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文档简介
《复变函数》作业集
西安交通大学网络教育学院
冯复科编
目录
第一章复数与复变函数
第二章解析函数
第三章复变函数的积分
第四章级数
第五章留数
模拟试题一
模拟试题二
参考答案
第一章复数与复变函数
本章要点:
1.复数的概念
2.复数的四则运算
3.复数的模与辐角
4.复数的乘幕与方根
5.复变函数的概念
6.复变函数的极限
7.复变函数的连续性
本章目标:
1.了解复数的概念
2.掌握复数的代数运算
3.掌握复数的乘塞与方根
4.理解复变函数的概念
5.掌握复变函数的极限及其连续性
本章重点:
1.复数的代数运算
2.复数的模与辐角
3.复数的乘幕与方根
4.单连通区域与多连通区域
5.复变函数与映像
6.复变函数的极限与连续性
本章难点:
1.复数的代数运算及几何表示
2.复数的乘幕与方根
3.曲线及区域的复数表示
4.复变函数的极限与连续性
(1)
一、填空题
1.复数比的实部、虚部分别为:
万一1
2.复数」一的模与辐角分别为;
2+3z
3.yf-1=.
4.(l-z)9=______________________.
5.1-V3Z的三角表达式为.
x=xcona-y,sina
6.旋转公式111的复数形式为_________________.
y=%]sina+yxcona
五的指数形式
7.设a-gz2=V3-z,则ZjZ2的指数形式为
为.
二、单项选择题
1.Im[(l+07+(l-07]=()
(A)0(B)2V2(C)-2A/2(D)-V2.
2.若/(2)=彳,贝ijlim/(z)=()
z+i5
(A)i(B)2i(C)-i(D)-2i.
3.下列方程所表示的曲线是椭圆的为()
z—1
(A)lz—2l+lz+2l=5(B)I--I
z+1
(C)IzI+Rez=1(D)Rez2=2.
4.函数/(Z)=M(X,y)+iv(x,y)在点z()=%+认处连续的充要条件是()
(A)M(x,y)在(%,%)处连续(B)v(x,y)在(%,为)处连续
(C)M(X,y)和v(x,y)在(x。,右)处连续(D)“(苍》)+丫(%,〉)在(工0,%)处连续.
z2-zz-l-z
5.lim二()
z->l+zZ2-2Z
3-i3+z1-3/l+3z
(A)(C)
~4~(B)丁
(2)
6./(z)=一、的连续点集合为()
i+r
(A)单连通区域(B)多连通区域
(C)开集、非区域(D)闭集.
三、求下列复数的辐角的主值argz
1.z=—J12—2z;2.z—sin—I-icos一;
55
3.z=—3+4i;4.z=1-cos0+isin^(0<3<7i).
四、选取适当的参数,将满足下列条件的曲线用复数形式的方程表示出来
1.起点为Z1,终点为Z2的有向线段;
2.过点&=-2+3z・和点Z2=2+z•的直线;
(3)
3.过点z=l+i且平行于虚轴的直线;
4.坐标原点到点z=l+z'的直线段;
五、求满足下列式子的点Z的轨迹,并作图.
1.|z+z|=|z-2i|;
2.|z+3|+|z+l|=4;
3.Re(反)=4;
(4)
4.arg(z-z)=—;
4
六、描出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明是有界域还是无界域,单连通域还是多连
通域:
1.Im(z)>0;2.0<Re(z)<1;
3.0<|z-1|<4;4.一1<argz<-1+".
七、如果z=e",证明zn-=2zsin(nf).
(5)
八、证明:忆+22『+匕-22|2=2(卜]『+卜2「)并说明其几何意义.
九、证明:如果多项式p(z)=旬+。化+。222+-,+a“z"的系数是实数,则pQ)=p(z).
十、设函数/(z)=m(z0O),试证z-»0时,/(z)的极限不存在.
Z
(6)
十一、设复数。+活是实系数方程4z"+aiZ"T+…%=0的根,证明。一活也是
方程的根.
