2021届四川省遂宁市高考数学三诊试卷(文科)(含答案解析)

2021届四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60・0分）

1.命题p：VxG/?,x2+1>3%,则"是（）

A.VxG/?,%2+1<3%B.VxG/?,x2+1>3%

C.3%e/?,%24-1<3%D.3xe/?,%2+1>3%

2,若s出a=/且。为锐角，则s讥2a的值等于（）

A12R12r24n24

A•云B.一石C.-D.--

3.等差数列｛an｝中，a9+a12=15,S20=（）

A.120B.150C.180D.200

4.甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，甲||乙

若甲乙两人的平均成绩分别是X平，XZ,则下列正确的是（）

291

A.%伊〉％z；乙比甲成绩稳定

B.x用>%乙；甲比乙成绩稳定

C.x甲<x乙;乙比甲成绩稳定

D.x甲<x乙;甲比乙成绩稳定

5.0是半径为1的圆的直径，在4B上的任意一点M,过点M作垂直于AB的弦，则弦长大于国

的概率是（）

A.0B.0C.0D.区］

6.已知数列｛即｝的前〃项和又满足Sn+S7n=Sn+m（n,meN*）且的=5,则劭=（）

A.40B.35C.12D.5

7.某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（）

2—2-

正《主）祝用M（左）ttffi

俯视图

8.已知双曲线《一《，（（^。”对邢渐近线方程为丁二士日力则此双曲线的离心率为（）

A.V3B.V2

9.设Q=202,b=sin2,c=log20.2,则a,h,c的大小关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

10.如图是一个四面体的三视图，则其外接球的体积为()

A.8倔r_Lc

正网

B.V6TT

C.4鬲

D.V3TT

11.在平行四边形A8CQ中，乙4*，边A8,A。的长分别为2,1,

若M,N分别是边8C,C。上的点，且满足瞿=鹦，则宿.前的取值范围是（）

\BC\\CD\

A.[1,4]B.[2,5]C.[2,4]D.[1,5]

12.已知函数y=/（x）是定义在R上的偶函数，且周期为兀，当xe[0,§时/'（x）=sinx,下列结论正

确的是（）

A.函数f（%）的一条对称轴是X=7T

B.函数f（x）的一个单调递增区间为[4苧

C./(-!)=-

D.函数的值域为[一1,1]

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知复数z满足z-（l+i）=1-2为虚数单位），则复数z的模为

14.已知平面向量方，b<且|五|=1，向=2，al(a-2K))则|2为+B|=.

%+y<1

2x-y>-1,则z=3x-y的最大值为.

1y>-1

16.过抛物线必=10%的焦点作直线交抛物线于4(%i，yi)、8(%2，丫2)两点，若=16,则与+

x2=-------

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

n

17.已知数列｛an｝的前〃项和Sn满足，Sn=2an+(-l),n>l.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

1117

(2)求证：对任悬整数m>4,有；a7+丁^---H—<-(m>4).

4am8

18.某校开设了“数学”、“剪纸”、“美术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示，为了解

学生对社团的意见，学校采用分层抽样的方法从三个社团中抽取一个容量为"的样本，己知从

“剪纸”社团抽取的同学比从“数学”社团抽取的同学少2人.

社团数学剪纸美术

人数320240200

(1)求“剪纸”社团抽取了多少人；

(2)设从“剪纸”社团抽取的同学中有2名女生，现要从“剪纸”社团中随机选出2人担任社团

活动监督的职务，求至少有1名女生被选中的概率.

19.已知E、F、G、H是所在线段上的点，S.EH//FG.

,A

■_tp

F

C

求证：EH//BD.

20.已知椭圆E的焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为日

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)直线/：y=gx+in与椭圆E相交于A,B两点,且弦AB中点横坐标为1,求m值.

21.已知函数f(x)=/nx+&a€R,且f(久)在x=1处的切线平行于直线2x+y=0.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)已知函数g(x)=/(%)-x-三图象上不同两点4(xi，yi),B(X2，y2)，试比较泞1与9’(空)的大小.

X--2+VT2

2

22.在直角坐标系xOy中，过点P(-2,-4)的直线/的参数万程为(t为参数)，以坐

y--4+VT2

2

标原点。为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，己知曲线c的极坐标方程为psiM®=

2cos6,记直线/与曲线C分别交于M,N两点.

(1)求曲线C和/的直角坐标方程；

(2)证明:\PM\,\MN\.|PN|成等比数列.

23.已知m需一固.

(I)解不等式碘微若现礴；

(n)对于任意的犷线-窕孰不等式舞脸y赧-恸恒成立，求照的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：命题p：VxG/?,%2+1>3%,

则”是：3%G/?,%24-1<3%.

故选：C.

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，判断即可.

本题考查了全称量词命题的否定是存在量词命题的应用问题，是基础题.

2.答案：C

解析：解：若sina=且Q为锐角，则cosa=41-sin2a=|,

・•・sin2a=2sinacosa=—,

25

故选：C.

由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosa的值，再利用二倍角公式求得sin2a的值.

本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.

3.答案：B

解析：

本题考查等差数列的前〃项和公式以及等差数列的性质，属于基础题.

