2021人教版八年级下数学 菱形的性质与判定同步训练含答案

人教版八年级下册数学菱形的性质与判定

同步训练

1.如图，0ABCD中,AB=9,对角线.AC与BD相交于以0,AC=12,BD=6^/5.

(1)求证：。力比。是菱形；

(2)求这个平行四边形的面积.

2.如图，。4阅9的两条对角线劭相交于点0,AB=5/10.40=3,B0=\.

(1)求证：ACA.BD-,

(2)求•□ABCD的局长.

3.已知：如图，在平行四边形4a®中，N4a'的平分线交47于点瓦过点/作废1的垂线

交BE于赢F,交8c于点G,连接EG,CF.

(1)求证：四边形ABGE是麦形;

(2)若N49C=60°,AB=\,4。=5,求。■、的长.

4.如国，在中，D,£分别是四，4。的中点，CD=2DE,延长助到点RDF=CD,

1

连接BF.

(1)求证：四边形6czy是菱形；

(2)若W=2,4FBC=120°,求然的长.

5.如图1,在Rt△四。中，N〃»=90°,点2是边A?的中点，同E在边BC上,AE=BE,

点”是451的中点，联结翻点.G在线段O上，1乍/GDN=乙/EB交•边BChN.

(1)如图2,当点G和点"重合时，求证：四边形〃仞£¥生菱形；

(2)如图1,当点G和点KC不重合时，求证：DG=DN.

6.在低△/比1中，/物。=90°,〃是8c中点，£1是/〃中点，5XJTTAFIIBC

①求证：4AEg4J)EB;

②求证：四边形ADCF是麦彩；

③若46=5,AC=4,求菱形力灭尸的面积.

7.如图，AABC中,/力，=90°,Z^=30°,CD为丛ABC的中线,作血46于。，点£

2

在CO延长线上，DE=AD,连搂BE、DE.

(1)求证：四边形比笳为菱形；

(2)把△/回分割成三个全等的三■角形，需要两条分割线段，若AC=6,求两条分割线

段长度的和.

8.如图，菱形/况力的周长为16,2的8=60°,对角线/IC上有两点£和£且AFc/"；

AE=CF.

(1)求证：四边形〃砌'是菱形；

(2)求然的长.

(3)当4?的长为时，四边形DEBF是正方形(不必证明).

9.如图，在四边形ABCD中,ABHDC,过对角线力C的中点。作此L/C分别交边46,CD于

点瓦片连接CE,AF.

(1)求证：四边形4灰乃是菱形；

(2)若■EF=6,AE=5,求四边形/LSZT7的面积.

3

10.如图，在平行四边形/版中，点及£G,〃分别在边力8,BC,CD,DA上,AE=CG,

AH=CF9且EG不分乙HEF.

(1)求证：四边形绪第是菱形；

(2)若EF=A,4HEF=600,求仇;的长.

11.如图，已知菱形的对角线相交于点0,延长力〃至点瓦健BE=AB,连接能

(1)求证：BD=EC\

(2)当/的8为多少度时，四边形傲力为菱形？并说明理由.

12.如图，△/勿中，/故1=90°,C7?是边四上的中线，分别过点CD作BA和BC的平

行线，两线交于点E,且DE交力C于点0,连接AE.

(1)求证：四边形力从苏是菱形；

(2)若/B=60°,BC=6,求四边形力戊7?的面积.

4

13.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在

余下的四边形纸片中再剪去一^菱形，又剩下一"1^四边形，称为第二次操作；…依此类

推，若第刀次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为〃阶准菱形，例如：

如图1,MBCD中,若BC=2,则口/阅7为1阶准菱形.

(1)理解与判断：

邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；

邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；

(2)操作、探究与计算：

①已知口力比Z?的邻边长分别为2,a(a>2),且是3阶准菱形，请画出必8c4及裁剪线的

示意图，并在图形下方写出a的值；

②已知口力戈力的邻边长分别为当b(a>b),满足a=7/Hv;b=4r,请写出Ma刀是几

阶准菱形.