十二、当x,y等于什么实数时,等式X+1+;(y-3)=l+/成立?
5+3z
(7)
第二章解析函数
本章要点:
1.复变函数的导数的概念
2.解析函数的概念
3.函数解析的充要条件:C-R方程
4.初等函数:指数函数、对数函数、塞函数、三角函数与双曲函数、反三角函数与反双曲
函数
本章目标:
1.理解解析函数的概念
2.掌握判断函数解析的充要条件:C-R方程
3.掌握指数函数,对数函数,幕函数,三角函数与双曲函数,反三角函数与反双曲函数
的定义、性质及其解析性
本章重点:
1.复变函数的导数
2.函数解析性的判定及解析性性区域的确定
3.指数函数,对数函数,募函数,三角函数与双曲函数,反三角函数与反双曲函数
的定义、性质及其解析性
本章难点:
1.函数解析性的判定
2.方程根的确定
3.解析函数的性质
一、填空题
1./(Z)在点连续是/(Z)在点可导的条件.
2.7(Z)在区域。内可导是/(Z)在区域。内解析的条件.
3.于(z)=M(X,y)+iv(x,y)在z=x+iy点可导的充分必要条件是.
4.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导,则/'(z)=.
(8)
5.若/(z)=(>2—/+。%+/?>)+1(。孙+3%+2〉)处处解析,贝Ij(a,b,c)=.
二、单项选择题
1.函数>v=/(z)在Z。点可导是可微的()
(A)必要但非充分条件(B)充分但非必要条件
(C)充分必要条件①)即非充分条件,也非必要条件.
2./(Z)在点Z()=%+现)可导的充分必要条件是()
。)在点(%,%)可导,且满足C-R条件,即半=*,2=—出在(%,%)成立
oxdydyox
(B)/(z)在(无。,先)点的一个邻域内可导
(C)在(玉),%)点〃,v可微,且满足C-R条件
(D)在(%,%)点具有连续的偏导数,且满足C-R条件.
3.若/(z)=/-3盯2+7(3%2〉一/2),则()
(A)处处解析(B)仅在实轴上可导
22
(C)仅在直线y=-上可导(D)仅在直线y=§或y=0上可导.
4.设/(z)=4z—3,并且/(l+i)=—3"则/⑵=()
(A)2Z2-3Z-Z(B)2Z2-3Z+3Z
(C)2Z2+3Z-3+4Z(D)2Z2-3Z+3-4Z
5.函数vv=/(z)="+iv在点z()处解析,则命题()不成立.
(A)仅在点z()处可微且满足C-R条件;
(B)存在点z0的某邻域U(Z°);",丫在UQo)内满足C-R条件;
(C)〃,丫在U(z())内可微;(D)B与C同时成立。
6.下面论断中正确的是()
(A)对于任意的复数z(wO,8),L〃lzl=lnlzl;
(B)对于任意的复数z(H8),|coszl<l;
(9)
(C)对于任意的复数z(。8),e">0;
(D)当c为整数时,有
7.Ln(-l)和它的主值分别是()
(A)L〃(-1)=伏+g);ri,(左为整数)主值ln(-l)=0
(B)Ln(-1)=(2左—1)加,(k为整数)主值In(-1)=m;
(C)Ln(-l)=Qk-1)加,(Z为整数)主值ln(-l)=-7ii;
(D)Ln(-l)=In1+i-Arg(-l)=i(2m+X)7i,主值ln(-l)=;ri
8.若/(z)在区域G内解析,则对于命题
(1)若/(z)恒取实数值,则/(Z)是常数;
(2)若了而在G内解析,则/(z)是常数;
(3)若"(z)l在G内是常数,则/⑶是常数;
(4)若/⑵=0,则/(Z)是常数。
正确的有()
(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个.
三、下列函数何处可导?何处解析?