首先根据等差数列的性质：若相，p,qWN*,且zn+n=p+q,则有+Qn=Qp+%可得%+

。20=15,结合等差数列的前〃项和的公式Sn=当詈Q,可得答案.

解：在等差数列｛an｝中，若〃?，n,p,q£N*,且m+?i=p+q,则有+册=%+%•

所以+。12=+。20=15,

由等差数列的前n项和的公式可得：Sn=吟辿，

所以S20=*辿=150.

故选：B.

4.答案：C

解析：

本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的

平均水平和稳定程度，注意运算要细心.

根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比较，得到乙的平均数

大于甲的平均数，得到结论.

解：由茎叶图知，

72+77+78+86+92

甲的平均数是81,

5

78+88+88+91+90

乙的平均数是=87

5

.••乙的平均数大于甲的平均数,

从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定,

故选：C.

5.答案：C

解析：试题分析：因为0是半径为1的圆的直径，在AB上的任意一点M,过点”作垂直于AB

的弦，则弦长

当弦长为0时，弦心距为0.所以弦长大于0时点M的移动范围为1个单位.根据几何概型的

概率为0做选C.

考点：1.几何概型.2.解三角形的知识.

6.答案：D

解析：

本题考查了数列的求和、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

n

数列｛即｝的前项和%满足3+S„,=Sn+m^n,mGN*)且的=5,令m=1.可得%+】=Sn+S「可

得斯+i=5,即可得出结论.

解:数列｛斯｝的前n项和S”满足Sn+Sm=Sn+m(n,meN*)且&=5,

令m-1,贝lJSn+1=Sn+Si=Sn+5.可得a.+i=5.

则=5.

故选：D.

7.答案：D

解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的直

三棱柱；

如图所示：

故选：D.

首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积.

本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查

学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

8.答案：C

解析：解：双曲线捺一\=1（£1>0/>0）的渐近线方程为”±当X，

可得与=工，即：可=2,解得£="

a22a22a2

故选：C.

利用双曲线的渐近线方程，推出m6的关系，然后求解离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.

9.答案：A

解析：

把它们和0,1比较，可得出结果.

02

a=2->1,0<b=sin2<1,c=log20.2<0,

则a>b>c,

故选：A.

10.答案：B

解析：解：如图

一个四面体的三视图，则其外接球,

与棱长为鱼的正方体的外接球相同，

•••正方体的体对角线为通，

二外接球的半径为亚，

2

.•，X7TX（f）3=A/6TT.

故选:B.

根据三视图得出一个四面体的三视图，则其外接球，与棱长为鱼的正方体的外接球相同，求解体对

角线，即可得出半径，子求解体积问题.

本题考查了空间几何体的三视图，与几何体的直观图原图的关系，转为正方体求解外接球的问题，

难度不大，关键是想到这个问题.

11.答案：B

解析：解：建立如图所示的直角坐标系，则8（2,0）,4（0,0）,f口N

吗勺设鬻=需=九，6[0,1]，则M（2+泻Q，峭一//

2若）,

所以奇•丽=（2+g/；l）.（|-2尢/）=5-4A+12-

M+三入=-M—22.+5,

4

因为4€[0,1],二次函数的对称轴为：A=—1,所以4€[0,1]时，—"—2A+56[2,5].

故选：B.

画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M,N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的

范围.

本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计

算能力，属于中档题.

12.答案：A

解析：解：先利用当时f（x）=sinx,作出其图象，

然后根据函数y=/Xx）是定义在R上的偶函数，

作出在[-?0）上的图象，最后根据周期性作出整个函数的图象，如下所示：

观察图象可知，无=兀是函数的一条对称轴，4正确；

[/方上函数不是单调函数，B错误；

%。错误；

OZ

函数y=/(x)的值域为[0,1],。错误;

故选：A.

利用函数的奇偶性，周期性作出函数的图象，借助图象来解题.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查命题真假的判断，属于中档题目.

13.答案：1

解析：解：；z•(1+i)=1-i,

_1-i_(1-i)2

"z=1+i=-2~

l-2i+i2

=2

=—i,

•••|z|=1>

故答案为：1.

利用复数的运算法则和复数模的计算公式即可得出.

本题考查了复数的运算法则和复数模的计算公式，属于基础题.

14.答案：V10

解析：解：1•,|a|=1.\b\=2,al(a-2b).

.-.a-(a-2b)=0.

即|五/一=o，

则1一2为小=0,即=

则|2方+b/=4|日产+|石产+4行=4+4+4xg=10,

故|21+旬=V10.

故答案为：V10.

根据向量垂直与向量数量积的关系，求出行不=也然后根据向量模长公式进行计算即可.

本题主要考查向量模长的计算，利用向量数量积的应用是解决本题的关键.

15.答案：7

解析：

本题主要考查线性规划的应用，属于基础题.

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可.

解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=3%-y得y=3x-z,

平移直线y=3%,由图象知当直线y=3x-z经过点A时，直线y=3%-z的截距最小，此时z最大,

啜;；＜=-1'即｛2T），

此时z=2x34-1=7,

故答案为：7.