14.如图，在△4%中，D、E分别是AB、47的中点.且乙AED=4BEC,延长应到点凡使

得EF=BE,连接欢

(1)求证：四边形灯)叨是菱形；

(2)若四=4,NBCF=120。，求菱形犯叨的面积.

5

15.如图，都是边长为4的等边三角形，点6、C、£在同一直线上，连接4〃

和BD.

(1)求证：四边形476»是菱形；

(2)求劭的长.

参考答案

1.(1)证明：二•四边形肥切为平行四边形，AC=12,BD=6娓,

.•.4。=以7=6,B0=^BD=3娓,

\•在△46®中，48=9,

V62+(375)2=9\

即/江+初=44,

，△力仍为直角三角形，

，乙AOB=90°,

即ACX.BD,

；.oABCD是更形;

(2)由(1)可知：0ABCD是赛形,即S*电械Cx勿=36遥.

2.(1)证明：**AB—^10，AO=3,60=1,

・・・/14=10=力)+加=9+1,

；・△478为直角三角形，/AOB=90°,

：.AC\_BD\

(2)解：由(1)知AQBD,

又四边形ABCI)为平行四边形,

.・・四边形/优»为菱形(对角线互相垂直的平行四边形为菱形)，

：.AB=BC=CD=DA,

1.□ABCD的局长=AB^BC^CD^DA—4/18=4yj|Q.

3.(1)证明：<BE平分/ABC,

，乙ABE=4CBE,

,.・四边形力犯9是平行四边形

；.ADUBC且AD=BC,

:ZCBE=4AEB,

:.乙ABE=4AEB=^CBE,工AB=AE,

■:AF工BE,

yAFB=/GFB=9-,

<ZABE=ZCBE

在AABF和4GBF中,<BF=BF,

ZAFB=ZGFB

：./\ABF^/\GBF(ASA),

*.AB=GB,

；・AE=GB,

又・・♦/〃//图

・♦.四边形ABGE是平行四边形,

7

又'；AB=GB,

，四边形ABGE是奏彩;

(2)解：过点尸作£刈)_比1于点如国所示：

,/四边形ABGE是菱形,

.\N颇=^•/■=30°,BG=AB=4,BC=AD=5,

在Rt△%中，BF=cosZ^xBG=cos30°x4=

在Rt△跖V中，FM=^BF=±x2«=M，

BM=cos乙GBFxBF=cos30°xBF=券x2如=3,

:.CM=BC-BM=3-3=2,

.•.Rt△川/C中，CF=VFM2->€M2=7(V3)2+22=V7.

4.(1)证明：•:D、r分别是力从47的中点

工DEMBC且2DE=BC,AD=BD,

叉YCD=2DE,DF=CD,

：.DF=BC=CD,DFUBC,

...四边形BCFE是平行四边形,

入YDF=CD,

四边形BCDF是更形.

(2)解：•:四边形BCDF是更形,乙FBC=120°

：ZDBC=ZJ)BF=6。；

,:BC=CD,

：./\BCD是等边三角形，

：.AD=BD=CD=2,4BDC=/_BCD=600,

：.Z.A=AACD,AB=4,

Y乙A+乙ACD=^BDC,

8

・•・/1=/0缪=30。,

，乙ACB=^AC＞乙BCD=90°,

・••在RtAJ6。中,AC=VAB2-BC2=V42-22=273-

5.证明：（1）如图2中，

•:AM=ME.AD=DB,

：.DMHBE,

:•乙GDN^乙DNE=180°,

■:乙GDN=/LAEB,

，乙AE吩乙DNE=\8G；

：.AEIIDN9

...四边形为/EV是平行四边形，

^DM=—BEEM=—AEAE=BE,

2y29

：.DM=EMf

四边形〃必V是菱形.

（2）如图1中，取庞的中点七连接DM、DF.

由（1）可知四边形£削是菱形，

:ZAEB=4DF,〃犷=匹

，乙GDN=4EB,

，乙MDF=4GDN,

，乙MDG-FDN,

■:乙DFN=4AEB=4MCE+乙CME,乙GMD=4EMm乙CME,、

9

在RtZX/四中，•:AM=ME,

：.Clf=ME9

・・・/MCE=ZCEM=乙EMD,

・・・/〃盼=NW；

：.DG=DN.