1./(z)=2x2+6y3z2./(z)=sinxchy+icosxshy
3./(z)=x2-z>4./(Z)=2X3+3Z>3
(10)
5./(z)=excosy+iexsiny6./(z)=x2-y-x+z(2xy-y2)
四、证明:若/(z)=〃+而在区域。内解析,且满足下列条件之一,则/(z)在。内恒为常
数。
2
1.U—V
2./(Z)的模为常数.即,储+丫2=左常数
(11)
3.au+bv=c,其中a力与c为不全为零的实常数。
五、求出下列方程的全部解
1.1—,=0
2.sinz+cosz=0
3.sinz+icosz=4i
六、求Lz(—3z),L〃(—9+12i)的值和它们的主值
(12)
七、求exp[(l—zR/4],2\(l+i/i和(-2)行的值.
八、设/(z)=%3+〃%、+,(屋一3孙2)为解析函数,试确定根,”,/的值.
九、证明函数卬=犬-寸-y+i(2xy+x)在z平面上解析,并求其导函数.
(13)
第三章复变函数的积分
本章要点:
1.复变函数积分的概念
2.积分存在的条件及积分的计算方法
3.柯西-古萨基本定理
4.闭路变形原理与复合闭路定理
5.原函数与不定积分
6.柯西积分公式与高阶导数公式
7.解析函数与调和函数的关系
本章目标:
1.理解复变函数积分的概念,积分存在的条件及积分的计算方法
2.掌握柯西-古萨基本定理,闭路变形原理,复合闭路定理
3.会应用柯西积分公式、高阶导数公式计算复变函数沿闭路的积分
4.理解原函数与不定积分的概念
5.理解解析函数与调和函数的关系,会由已知调和函数构造解析函数
本章重点:
1.复变函数积分的概念,积分的计算方法
2.柯西-古萨基本定理,闭路变形原理,复合闭路定理
3.柯西积分公式与高阶导数公式
4.解析函数与调和函数的关系
本章难点:
1.复变函数积分的计算
2.沿闭路或复合闭路对不同形式复变函数积分的计算
3.由已知调和函数u(x,y)(或v(x,y))构造解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
一、填空题
1.设C:z=e6,-71<6<71,则^Re(z)dz=
(14)
2.设。为z=e",£从一生至生的一段,贝U;[zdz_______________
22上
3.设。为z=0至ijz=i再至Uz=2+2'的折线段,贝2dz;
4.设。为Z=(1T»,/从1到0的一段,则[元々=
5.设。为z=0到z=l+i的直线段,=;
6.f二—;
+2z+2
7.设。是沿抛物线y=_?一1,从(—1,0)至()(1,0)的弧段,则[sin(l+z)dz=
(-e"/
8•I3-5'"z=______;
GZ2+3Z+2
「1
10.I3z--______•
Jldi(z2+3z+2)3
二、单项选择题
1.设/(z)在单连通区域3内解析,。为3内任一闭路,则必有()
(A)fIm[/(z)]Jz=0(B)/Re"(z)]dz=0
(C)L"(z)0z=O(D)£/(z)(/z=0.
2.函数/(z)在单连通区域3内解析是/(z)沿3内任一闭路c的积分f/(z)dz=o的
JC
()
(A)充分条件(B)必要条件
(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件.
3.设/(Z)在闭路C上及其内部解析,Z。在。的内部,则有()
//(Z)
(A)f/⑶dz=1(z0)f—Lydz(B)f/⑶2dz=fdz
Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Z0)2Jc(Z-Zo)
dz(D)J/⑶2dz=J幺辿/z.
©£T^?Jjc——-——dzJcJc
(z-z0)(z-z0)Z-Zo
4.设。是单位圆Iz1=1的上半部分逆时针方向,贝Ij1(z-l)dz=()
(15)
(A)2i(B)2(C)-2i(D)-2.
dz
5.设C:lz—11=1,则L)
(Z-l)3(Z+l)3
3兀,3兀.3万.3兀,
(A)—i(B)—i(C)——i(D)一--i
o844
rsinz
6.设C:lzl=l,则/z=()
c(zg
(A)-m(B)m(C)0(D)一2兀i.
