上海市上海海事大学附属北蔡高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题【含答案】

海大附中2023学年第二学期高二年级数学期末一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合，，若，则．2．在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第百分位数是3．若满足关系式，则．4．盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某销售网点为了调查是否购买该款盲盒与性别的关系，得到如下列联表：女生男生总计购买402060未购买7070140总计11090200则认为（填有或没有）的把握认为改款盲盒与性别有关．（）5．总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为．5044664421

6606580562

6165543502

4235489632

14524152482266221586

2663754199

5842367224

5837521851

03371839116．甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，研究的两个随机变量的线性相关程度最高.7．某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为．8．一个口袋里装有大小相同的个小球，其中红色个，其余个颜色各不相同，现从中任意取出个小球，设变量为取出的个小球中红球的个数，则的数学期望.9．某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，三个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为．10．的展开式中常数项为．（用数字作答）11．若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列”.12．某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（

）A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.94515．若存在实数使成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．16．从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（

）A． B．C． D．三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分）17．（1）若方程的解集为，求的取值范围；（2）在（1）条件下使用反证法证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解．18．如图，在中，平面平面四边形是边长为2的正方形．(1)证明；(2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．19．某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出．(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式．(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润．20．已知脐橙分类标准：果径80mm～85mm为一级果，果径75mm～80mm为二级果，果径70mm～75mm或85mm以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm），得到如图所示的频率分布直方图．(1)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70～85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，①求这9个脐橙中一级果，二级果，三级果的数量②求抽到的一级果个数的数学期望；(2)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式并求出当为何值时，最大？21．已知，函数的导函数为．(1)当时，求在处的切线方程；(2)求函数的极值点；(3)函数的图象上是否存在一个定点，使得对于定义域内的任意实数，都有成立？证明你的结论．

1．2【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解.【详解】由，得.当时，，不满足元素的互异性，舍去；当时，，满足，符合题意；当时，，不满足，舍去.综上，.故答案为：22．【分析】求解个数据的第百分位数即第项与第项数据的平均数.【详解】，由茎叶图知从小到大排列第项数据为，第项数据为，则该样本的第百分位数是与的平均数，即，故答案为：.3．【分析】根据组合数性质得：或，并且的取值满足与都为区间上的整数，解出并验证即可.【详解】由组合数性质可知：若满足关系式，则或，解得或；又因为与都为区间上的整数，当时，不合题意，舍去；当时，，符合题意，所以.故答案为：4．有【分析】根据列联表数据和的计算公式求出即可根据小概率值的独立性检验得到结论.【详解】零假设为改款盲盒与性别无关联.由列联表数据计算得，所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，故有的把握认为改款盲盒与性别有关.故答案为：有.5．55【分析】由随机数表依次得出样本编号即可.【详解】由题可得选出来的样本编号依次为42，16，56，26，16，55，…，所以选出来的第6个个体的编号为55.故答案为：55.6．乙【分析】根据相关系数的定义判断即可.【详解】因为，所以这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最高，故答案为：乙.7．10【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解.【详解】由题意得数学成绩，所以由，可得，所以，所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为.故答案为：10.8．【分析】首先确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由数学期望计算公式可求得期望.【详解】由题意知：所有可能的取值为，则，，，.故答案为：.9．；【分析】利用插空法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解.【详解】先把4个语言类节目全排列中间形成5个空，5个空中选3个空排三个歌舞类节目，共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况，所以所求概率为.故答案为：.10．【分析】先求出的第项通式，根据和可以组成常数，2和可以组成常数，据此即可求解.【详解】的第项通式为，和可以组成常数，当，即时，常数项为，2和可以组成常数，当，即时，常数项为，所以的展开式中常数项为.故答案为：.11．960【分析】结合韦恩图，根据题意先选择3个元素均分给，，三个位置，在排剩余元素，结合组合数和分步乘法计数原理运算求解.【详解】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，