6.①证明：•・力用/照

，乙AFE=ZJ)BE,

•・・£是力〃的中点，AD是BC边上的中线,

工AE=DE,BD=CD,

ZZAFE=ZDBE

在△力斯和△颇中，＜ZFEA=ZBED,

AE=DE

:.△AEQADEB(MS);

②证明：由①知，4AF恒4DBE,则AF=DB.

■:DB=DC,

：.AF=CD.

VAFIIBC,

.・.四边形ADCF是平行四边形,

VZ&4C=90°,〃是8。的中点，后是力〃的中点，

：.AD=DC=—BC,

2

/.四边形49CF是菱形.

③解：・・•。是4c的中点，四边形是菱形，

，△力物的面积=△472的面积=△/CF的面积，

・・・美形为〃。、的面积=Rt△月%的面积=—AB*AC=—x5x4=10.

22

7.(1)证明：*：AACB=90°,/力=30。，CD为AABC的中线,

：.BC=—ABCD=—AB=AD,

292

・・・//缪=/力=30°,

：.Z.BDC=30°+30°=60°,

，△反刀是等边三角形，

10

XT

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当0D=0E时,四边形DEBF是正方形.

;在直角△力加中，/的0=30°,49=4,

：.0D=-^^=2.OA=243,

,.AE=OA-0D=2-2.

故答案是：2M-2.

9.解：(1)证明：YABHDC,

.*.Z1=Z2.

程4CFO和4AE0中，

'N1=N2

'ZFOC=ZEOA,

OC=OA

:.△CF34AE0(ASA).

：.OF=OE,

入'：OA=OC,

：.四边形AECF是平行四边形.

'：EF\_AC,

：.四边形4£C厂是菱形；

(2)解：1•四边形4仇尸是菱形，EF=6,

：.0E=工EF=4.

2

在Rt/\4F〃中，

-：tan^OAE=—=—,

OA5

/•G4=5,

：.AC=2AO=8f

***S炎形AEG'--^EF*AC=-^-x6x8=24.

12

DC

10.(1)证明：如图，•・•四边形刀是平行四边形,

・・・//=4

在△/夕7与中，

'AE=CG

<ZA=ZC,

AH=CF

:•△AES4CGF〈SAS);

：.£//=FG

•.•四边形力比»是平行四边形，

工AB=CD,AD=BCfN8=/〃

义•：AE=CG,AH=CFf

；.BE=DG,BF=DH,

在△颇与中，

BE=DG

<ZB=ZD,

BF=DH

ABEg^DGH(SAS),

：.EF=GIL

.・.四边形的77是平彳亍四边形，

：.HGIIEF,

:•乙HGE=/_FEG,

•・・£G平分/侬；

二.乙HEG=4FEG,

:•乙HEG=4HGE,

：.HE=HG,

：.四边形EFGH是爰形.

(2)解：连接杯,交班于0.

四边形EFGH是菱形,

13

:.EG[FH,£FEO=/乙HEF=30°,

•；EF=A,

.,.施,=mcos30。=273，

:.EG=2EO=4M.

11.(1)证明：四边形力用力是菱形，

：.AB=CD,ABHCD,

义,：BE=AB,

：.BE=CD,BEUCD,

J.四边形BECD是平行四边形，

：.BD=EC\

(2)四边形朋②是菱形.

理由：•/四边形ABCD是雯形,

:"D=AB,・・・/〃46=60。,

：./\ADB,△〃)是等边三角形，

:・DC=DB,

•.•四边形皮K7是平行四边形，

四边形BECD是变形.

12.(1)证明：-DEWBC,ECIIAB,

・・.四边形ZW?是平行四边形.

：.EC\\DB,REC=DB.

在中，CD为AB边上的中线,

：.AD=DB=CD.

：.EC=AD,

：.四边形ADCE是平行四边形.

：.ED\\BC.

14

，乙加D=4CB.

•・・/月，=90°,

:./A0D=ACB=9G0、

・・・平行四边形ADCE是赛形;

(2)解：RtZvL%中，CD为AB边上的中线,Z5=60°,BC=6,

：.AD=DB=CD=6.

：.AB=12,由勾股定理得4