16.答案：11

解析：解：如图,

y

打

2得P=5

A\AB\=/+乃+P=16,则％1+x2=16—5=11.

故答案为：11.

由题意画出图形，然后利用抛物线定义可得MB|=XI+%2+P=16,则与+不可求.

本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题.

n

17.答案：(1)解：an=Sn-S"_i=2an+(-l)-2即-1-(―1)底】化简即a“=2an^+2(—1)"T

即即+|(-1尸=2[味1+|(-1产1]

由的=1,故数列｛斯+|(-1尸｝是以内+|(-1)为首项，公比为2的等比数列.

故斯+|(-l)n=；x2"T即即=£x2时1一式一1严='[2"-2-(-i)n]

。JJJ3

(2)证明：由已知得已+2+…+点=1[若+焉+…+而士币]+#专+或+专+…+

2时2；_1严]=*1+]+1+5+5+・“)＜与1+1+/卷+/+…)=^+%掌)]=[《+

=身一工~)根-5＜丑=&＜吧=2

552m-s7155151201208

1117

故丁+丁^---1--＜-(^＞4)

a4aSam8

解析：(1)由递推式，证明数列｛斯+1(-Dn｝是以由+|(-1)为首项，公比为2的等比数列，即可求

数列｛斯｝的通项公式；

(2)利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证明结论.

本题考查等比数列的证明，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

18.答案：解：(1)设出抽样比为x,则“数学”、“剪纸”、“美术”三个社团抽取的人数分别为:

320x,240x,200x.

・・・从“剪纸”社团抽取的同学比从“数学”社团抽取的同学少2人，

・••320x—240%=2,

解得X=2,

40

故“剪纸”社团抽的人数为240x怖=6;

(2)由(1)知，从“剪纸”社团抽取的同学共有6人，其中有两名女生，

则从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，共有废=15种不同情况；

其中至少有1名女同学被选为监督职务的情况有盘©+废=9种

故至少有1名女同学被选为监督职务的概率看=|.

解析：本题考查的知识点是分层抽样，古典概率，(1)解答的关键是求出抽样比，(2)解答的关键是

列举出基本事件总数及满足条件的基本事件个数.

(1)设出抽样比，由已知中三个社团中的人数计算出各社团中抽取的人数，结合从“剪纸”社团抽取

的同学比从“数学”社团抽取的同学少2人，可得到抽样比，进而得到“剪纸”社团抽取了多少人；

(2)由(1)中从“剪纸”社团抽取了6名同学，可列举出从中选出2人担任该社团活动监督的职务的基

本事件总数，结合“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，可列举出从中选出2人至少有1名女

同学的基本事件个数，进而代入古典概型概率计算公式得到答案.

19.答案：证明：•••点E、F、G、〃为空间四边形边48、BC、CD、D4上的点，

直线EH仁平面BCD,直线FGu平面BCD

又EH//FG

二直线EH〃平面BCD

又EHu平面420且平面48。n平面8co=BD

：.EH//BD

解析：本题考查的是线面平行的判定和性质。

思路是：根据一条直线在平面上，一条直线与这条直线平行，根据这两个条件得到直线与平面平行，

根据线与面平行的性质，得到线与线平行，得到结论.

20.答案：解：(1)椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆方程为m+4=l(a>b>0),

短轴长为2,离心率为立，

2

(2b=2

可得上=当,解得a=2,b=l,所以椭圆方程为9+y2=i；

ta2=fe24-c2

y=-x4-m

22

2,得/+2mx+2(m—1)=0,

{7+y2=i

△=(2m)2-8(m2-1)>0,得m2<2,

设/。2i),以物乃)，

则/+%2=—2瓶，・•・-2m=2,得m=—1,符合题意.

解析：(1)设椭圆方程为2+《=l(a>b>0)，由b=l,结合离心率公式和a,b,c的关系，解得

a,b,可得椭圆方程;

(2)联立直线/的方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解方程可得他的值.

本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查

运算能力，属于基础题.

21.答案:解：(l)f(x)的定义域为(0,+8),[Q)=5-专，

•••f(%)在x=1处的切线平行于直线2x+y=0,

・•・f'⑴=1—a=-2,

・,.a=3,

・••/(%)=Inx+

"(x)=AE=爵

••.x>3时，f\x)>0,此时f(x)是增函数，

0<x<3时，/(x)<0,此时/(x)是减函数，

••・函数/'(X)的单调增区间是(3,+oo),单调减区间是(0,3)；

(2)/(x)=Inx+1,

g(x)=lnx-x,g'[x}=(-1，

乂也21=(m%2T丹%1_]

入X?-X\X2-X1X2-X1

y2~yi"Xi+%2、lnx-In%12

：,------------q(——-2——)=------------------------------

X2-Xi2x2-+x2

X2(%2—％1)

12

)

0丁

%2一%1X1+X2

2党T)

1x

---------(In-2-)

小-------/1+孑

X1

三r。吟+W7-2),

x2X1X1—+1

设九(%)=Inx+Ay-2,

h(x)在(0,+8)上是增函数.

令”竟不妨