7.设C:lz—11=工,则
)
2
(A)(B)0(C)7ii(D)1.
sh/rz,
8.—;——az=)
Jflzl=2z2+l
(A)0(B)-z(D)It.
rcos〃z,,
9.3—;---------dz=(
Jia=5z-Z-2)
224.
(A)0(B)-7T(C)--(D)—7tl.
3
cosz,
10.----------rdz=)
a一兀)
(A)0(B)-m(C)m(D)2组.
计算证明题
i.证明:।1(X2+》2)公|《万,。为z=〃,e从o至万的半圆弧.
2
2.计算,1=•^z(z-l)-dz,其中「是圆环域:-<lzl<2的边界.
2
(16)
3.求积分[—-~-dz,其中C分别为:
JcZ(Z-1)2
(1)Izl=—(2)Iz-ll=—(3)Iz1=2.
22
4.计算:设G与02为不经过9的两条互不包含也互不相交的闭路,求
2
1rrz,,rsinz
---[------dz+-------dz]的值。
Jc
2兀i>z-z0JQz-z0
5.计算:[—e—^dz,其中C为不经过点。和1的闭路.
Jcz(l-z)3
(17)
6.设/(z)在lzl<l内解析,在IzlMl上连续,/(0)=1,证明:
7.已知/⑶人+黄》是解析函数’且"2)=°’求“Z).
8.设/(z)=〃+iv是右半平面的解析函数,v=arctan—(x>0),求/(Z).
x
(18)
9.设/(z)=〃+iv解析,且〃-v=(x-y)(x2+4xy+y2),求/(z).
10.]lm/(z)dz与Im[1/(z)dz]相等吗?说明理由
(19)
第四章级数
本章要点:
1.复数项级数的概念
2.幕级数的概念,收敛圆与收敛半径
3.募级数的运算与性质
4.泰勒级数
5.洛朗级数
本章目标:
1.理解复数项级数的概念
2.掌握判定复数项级数收敛性的方法
3.理解幕级数概念,掌握阿贝尔定理,会球塞级数收敛半径
4.理解泰勒展开定理,会将解析函数展开成塞级数
5.理解洛朗展开定理,会将圆环域内的解析函数展开成洛朗级数
本章重点:
1.复数项级数收敛性的判定
2.幕级数收敛半径的求法
3.嘉级数的运算与性质
4.解析函数的泰勒展开
5.圆环域内的解析函数展开成洛朗级数
本章难点:
1.复数项级数收敛性的判定
2.第级数收敛半径的求法
3.把解析函数展开成泰勒级数,泰勒级数收敛半径的确定
4.把在圆环域内解析的函数展开成洛朗级数
一"、基本概念
1.复数列{d,}={%+ibn]收敛的充分必要条件是什么?
(20)
2.复数项级数X(4+也,)收敛的充分必要条件是什么
3.复数项级数+次,)绝对收敛的充分必要条件是什么
4.幕级数收敛域有何特征?洛朗级数收敛域有何特征?
二、填空题
1.设有复数列①%=(1—9一向与②B“=e-,则发散数列是;收敛数
列是,其极限是.
81•8•8/•\2
2.设有复数项级数①£上(1-上),②③£必匕,则绝对收敛级数是
n=l几几n=21口儿”=1〃!
OOOOOO/1\2
3.设有复数项级数Z(l+i)"z〃,Z(二1)",它们的收敛半径分别为
n=in=iInin«=1〃
,及.
