上海市上海中学2023-2024学年高二下学期期终考试数学试题

上海中学2024年高二年级第二学期期终考试数学试题高二_______班学号_________姓名_________成绩一、填空题（每题3分，共36分）1．已知事件满足，则．2．把封不同的信投入个不同的信箱，不同的投法种数共有种．3．已知，则．4．在的展开式中，的系数为(以数字作答)5．函数的驻点为．6．若随机变量服从正态分布，则．7．集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有个．8．从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为．9．若不等式对任意成立，则的取值范围是．10．对于在定义域上恒大于的函数，令．已知与的导函数满足关系式．由此可知，函数在处的切线方程为．11．甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票，因此他们决定自行安排这些座位．高铁列车的座位安排如图，甲希望坐在靠窗的座位上，乙不希望坐在座，丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道)，则满足要求的座位安排方式共有种．12．将的所有排列按如下方式排序：首先比较从左至右第一个数的大小，较大的排列在后；若第一个数相同，则比较第二个数的大小，较大的排列在后，依此类推．按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是．二、选择题（每题4分，共16分）13．设，则（

）A． B．C． D．14．某班级共有40名同学，其中15人是团员．现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，定义随机变量为其中团员的人数，则服从（

）A．二项分布 B．超几何分布 C．正态分布 D．伯努利分布15．将一枚硬币连续抛掷三次，每次得到正面或反面的概率均为，且三次抛掷的结果互相独立．记事件为“至少两次结果为正面”，事件为“第三次结果为正面”，则（

