵M，N是BC，CD的中点，∴MNBD，∴CO⊥MN，AO⊥MN，∴MN⊥平面AOC.【例6】如图所示，PA⊥正方形ABCD所在的平面，O为对角线BD的中点．求证：PO⊥BD.答案：证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵ABCD为正方形，O为BD的中点，∴AO⊥BD，又PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，又∵PO⊆平面PAO，∴PO⊥BD.【思路点拨】先证明线面垂直，从而得出线线垂直．【变式训练6】如图所示，P是△ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN＝3NB.求证：MN⊥AB；当∠APB＝90°，AB＝2BC＝4时，求MN的长．(1)证明：取PB的中点Q，连接MQ，NQ，∵M是PC的中点，∴MQ∥BC，∵CB⊥平面PAB，∴MQ⊥平面PAB，∴MQ⊥AB，取AB的中点D，连接PD，∵PA＝PB，∴PD⊥AB，又AN＝3NB，∴BN＝ND，∴QN∥PD，∴QN⊥AB，又MQ∩QN＝Q，从而AB⊥平面MQN，由此可得MN⊥AB.(2)解：∵∠APB＝90°，PA＝PB，∴PD＝，AB＝2，∴QN＝1，∵MQ⊥平面PAB，∴MQ⊥NQ，且MQ＝BC＝1，∴MN＝.高考链接高考链接1．若直线a不平行于平面α，且a不在α内，则下列结论成立的是(B)A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与α平行D．α内的直线与a都相交2．(四川省2017年对口升学考试试题)设α，β为两个平面，l，m，n为三条直线，则下列命题中属于真命题的是(D)A．如果l⊥m，l⊥n，m，n⊆α，那么l⊥αB．如果l∥m，m⊆α，那么l∥αC．如果α⊥β，l⊆α，那么l⊥βD．如果α∥β，l⊆α，那么l∥β【提示】A．两直线必须相交；B.l⊄α，则成立；C.l垂直于α与β的交线时，成立．3．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(D)A．都平行B．都相交C．在两平面内D．至少和其中一个平行【提示】若该直线不属于任何一个平面，则与两平面平行；若属于其中一个平面，则必和另一个平面平行．如图所示，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△CDE是等边三角形，EF∥BC，EF＝BC.求证：FO∥平面CDE.证明：如图所示，连接BD过点O，取CD中点K，连接OK，EK.由题意可知EF∥BC，EF＝BC，而OK∥BC，OK＝BC，所以OK∥EF，OK＝EF，所以四边形EFOK为平行四边形，FO∥EK，EK⊆面CDE，FO⊈面CDE，所以FO∥平面CDE.5.(四川省2017年对口升学考试试题)如图，在正方体ABCD－A1(1)直线BD⊥平面AOA1(2)直线A1O∥平面B证明：(1)∵在正方体AC1(2)连接A1C∵A1O1CO，∴四边形A1OCO1是平行四边形，∴A1又A1O平面B1CD∴A1O∥平面B6．(四川省2019年对口升学考试试题)如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1(1)证明：A1C∥平面BDE；(2)求A1C与平面ABCD所成的角的大小．(1)证明：连接AC，且设AC∩BD＝O，连接OE.∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点，又∵E是A1∴在△A1又A1C平面BDE，OE⊆平面BDE，∴A1C∥平面BDE.(2)解：∵在长方体中有A1∴A1C与平面ABCD所成角为∠A1CA，且又四边形ABCD为矩形，且AB＝1，BC＝∴AC＝又A1A＝∴在Rt△A1AC中，∠A1∴A1C与平面ABCD所成角为45°.同步精练同步精练选择题1．已知直线上有一点不在平面内，则这条直线与平面的公共点有(C)A．1个B．至少1个C．至多1个D．无数个2．a，b表示直线，α表示平面，下列推断中正确的是(B)A.⇒a∥bB.⇒a∥bC.⇒a⊥αD.⇒a∥α3．如图所示，点P是平面α外的一点，PO⊥平面α于点O，且PO＝4，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是(C)A．3B．4C．5D．64．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，它所在的平面外一点P到三个顶点距离都为13，则点P到平面ABC的距离为(C)A．10B．11C．12D．155．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，且A，B，C在同一平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(C)A．外心B．内心C．垂心D．重心6．若直线a与平面α不垂直，则平面α内与直线a垂直的直线有(C)A．0条B．1条C．无数条D．不确定【提示】如图，a不与α垂直，A是a上一点，C是a与α的交点，AB⊥α，故AB⊥c，若c⊥b，则c⊥平面ABC，则有c⊥a，故这样的直线有无数条．填空题7．过平面外一点作该平面的平行线可以作____无数____条；作垂线可以作____1____条．8．在正四面体S－ABC中，若D是SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值为________．9．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，顶点A′到底面对角线BD的距离为________．10．在四棱锥P－ABCD的侧面△PAB，△PBC，△PCD，△PDA中，直角三角形最多有_4_个．【提示】如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，在四个侧面中，有Rt△PAB，Rt△PAD，Rt△PBC，Rt△