OO1OO/1、〃-1
4.洛朗级数£(—1)"—二+(3-z)"的收敛域为______.
n=1(z-3)""=i3
ez~3cosz
5.设------------------,则收敛半径R,故事级数
(z-l)(z-z)ln(2-z)
在_______绝对收敛。
6.洛朗级数£—二+£(-1)"(1-三)的收敛域为,和函数为
(21)
7.函数=^在Z=0处泰勒展开式中Q项的系数为_______.
z2+z
oon+1
8.级数£(-1)用'的收敛半径与和函数为.
n=l〃
三、判断题(对的打J,错的打X)
1.募级数的和函数在收敛圆内解析.[]
2.洛朗级数在其收敛圆环内可以逐项求导数与逐项积分.L]
3.若函数/(Z)在点Z。解析,则/(Z)在Z。的某个邻域内必能展开成泰勒级数.[】
4.如果累级数£q,z"在收敛圆周C:lzl=R上一点Zo处绝对收敛,则其在闭域
n=0
上绝对收敛.[]
5.如果极限lim9包存在(#8),则三个幕级数VCnZ\£>%Z'T,有相
…„=i„=i„=in+1
同的收敛半径.[]
四、设级数收敛,而发散,证明幕级数的收敛半径R=L
n=0n=0n=0
五、把下列函数展开成Z的幕级数,并指出收敛半径.
1
1.---(a,b为复数,且6。0);2.-----7T
az+b(1+z2)2
(22)
1
3.sinhz;4.-------
(1-z)3
5.cos2z;6.arctanz.
六、求下列函数在指定点Z0处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径.
Z_1cZ
1.,,2.,z,)=2
z+2(z+D(z+2)
17-1.71
3.T^o-I,4.tanz,z0=—;
Z
17=1
5.
Z2(Z+1)'"°
(23)
七、把下列函数在指定圆环域内展开成洛朗级数.
z?—2z+51[1c
1.-----------;——,l<lzl<22.:+1—,1<1Z1<+0°
(z-2)(z2+l)五一1)
1一*
3.---,0<lz1<+°°4.:一,0<lz-il<l
Z
1
5.(z9+l)sin—,0<lz1<+©06.---,0<lz-zl<l
zz(i-z)
(24)
第五章留数
本章要点:
1.孤立奇点的概念
2.孤立奇点的分类
2.函数的零点与极点的关系
3.留数定义与留数定理
4.留数的计算规则
本章目标:
1.理解孤立奇点的概念
2.掌握孤立奇点的分类
3.理解留数定义
4.掌握留数定理
5.掌握留数的计算规则,会利用留数计算闭路积分
本章重点:
1.孤立奇点及其分类
2.函数的零点与极点的关系
3.留数定理
4.留数计算规则
5.复变函数沿闭路的积分
本章难点:
1.奇点的分类
2.有限奇点级的确定
3.函数在有限奇点处留数的计算
4.利用留数计算沿闭路的积分
一、下列函数有什么奇点?若是极点,指出它的级.
119
■#2+1)2-Z3
(25)
11
3.ez~l
?(^-D
ln(z+l)
z-icosz
-*、求下列函数在有限奇点处的留数.
sinz1-*
1./(z)=2./(Z)=
2?-zz3
1z
A7、一
3./(z)=〜J⑷
zsinzcosz
21
5./⑵:=(z+1)sin-6.f(Z)
zz(e'l)
(26)
3z+2
7.f(z)=cot2z8./(z)=
z2(z+2)
三、利用留数,计算下列正向圆周上的积分
re2z
2.--——^dz
加|=34丁'总z(zT)
3-14.f史■法
△cosz
r2ez+z,r1
5.\----------dz6.--------az
z
上smzlzlJ=le匕—1
(27)
.1
7.[zsin—^—dz8.J(z+l)ezdz
J=iz-1
lzl=l
四、证明:若Zo是/(Z)的m(m>1)级极点,则z0是/'(z)的m+1级极点.
设Zo是函数/(z)的,〃级零点,求Res[E3,ZoL
五、
/(z)
设z0是函数/(z)的"级极点,求Res[13,Zo].
六、
/(z)
(28)
复变函数模拟试题(一)
一、选择题(每小题4分,共20分)
1.若Z?=^,则必有().