）A． B． C． D．16．现有编号分别为的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为，则（

）①对任意都是偶数；②．A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题三、解答题（本大题共5题，共48分，解答各题须写出必要的步骤）17．求函数的单调区间．18．某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为．(1)求与的值．(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率．19．某学校举办知识竞赛，该竞赛共有三道问题，参赛同学须回答这些问题，以其答对的问题的得分之和作为最终得分．每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立)．定义随机变量为最终得分．问题一问题二问题三得分203050答对概率0.80.70.4(1)求．(2)求与．20．设函数，其中．且在与处的切线分别为．(1)若与平行，求的值．(2)记（1）中的值为．当时，记与轴围成的三角形面积为．当取到最小值时，求的值．21．仿照二项式系数，可以定义“三项式系数”为的展开式中的系数，即其中．(1)求的值：(2)对于给定的，计算以下两式的值：与(3)对于，记中偶数的个数为，奇数的个数为．是否存在使得？若存在，请给出一个满足要求的并说明理由；若不存在，请给出证明．1．0.7##【分析】根据计算即可求解.【详解】因为，所以.故答案为：0.72．【分析】每封信都有中不同的投法，由分步计数原理可得，封信共有种投法.【详解】解：每封信都有中不同的投法，由分步计数原理可得，封信共有种投法.故答案为：.【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题.3．11【分析】根据组合数和排列数公式计算即可.【详解】化简可得,,,可得.故答案为：11.4．【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式展开式的通项为（且），所以，即的系数为.故答案为：5．1【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可.【详解】函数，求导得，由，得或（舍去），所以函数的驻点为1.故答案为：1.6．12【分析】由已知求得，再由方差的性质可求得．【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，又，所以．故答案为：12.7．【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得.【详解】集合中的完全平方数有，，，令，，则集合的非空子集有个，集合的子集有个，则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集，故一共有个.故答案为：8．【分析】先求得12条棱中任选2条方法数，再求得异面的取法数，可求概率.【详解】从12条棱中任选2条有中选法，从12条棱中任选一条，其任11条中有3条与其平行，有4条与其相交，只有4条与其异面，故异面直线有对，所以从正方体的12条棱中选择两条，这两条棱所在直线异面的概率为.故答案为：.9．【分析】令，，依题意可得在上恒成立，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解】令，，依题意在上恒成立，又，当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，则，所以；当时，令，解得，若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，则，满足题意；若，即时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，所以，综上可得，即的取值范围是.故答案为：10．【分析】根据题意，令，求导得，再通过点斜式方程求切线方程.【详解】由题意可知，，令，又因为，且，所以，又因为，所以由点斜式方程得：，故切线方程为：.故答案为：.11．14【分析】根据特殊位置要求分类讨论各种情况即可.【详解】丙和丁希望坐在相邻的座位上,分类讨论：丙和丁在DF位置上，甲在A座位上，乙坐在C座位上，戊坐在B座位上共有种排法；丙和丁在AB位置上，甲在F座位上，乙戊坐在CD座位上,共有种排法；丙和丁在BC位置上，甲在F或A座位上，乙戊坐在剩下的座位上,共有种排法；则满足要求的座位安排方式共有种排法.故答案为：14.12．2,3,4,6,1,5【分析】通过比较各个位数得出后一个排列.【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6，根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5.故答案为：2,3,4,6,1,5.13．B【分析】由复合函数导数公式直接计算可得结果.【详解】.故选：B.14．B【分析】由二项分布、超几何分布、正态分布、伯努利分布定义判断即可.【详解】一次试验只包含两个试验结果，则称此试验分布为伯努利分布；将一个伯努利试验重复做次，叫做重伯努利试验，一般地，在重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率记为，在次试验中事件发生的次数记为，则服从二项分布；件产品中包含件次品，从中抽取件产品，记件产品中次品数为，则服从超几何分布；若随机变量的概率分布密度曲线满足正态密度函数，则称机变量服从正态分布；所以某班级共有40名同学，其中15人是团员，现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动，设随机变量为其中团员的人数，则随机变量服从超几何分布.故选：B15．C【分析】由题意，先计算，再利用条件概率的公式，即可求得结论.【详解】由题意，，，则.故选：C16．A【分析】将个球的排列等同于分配到个位置上，任意两个位置作为一组放置相同编号的球共有组，任意编号相同的球均不相邻，故可先求出位置不相邻的组数有组，再依次一组一组的选出来依次排编号相同的两个小球结合即可求出满足条件的排列个数，进而即可判断①②.【详解】由题意可知，，当时，则共有个球，不妨设有个位置，则将个球排成一列就是将这个球排列在这个位置上的排列，任意两个位置作为一组放置相同编号的球则这个位置共分成组，其中两个位置相邻的有组，则共有组位置用来放置这个球可使得任意编号相同的球均不相邻，接着从组位置选第1组出来排放编号为1的两个球有种排法；从剩下的组位置选第2组出来排放编号为2的两个球有种排法；从剩下的组位置选第n组出来排放编号为n的两个球有种排法；所以这个球排成一列，任意编号相同的球均不相邻的排列个数为：，所以，又，故对任意都是偶数，故①正确；显然满足，故，所以当时，，因为当时，，所以当时，，且，故，所以，故②正确.故选：A.【点睛】思路点睛：先将个球的排列等同于分配到个位置上，任意编号相同的球均不相邻，所以可将个位置的任意两个位置作为一组放置相同编号的球，把两个位置不相邻的组数求出来，再依次选出组依次排列编号相同的两个球即可求解.17．单调递增区间为；单调递减区间为.【分析】通过对函数求导，根据导数的意义，令导数大于解得单调递增区间，小于解得单调递减区间.【详解】由题可得：的定义域为，则由，即，解得，单调递增区间为，单调递减区间为.18．(1)，(2)【分析】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，根据求出，再由全概率公式求出；（2）由条件概率公式计算可得.【详解】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，则，，，，，，所以，解得，则，解得；（2）依题意可得.19．(1)0.36(2)【分析】（1）将可能性均表示出来，结合互斥事件概率即可求解；（2）先求出的可能取值以及对应的概率，再列出分布列，进而求出期望和方差即可.【详解】（1）事件包含了2种可能性：①答对问题一和问题二答错问题三②答错问题一答错问题二答对问题三.（2）的所有可能取值为：.所以随机变量的分布列为：20305070801000.0360.1440.0840.360.0960.0560.224所以随机变量的期望为57.20．(1)(2)【分析】（1）根据导数的几何意义可得，即可求出a的值；（2）由（1），根据导数的几何意义可得，求出两直线的交点坐标，利用三角形面积公式可得，结合导数求出最小值即可.【详解】（1），则，所以，又，所以，即，由，解得；（2）由（1）知，，又，则两切点为，所以，由，解得，即的交点坐标为，所以，则，对于方程，，所以方程有两个不同的实根，且，又，故，当时