则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；所以“有序子集列”共有个.故答案为：960.【点睛】关键点点睛：本题关键是将集合问题转化为元素分配问题，先排重叠部分，再排剩余元素即可.12．【分析】设，则，借助相互独立事件的乘法公式可表示出一次实验中成功运行的概率，则当该概率取的最大值时，需要最少的试验次数，借助导数研究单调性即可得该概率的最大值，结合二项分布期望公式即可得解.【详解】设，则，设一次实验中成功运行的概率为，则，令，，则，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，故，由服从二项分布，故有，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取一次实验中成功运行的概率的最大值，结合二项分布期望公式得到最少需要进行的试验次数.13．A【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.【详解】不等式解得，则；不等式解得，则.，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A14．B【分析】根据概率与条件概率的定义，结合全概率公式，可得答案.【详解】设事件表示为“任选一件零件为甲车床生产的”，事件表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件表示为“任选一件零件为正品”，则，，，，所以.故选：B.15．C【分析】利用不等式的性质得到，解之即可.【详解】由题意知左边的最小值小于或等于3，根据不等式的性质得，，.故选：C.16．A【分析】首先由频率分布直方图求出测试成绩在区间的频率，再由茎叶图求出参加体能测试的人数，然后求出测试成绩在区间的频数，进而求出测试成绩在区间的频率，最后根据频率分布直方图利用频率列出方程即可求出值.【详解】由频率分布直方图可知，测试成绩在区间的频率为，又由茎叶图可知，测试成绩在区间的频数为，参加体能测试的人数，又由茎叶图可知，测试成绩在区间的频数为，测试成绩在区间的频率为，又由频率分布直方图可知，测试成绩在区间的频率为，解得.故选：A.17．（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集为，得到，解不等式即可求得答案；（2）利用反证法，假设三个方程都没有实数解，可得它们的判别式都小于0，求得a的范围，出现矛盾，即可证明原结论.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以，可得，即的取值范围为.（2）证明：假设，，都没有实数解，则它们的判别式都小于0，即，即，解得，这与的取值范围为矛盾，故，，中至少有一个方程有实数解．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明平面，从而得到，进而即可证明平面；（2）取的中点，连结，先证明平面，再取的中点，以为基底，建立空间直角坐标系，再根据向量夹角公式即可求解．【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，又平面平面，平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，，所以平面．（2）由（1）可得为直线与平面所成的角，即，所以，所以，取的中点，连结，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，取的中点，则，以为基底，建立空间直角坐标系，所以，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，取，则，取平面的法向量，设二面角的大小为，则，因为二面角为锐角，所以，即二面角的余弦值为．19．(1)(2)产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元【分析】（1）由分段代入计算即可得；（2）借助一次函数、二次函数的性质与基本不等式计算每段的利润最大值即可得.【详解】（1）当时，，当时，，当时，，故；（2）当时，，当时，，对称轴，，当时，由基本不等式知，当且仅当，即时等号成立，故，综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.20．(1)①一级果4个，二级果3个，三级果2个；②；(2)当时，最大【分析】（1）①求出果径80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比，从而求出一级果，二级果，三级果的数量；②求出的可能取值和对应的概率，得到数学期望；（2）得到，从而得到不等式组，求出当时，最大.【详解】（1）①果径80mm～85mm,75mm～80mm，70mm～75mm的频率之比为，故这9个脐橙中一级果数量为个，二级果个，三级果个；②的可能取值为，故，，，，故（2）一级果的频率为，用频率代替概率，故，故，令，故，解得，又，故，故当时，最大.21．(1)；(2)答案见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用导数求切线斜率，再求出切点坐标，点斜式写出切线方程即可.（2）利用导数探讨单调性，进而确定函数的极值点.（3）假设存在，利用导数，将等式化简，减少变量，从而可构造适当新函数，研究新函数的性质，即可判断.【详解】（1）当时，，求导得，切线方程为，所以所求切线方程为.（2）函数的定义域为，求导得，令，即，即，①当时，