(A)z=0;(B)Re(z)=0;(C)Im(z)=0;(D)Re(z)Im(z)=0.
ooH+l
2.级数£(-1)向二的收敛半径与和函数为().
n=l"
(A)ln(l-=1:(B)ln(l+=1:
(C)zln(l-=1;(D)zln(l+z),R=l.
z
3.2=1是函数6~的().
(A)本性奇点;(B)一级极点;(C)可去极点;(D)二级极点.
4.函数/(Z)在Z点可导是/(Z)在Z点解析的()
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分不必要条件(D)既非充分亦非必要条件
5.若/«)=彳,则().
(A)处处不可导;(B)在原点可导;(C)处处解析;(D)仅在虚轴上可导.
二、填空题(每小题4分,共20分)
1.设C是z=0到z=1+i的直线段,则\^dz=.
2.方程1+e-z=0的全部解是;
3.幕级数的收敛半径是;
n=l
4.函数f(z)=-一的全部奇点是____________________.
z2(eJ-l)
三、证明:若/(Z)=〃+小在区域D内解析,并且〃=/,则/(Z)在D内为常数.(8分)
(29)
四、已知调和函数a(x,y)=(x+l)y,求解析函数/(z)=〃+M,且满足条件/⑴=0.(8
分)
五、求函数/(z)=一——在Z。=2处的泰勒展开式,并指出它的收敛半径.(10分)
z+3z+2
六、将函数〃z)=(J尸在圆环域:0<|z—1]<1内展开成洛朗级数.(10分)
七、计算下列各积分.(圆周均取正向)(每小题6分,共24分)
rcos3z,
(1)b(z—2产(2)——-------dz
L(Z-1)(Z+2)
2z3
(3))dz;C4)f上「dz
z+4i
(30)
复变函数模拟试题(二)
、选择题(每小题4分,共20分)
1.设=-1+V3Z,Z2=-1+Z,则argZiZ2=[]
/A、77c/c、77U77c_777c,
(A)—;(B)---;(C)---F2左兀;(D)---Fku
12121212
]_/z
2.设/(Z)=——,则Z=0是函数的[]
z
(A)可去奇点;(B)三级极点;(C)二级极点;(D)解析点.
3.乘暴(1一,尸的值为[]
(A)6(汽一8无兀"21112(B)/兀+队兀)..21n2(C)尹-8%汽)e21n2(D)*一诙兀)6-21112
4.下列级数中,绝对收敛的级数是[]
OO1,oo;n
yJ_
(A)(B);
1i
(o£(-1)—+一
n=l_n2〃
5.设/(z)=—1—,则正确论断是[]
3x-3iy
(A)/(z)在z平面处处解析;(B)/(z)在z平面处处不解析;
(C)/(z)在z平面除z=0外处处解析;(D)/(z)仅在z=0解析.
二、填空题(每小题4分,共20分)
1.方程shz=i的全部解为.
2.密级数£(1+2i)"z"的收敛半径R=.
n=0
3.积分fsin2zdz-.
J-ni
4.设/(z)在单连通域3内处处解析且不为零,。为3内任一简单闭曲线,则积分
(31)
1
5.Res(z29+1)sin—,0=.
_z_
三、证明:如果函数/(z)=M+iv在区域D内解析,且其模为常数,即J?+丫2=3则/⑶
在D内为常数(8分)
四、已知调和函数v=arctan工(x>0),求解析函数/(z)=〃+iv,且满足条件/(I)=1
(10分)
五、将/(z)=—1—展成Z-1的幕级数,并求它的收敛半径(10分)
z(l+z)
六、将函数/(z)=-----------在圆环域0<lz-31<2内展成罗朗级数(8分)
(z-l)(z-3)
七、计算下列积分(圆周均取正向X每小题4分洪24分)
1fZeA2・导
1.总-^Z5——2—1dz
lzl=l4
3
Qf2z+z+L
3.-------4.
总Z(Z—1)z2-az
\z\J=247
re2z-1
5.f-----dz6.fC--dzlalol
上cosz』(z-a)
(32)
第一章参考答案
_1_7J133
、1•,2.]3—arctan5+2左乃(左=0,±1,…);
55
3.cos史里…n"
(%=0,1,2,3);
44
4.1672(1-i);5.2cos(-y)+isin(-y);
LB因
12e12
6.z=(%j+iyx)(cosa+isina);7.V2e,~^~;
二、1.A;2.B;3.A;4.C.5.A6.B
一534兀一6
二、1.—7t;2.—71;3.—arctg—I-7T;4.-------.
61032
四、1.z=Zi+f(%F)(0<r<1);
2.z=(4/—2)+(3—2t»(t为实数);
3.z=l+ti(/为任意实数);
4.Z=(1+i)t,(0<Z<1);
3
五、1.直线Im(z)=5;
2.以(-3,0),(-1,0)为焦点,长半轴为2,短半轴为囱的椭圆:.+2)-+21=1;
43
3.直线y=4;4.以i为起点的射线y—x-l=0(x>0);
六、1.上半平面,无界单通区域;
2.由直线x=0及x=l所构成的带形区域(不含两直线),无界单连通区域;
3.以Z=1为圆心,以4为半径的圆的内部(不含圆心),有界多连通区域;
4.由射线argz=-l逆时针旋转到射线argz=-l+乃构成的半平面,无界单连通区域.
七、证明:zn———=emt—e~int=(cosnt+isinnt)—(cosnt—isinnt)=2isinnt
zn
八、由忖2=z£即可证明。几何意义:平行四边形两对角线的平方和等于两邻边平方和的
两倍。
(33)
九、多项式p(z)=a()+aiZ+a2z2+…+%z"的系数是实数,ak=ak,k=O,l,---,n故
n
p(z)=a0+alz+---+anz
n
=a0+alz+---+anz
n
=〃o---FClnZ
=P(z)
十、当z沿实轴趋于。时,4=1-极限值为i;
Z
当Z沿虚轴趋于。时,i=-i,极限值为-I
Z
7
故当Z-0时,/(z)=;的极限不存在.
Z
4■、证明:令p(z)=a()z'+aiZ"T+…+%_/+%
则p(z)=p(z)
又因。+活是实系数方程的根,那么p(a+活)=0
于是p(z)=p(a-ib)=p(a+ib)=0
所以。-活于是方程的根.
十二、x=1,y=11.
第二章参考答案
一、1.充分条件2.充分必要条件
..3MSV3M3V.,,小卡一
3.i)〃,丫在2=%+方处可微;n)—=-k=一<在z=x+zy处成"
axayoyox
3M(X,y),3v(x,y)_3M(X,y),:3v(x,y)
I-II
idydydxdx
5.(2,-3,2)
、1.C2.C3.D4.D5.A6.D7.D8.A
(34)
三、1.解:—=4x-=18y2
3xdy
电=02=0
dydx
故/(z)在2x=9y2上可导,没有解析点.
左力7dv7
2.解:一=cosxcny—=cosxcny
dxdy
du.,dv.
——=smxsny—=-sinxshy
dydx
故/(z)在全平面内可导,在全平面内解析.
…dududvdv
3.解:一=2x——=0—=0—=-1
dxdydxdy
仅当x=-工时,C-R条件成立,故此函数在直线%=-工上处处可导,而在复平面上
22
处处不解析.
左力/2八a?八3v„
4.解:一=6x2—=0—=0—=9y2
dxdydxdy
因此仅在两相交直线2/=3V上处处可导,在平面处处不解析.
__dudu.dv.dv
5.解:一=xecosy—=-xesiny—=xsiny—=xecosy
dxdydxdy
C-R条件处处成立,且偏导数处处连续,因而处处可微,即/(Z)处处解析.
6.解:令〃=42-y-x,v=2孙一/,则〃加在Z平面上处处可微且
半=21电=-1如=2y如=2x-2y
dxdy3xdy
从而要使三=三,三=
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